南京市2020届高三年级学情调研卷及答案

球的体积公式：V ＝ πR 3，其中 R 为球体的半径．
南京市 2020 届高三年级学情调研
数
学
2019.09
注意事项：
1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本
试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．
．．．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题
目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
参考公式：
柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．
4
3
．．．．．．．
一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．函数 f (x )＝ x －1的定义域为
▲ ．
2．已知复数 z 满足(z －2)i ＝1＋i ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为 ▲
．
3．某算法的流程图如图所示，则输出的 n 的值为
▲ ．
4．某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，
50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中 x 的值为
▲ ．
开始
p ←1，n ←1
n ←n ＋1
p ←p +2n 1
0.054
频率/组距
p ＞10
Y N
输出 n
x 0.01 0.006
结束
（第 3 题图）
40 50 60 70 80 90 100 成绩
（第 4 题图）
8．若函数 f (x )＝2sin(ωx － )(ω＞0)的最小正周期为π，则当 x ∈[0， ]时，f (x )的值
9．若锐角α满足 tan(α＋ π )＝3tan α＋1，则 tan2α的值为 1＋|x | 2π → →
，则CP ·CA 的值
g ⎩
5．有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组
的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为
▲ ．
6．把一个底面半径为 3 cm ，高为 4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计
损耗），则该钢球的半径为
▲ cm ．
x 2 y 2
7．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条准线与两条渐近线恰能
围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为
▲ ．
π π
6 2
域为 ▲ ．
4
▲ ．
x
10．已知函数 f (x )＝ ，则不等式 f (x －3)＋f (2x )＞0 的解集为
▲
．
11．等差数列{a n }的前 n 项和记为 S n ．已知 a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若存在正整数 k ，
使得对任意 n ∈N*，都有 S n ≤S k 恒成立，则 k 的值为
▲ ．
12．在△ A BC 中，P 是边 AB 的中点，已知 CA ＝4，CP ＝ 3，∠ACB ＝ 3
为
▲ ．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M ：(x －a )2＋(y －2a )2＝4，圆 N ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝
4．若圆 M 上存在一点 P ，使得以点 P 为圆心，1 为半径的圆与圆 N 有公共点，则实数 a 的
取值范围为 ▲ ．
⎧⎪|2x －1|＋1， x ＞0，
14. 已知函数 f (x )＝x 3－3x 2＋1， (x )＝⎨－1x 2－x ， x ≤0． 若函数 y ＝g [f (x )]－a 有 6 个
⎪ 4
零点（互不相同），则实数 a 的取值范围为
▲ ．
，求 sin(A －C )的值．
⎩1800，
9≤t ≤15，
（2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为 Q ＝ －100（单位：元），问当发车时
．．．．．．．．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
已知△ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 a sin2B ＝ 2b sin A ．
（1）求 B 的大小；
（2）若 cos C ＝ 5
5
16．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ，E ，F 分别为 AB ，A 1B 1 的中点．
（1）求证：AF ∥平面 B 1CE ；
（2）若 A 1B 1⊥B 1C ，求证：平面 B 1CE ⊥平面 ABC ．
A 1
F
C 1
B 1
A
C
E
B
（第 16 题图）
17．（本小题满分 14 分）
随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁
线路运行时，发车时间间隔 t （单位：分钟）满足：4≤t ≤15，t ∈N，平均每趟地铁的载客人
数 p (t )（单位：人）与发车时间间隔 t 近似地满足下列函数关系：
⎧1800－15(9－t )2，
4≤t ＜9，
p (t )＝⎨
其中 t ∈N．
（1）若平均每趟地铁的载客人数不超过 1500 人，试求发车时间间隔 t 的值；
6p (t )－7920
t
间间隔 t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．
( ，3e )和(b ， 3e )都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率． 别交于点 P ，Q ，求证： OB · PQ 为定值．
n m (S m ＋λ)
T n n (S n ＋λ)
18．（本小题满分 16 分）
x 2 y 2
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为 A ，B ，点
a
2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点 C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段 BC 的垂直平分线与直线 BC ，AC 分
→ →
y
Q
A
C
P
O B x
（第 18 题图）
19．（本小题满分 16 分）
已知函数 f (x )＝2ln x ＋ax 2－bx ，a ，b ∈R．
（1）若曲线 y ＝f (x )在 x ＝1 处的切线为 y ＝2x －3，求实数 a ，b 的值；
（2）若 a ＝0，且 f (x )≤－2 对一切正实数 x 恒成立，求实数 b 的取值范围；
（3）若 b ＝4，求函数 f (x )的单调区间．
20．（本小题满分 16 分）
S 1
已知数列{a n }的首项 a 1＝2，前 n 项和为 S n ，且数列{ n }是以2为公差的等差数列.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设 b n ＝2n a n ，n ∈N*，数列{b n }的前 n 项和为 T n ，
T ①求证：数列{ n
}为等比数列；
T ②若存在整数 m ，n (m ＞n ＞1)，使得 m ＝ ，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的
所有可能值.
．．．
．．．．
．．．． ⎣2 1⎦⎥． ⎧x ＝4t ， ⎧x ＝2＋cos θ，
⎩y ＝1＋at ⎩y ＝sin θ
⎨a ⎨
南京市 2020 届高三年级学情调研
数学附加题
2019.09
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟．
3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的
答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】在 A 、B 、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指
定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修 4—2：矩阵与变换
⎡2 3⎤
已知二阶矩阵 A ＝⎢
（1）求 A －1；
（2）若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线 C ′：x 2－3y 2＝1，求曲线 C 的方程．
B ．选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：
(t 为参数， 为常数)，曲线 C ：
(θ为参数)．若曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离的最大值为 3，求 a 的值．
C ．选修 4—5：不等式选讲
解不等式 x 2＋2|x －1|＜6．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答
．．．．．．．．
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，E，F分别为PA，AB的中点，且DF⊥CE．
（1）求AB的长；
P
（2）求直线CF与平面DEF所成角的正弦值．
E
A D
F
B C
（第22题图）
23．（本小题满分10分）
已知集合A＝{1，2，3，4}和集合B＝{1，2，3，…，n}，其中n≥5，n∈N*．从集合A
中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中
最大的元素用T表示．记X＝T－S．
（1）当n＝5时，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；
（2）求P(X＝n－3)．
3
3 4 4
sin A sin B
所以 cos B ＝ 2 所以 B ＝ ．
…………………………… 7 分
（2）因为 cos
C ＝ 5
，C ∈(0，π)， 1－( 5 5 5
所以 sin2C ＝2sin C cos C ＝2× × ＝ ，
5 5
因为 B ＝ ，所以 A ＋C ＝ ，从而 A －C ＝( －C )－C ＝ －2C ，
因此 sin(A －C )＝sin( －2C )＝sin cos2C －cos sin2C
2 5 2 5 10
南京市 2020 届高三年级学情调研
数学参考答案及评分标准
2019.09
一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，计 70 分．
2 1．[1，＋∞） 2． 10
3．4 4．0.018 5．
2 3 6．3
7． 3 8．[－1，2]
9．
10．(1，＋∞)
3
11．20
12．6
13．[－2，2]
14．( ，2)
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．
15．解：（1）因为 a sin2B ＝ 2b sin A ，
由正弦定理 a b
＝
得 2sin A sin B cos B ＝ 2sin B sin A ． ………………… 3 分
因为 A ，B 为△ABC 的内角，所以 sin A ≠0，sin B ≠0，
2
． …………………………… 5 分
又因为 B 为△ABC 的内角，所以 0＜B ＜π，
π
4
5
所以 sin C ＝ 1－cos 2
C ＝
2 5
)2＝ ， …………………………… 9 分
2 5 5 4
5 5 5
cos2C ＝2cos 2C －1＝2×(
5 3
)2－1＝－ ． ………………………… 11 分
π 3π 3π 3π
4 4 4 4
3π 3π 3π
4 4 4
2 3 2 4 2
＝ ×(－ )－(－ )× ＝ ．…………………………… 14 分
⎩1800， 9≤t ≤15，
（2）因为 Q ＝ －100，
所以当 9≤t ≤15 时，Q ＝ －100＝ －100．
6p (t )－7920
t
16．证明：（1）在三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AB ∥A 1B 1，AB ＝A 1B 1．
因为 E ，F 分别为 AB 和 A 1B 1 的中点， 所以 AE ∥FB 1，AE ＝FB 1，
A 1
F
C 1
所以四边形 AEB 1F 是平行四边形， 所以 AF ∥EB 1．
………………………… 4 分
B 1
因为 AF ⊄平面 B 1CE ，B 1E ⊂平面 B 1CE ，
A
C
所以 AF ∥平面 B 1CE ．……………………… 7 分 （2）因为 AB ∥A 1B 1，A 1B 1⊥B 1C ，所以 AB ⊥B 1C ．
E
B
（第 16 题图）
在△ABC 中，因为 AC ＝BC ，E 为 AB 的中点，
所以 AB ⊥CE ．
…………………………… 10 分
因为 AB ⊥B 1C ，AB ⊥CE ，B 1C ∩CE ＝C ，B 1C ⊂平面 B 1CE ，CE ⊂平面 B 1CE ， 所以 AB ⊥平面 B 1CE ．
…………………………… 12 分
因为 AB ⊂平面 ABC ，
所以平面 B 1CE ⊥平面 ABC ．
…………………………… 14 分
⎧1800－15(9－t )2， 4≤t ＜9，
17．解：（1）因为 p (t )＝⎨
其中 t ∈N．
所以当载客人数不超过 1500 人时，4≤t ＜9，
此时 p (t )＝1800－15(9－t )2 随着 t 的增大而增大．
当 t ＝4 时，p (4)＝1800－15(9－4)2＝1425＜1500，符合题意；
当 5≤t ＜9 时，p (t )≥p (5)＝1800－15(9－5)2＝1560＞1500，不符合题意．
因此，发车时间间隔 t 的值为 4． …………………………… 5 分
6p (t )－7920
t
6×1800－7920 2880
t t
由于 Q 的值随着 t 的增大而减少，
故 t ＝9 时 Q 取得最大值，此时 Q max ＝220．
…………………………… 7 分
当 4≤t ＜9 时，Q ＝ －100
t
6[1800－15(9－t )2]－7920 ＝ －100
t
＝1520－90(t ＋ )
…………………………… 9 分
≤1520－90×2
t × ＝260，
当且仅当 t ＝ ，即 t ＝7 时取得最大值．
…………………………… 11 分
2 a _x001F_2 b 2
⎧1＋9e ＝1， ⎨4 b
⎩b a ＋3b e
＝1．
a _x001F_2 12 4 因为 e ＝ ，其中 c 2＝a 2－
b 2，
4 3
3＋4k 2 3＋4k 2 3＋4k 2
12 3＋4k 2 3＋4k 2
3＋4k 2
因为 PQ ⊥BC ，所以直线 PQ 的方程为 y －(－ )＝－ (x － )，
－90t 2＋1620t －4410 ＝ －100
49
t
49
t
49
t
由于 260＞220，故 t ＝7 时 Q 取得最大值．
答：当发车时间间隔为 7 分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260
元．
…………………………… 14 分
a x 2 y 2
18．解：（1）因为( ，3e )和(b ， 3e )都在椭圆 ＋ ＝1 上，
所以
2 2
2 2
2
2 ①
②
…………………………… 2 分
e 2 1
由①整理得，b 2＝ ．
b 2
1 3
代入②得， ＝1－3× ＝ ．
…………………………… 4 分
c
a
可得 b 2＝3c ，a 2＝4c ，从而 c 2＝a 2－b 2＝c ，解得 c ＝1，即 a 2＝4，b 2＝3，
x 2 y 2
故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1．
…………………………… 6 分
（2）由（1）可知 A (－2，0)，B (2，0)．
解法一：因为 C 是椭圆上异于 A ，B 的任意一点，
所以直线 BC 的斜率存在且不为 0．设直线 BC 的方程为 y ＝k (x －2)，k ≠0．
⎧⎪x 2＋y 2
＝1 联立⎨ 4 3 ，消去 y ，得 (3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0．
⎪⎩y ＝k(x －2)
8k 2－6 8k 2－6 12k
解得 x ＝2 或 x ＝ ，从而 C ( ，－ )． …………………… 9 分
因为 P 是 BC 的中点，所以 P ( ，－ 8k 2 6k
)．
6k 1 8k 2
k 3＋4k 2
k 3＋4k 2 23＋4k 23＋4k 23＋4k
23＋4k 4k 23＋4k 23＋4k
23＋4k 23＋4k 解法二：设 C (x 0，y 0)，其中 x 0≠±2，y 0≠0，则由 P 是 BC 的中点，得 P ( y 0
x 02 y 02
因为 x 0≠2，解得 x ＝ x ＋14 x 0＋2→ → → 0
因为 OB ＝(2，0)，所
以 OB · PQ ＝2( － )＝12， )，可得直线 AC 的斜率为 2 8k －6 4k
8k －6 12k 32 k 3＋4k 2 4k 即 OB · PQ 为定值 12． …………………………… 16 分 2 ， )．
2 x 0－2．
2 y 0 2
x
－2
x 2－4 y 0
y 0 2y 0
2 x 0＋2
，
x 0＋2
(x ＋2)．④
x 0－2 x 2－4 y 0 y 0 y 0 2y 0 2 x 0＋2
两边同乘以 y 0，得 (2－x 0)x ＋x 02－4 y 02
＋y 2 ． …………… 14 分
即 OB · PQ 为定值． …………………………… 16 分 4 3 ＝1，得 y 02＝3－
x 2k
化简得 y ＝－ ＋ ． ③
12k
－ 由 A (－2，0)，C ( ，－ ＝－ ， ＋2
3
从而直线 AC 的方程为 y ＝－ (x ＋2)． ④
x 2k 3
联立直线 PQ ，AC 的方程③④，消去 y 得－ ＋ ＝－ (x ＋2)，
32k 2＋18 32k 2＋18
解得 x ＝ ，即点 Q 的横坐标为 ． …………………… 14 分
→ → →
32k 2＋18 8k 2 因为 OB ＝(2，0)，所以 OB · PQ ＝2( － )＝12，
→ →
x 0＋2 y
直线 AC ，BC 的斜率均存在且不为 0，直线 BC 的斜率为
y
x －2 x ＋2 因为 PQ ⊥BC ，所以直线 PQ 的方程为 y － 0
＝－ 0
(x － 0 )，
即 y ＝－ 0 x ＋ 0 ＋ ．③
…………………………… 9 分
又直线 AC 的斜率为 y 0
从而直线 AC 的方程为 y ＝ y 0
联立直线 PQ ，AC 的方程③④，
消去 y ，得 － x ＋ 0
＋ ＝ (x ＋2)，
x 0＋2(x ＋2)． 3x 2
由 ＋ 40 ，
x 2－4 3 代入化简得(2－x 0)x ＋ 0 8 ＝4(2－x 0)(x ＋2)．
x 0＋14，即点 Q 的横坐标为x 0＋14
2
2 2
→ →
由 f ′(x )＞0 得 0＜x ＜ ；由 f ′(x )＜0 得 x ＞ ，
19．解：（1）由 f (x )＝2ln x ＋ax －bx ，得 f ′(x )＝ ，2
由 f (x )≤－2 得 2ln x －bx ≤－2，即 b ≥
． …………………………… 5 分 设 g (x )＝
，x ＞0，则 g′(x )＝－ ，
（3）函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)，当 b ＝4 时 f ′(x )＝ ．
①当 a ＝0 时，f ′(x )＝
，
所以 f (x )的增区间为(0， )，减区间为( ，＋∞)；
……………………… 9 分
②当 a ＜0 时，由 f ′(x )＞0 得 0＜x ＜ ；由 f ′(x )＜0 得 x ＞ ，
所以 f (x )的增区间为(0， )，减区间为( ，＋∞)；
③当 0＜a ＜1 时，由 f ′(x )＞0，得 0＜x ＜ 或 x ＞ ；
由 f ′(x )＜0，得 ＜x ＜ ，
所以 f (x )的增区间为(0， )和( ，＋∞)，
a a
2ax 2－bx ＋2
x
因为曲线 y ＝f (x )在 x ＝1 处的切线为 y ＝2x －3，
所以 f (1)＝a －b ＝－1， f ′(1)＝2a －b ＋2＝2，
解得 a ＝1，b ＝2．
…………………………… 3 分
（2）因为 a ＝0，所以 f (x )＝2ln x －bx ，x ∈(0，＋∞)；
2＋2ln x
x
2＋2ln x 2ln x
x x 2
由 g′(x )＝0 得 x ＝1．
当 0＜x ＜1 时，g′(x )＞0，当 x ＞1 时，g′(x )＜0，
则 g (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，
所以当 x ＝1 时，g (x )有最大值 g (1)＝2．
于是 b ≥2，即实数 b 的取值范围为[2，＋∞) ．
……………………… 8 分
2ax 2－4x ＋2
x
－4x ＋2
x
1 1
2 2
1 1
2 2
1－ 1－a 1－ 1－a
a a
1－ 1－a 1－ 1－a
a a
……………………………11 分
1－ 1－a 1＋ 1－a
a a
1－ 1－a 1＋ 1－a
a a
1－ 1－a 1＋ 1－a
a a
1－ 1－a 1＋ 1－a
减区间为( ， )；
……………………… 13 分
④当 a ≥1 时，f ′(x )≥0 恒成立，于是 f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；
南京市 2020 届高三数学学情调研 第 11 页 共 17 页
综上，当 a ＜0 时，f (x )的增区间为(0， )，减区间为( ，＋∞)；
当 a ＝0 时，f (x )的增区间为(0， )，减区间为( ，＋∞)；
当 0＜a ＜1 时，f (x )的增区间为(0， )和( ，＋∞)，
a a
n 2 ＝2＋2× －(n ＋1)2n ＋1
所以 T n ＝n·2n ＋1，因此 n
＝2n ＋1，从而 ＝2，n
n m (S m ＋λ)
T n n (S n ＋λ)
＝ (n －1)＝ ，即 S n ＝ 2 2 2 n ＋2)
1－ 1－a 1－ 1－a
a a
1 1
2 2
1－ 1－a 1＋ 1－a
a a
1－ 1－a 1＋ 1－a
减区间为( ， )；
当 a ≥1 时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间．
…………………………… 16 分
S 1
20．解：（1）因为数列{ n
}是以 为公差的等差数列，
S S 1 1 n ＋3 n (n ＋3)
所以 n 11＋2(n －1)＝a 1＋2 2 ．…………… 2 分
所以当 n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋3)－(n －1)(
＝n ＋1，
又 a 1＝2＝1＋1，所以 a n ＝n ＋1，n ∈N*. …………………………… 4 分
（2）①因为 b n ＝2n a n ＝(n ＋1)2n ，
所以 T n ＝2×21＋3×22＋…＋(n ＋1)2n ，
因此 2T n
＝2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)2n ＋1，
两式相减，得－T n ＝2×21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)2n ＋1
1－2n
1－2
＝－n·2n ＋1， …………………… 6 分
T n ＋1
T n ＋1 T n n
T
故数列{ n }是以 4 为首项，2 为公比的等比数列.
…………………… 8 分
T ② 因为 m ＝ ，
南京市 2020 届高三数学学情调研 第 12 页 共 17 页
n·2n ＋1 n (n ＋3) 2m 2n n [ ＋λ]
2n ，n ∈N*，
2n ＝ 2n ＋1 ， 则 f (n ＋1)－f (n )＝ － 2m ＝ 2 ． ………………… 12 分
25 ＝ 16 当 m ≥5 时， ≤ ，
16 2 16 16 8 16 2
2m ＜ 2 ，与
m 2＋3m ＋2λ 5＋λ 所以当 m ≥5 时，m 2＋3m ＋2λ 5＋λ 当 m ＝3 时， ＝ ，解得λ＝－1；
当 m ＝4 时， ＝ ，解得λ＝－2；
m (m ＋3) m [ ＋λ] m·2m ＋1 2 m 2＋3m ＋2λ n 2＋3n ＋2λ
所以 ＝ ，即 ＝ ，…………… 10 分
2
n 2＋3n ＋2λ
设 f (n )＝
n 2＋5n ＋4＋2λ n 2＋3n ＋2λ －n 2－n ＋4－2λ
2n ＋1
当 n ≥3 时，－n 2－n ＋4－2λ≤－32－3＋4－2λ＝－8－2λ≤－8－2(－2)＝－4＜0，
所以当 n ≥3 时，f (n ＋1)＜f (n )，
因此当 m ＞n ≥3 时，f (n )＞f (m )，与 f (n )＝f (m )相矛盾，
m 2＋3m ＋2λ 5＋λ
又 n ＞1，于是 n ＝2， 所以
m 2＋3m ＋2λ 52＋3×5＋2λ 20＋λ 2m
又 20＋λ 5＋λ
－20－7λ －20－7×(－2) 3 20＋λ 5＋λ － ＝ ≤ ＝－ ＜0，即 ＜ ，
2m ＝ 2 相矛盾．
又 m ＞n ＝2，所以 m ＝3 或 4． ………………… 14 分
32＋3×3＋2λ 5＋λ 23 2
42＋3×4＋2λ 5＋λ
24 2
因此λ的所有可能值为－1 和－2.
…………………………… 16 分
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⎣c d ⎦ ⎣2 1⎦ ⎣0 1⎦⎥， ⎩23c c ＋2d ＝1
＝
0．，解得 a ＝－ ，b ＝ ，c ＝ ，d ＝－ ，
⎡－1 3⎤
＝⎢ 1⎥ ⎣
2 －2⎦
⎡a b ⎤ ⎡
d
⎢ad －bc －
b
ad －⎥
⎥(ad －bc≠0)的逆矩阵为⎢ ⎥，
⎣－ad －bc ad －bc
⎦
⎡－1 3
⎤ ＝⎢ 1⎥
⎣ 2
－2
⎦
⎥ ⎪⎨⎥ ⎢⎩
南京市 2020 届高三学情调研考试
数学附加题参考答案及评分标准
2019．09
21．【选做题】在 A 、B 、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．
A ．选修 4—2：矩阵与变换
⎡2 3⎤ ⎡a b ⎤ ⎡a b ⎤ ⎡2 3⎤ ⎡1 0⎤
解：（1）解法一：因为 A ＝⎢ ⎥，设 A －1＝⎢ ⎥，则由 A －1A ＝E ，得⎢ ⎥ ⎢ ⎥＝⎢
⎣2 1⎦ ⎣c d ⎦
⎧2a ＋2b ＝1， 所以⎨3a
＋b ＝0， d
＋
1 3 1 1
4 4 2 2
…………………………… 2 分
从而 A －1 ⎢ 4 4⎥
． …………………………… 4 分
1
⎤ 解法二：因为矩阵⎢ ⎣c d ⎦
c a
………………………… 2 分
⎡2 3⎤
⎢ 4
4⎥ 又 A ＝⎢ ⎥，所以 A －1
．
…………………………… 4 分
⎣2 1⎦
1
（2）设曲线 C 上任意一点 P (x ，y )在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P ′(x ′，y ′)，
则 ⎡x′⎤＝⎡2 3⎤ ⎡x ⎤＝⎡2x ＋3y ⎤
，所以⎧x ′＝2x ＋3y ， ⎣y′⎦ ⎣2 1⎦ ⎣y ⎦ ⎣2x ＋y ⎦ ⎪y ′＝2x ＋y ．
……………………7 分
因为(x ′，y ′)在曲线 C ′上，所以 x ′2－3y ′2＝1，
代入得(2x ＋3y )2－3(2x ＋y )2＝1，
化简得 6y 2－8x 2＝1，即曲线 C 的方程为 6y 2－8x 2＝1． ………………… 10 分
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故以{ AB ， AD ， AP }为正交基底建立空间直角坐标系 A －xyz ．设 AB ＝a ．
所以 C (a ，2，0)，D (0，2，0)，F ( ，0，0)，E (0，0，1)，
所以曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离的最大值为|2a ＋4|
所以 DF ＝( ，－2，0)， CE ＝(－a ，－2，1)， ………………………… 2 分
因为 DF ⊥CE ，所以 DF · CE ＝0，
z
B ．选修 4—4：坐标系与参数方程
解：将直线 l 的参数方程化为普通方程，得 ax －4y ＝－4，即 ax －4y ＋4＝0．
…………………………… 2 分
将曲线 C 的参数方程化为普通方程得(x －2)2＋y 2＝1，
…………………… 4 分
所以曲线 C 是以(2，0)为圆心，1 为半径的圆，
a 2＋16＋1．…………… 6 分
又因为曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离的最大值为 3， 所以|2a ＋4|
＋1＝3，即(a ＋2)2＝a 2＋16，
………………………… 8 分 a 2＋16
所以 4a ＋4＝16，解得 a ＝3．
………………………… 10 分
C ．选修 4—5：不等式选讲
解：当 x ≥1 时，原不等式化为 x 2＋2(x －1)＜6，
即 x 2＋2x －8＜0，解得－4＜x ＜2，
所以 1≤x ＜2；
…………………………… 4 分
当 x ＜1 时，原不等式化为 x 2－2(x －1)＜6，
即 x 2－2x －4＜0，解得 1－ 5＜x ＜1＋ 5，
所以 1－ 5＜x ＜1．
………………………… 8 分
综上 1－ 5＜x ＜2．
所以不等式的解集为(1－ 5，2)．
…………………………… 10 分
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分．
22．解：（1）因为底面 ABCD 是矩形，且 PA ⊥平面 ABCD ，
→ → →
因为 PA ＝AD ＝2，E ，F 分别为 PA ，AB 的中点，
a
2
→ a →
2
→ →
P
E
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A
D
y
即 ×(－a )＋(－2)×(－2)＋0×1＝0，
所以 DF ＝( 2，－2，0)， EF ＝( 2，0，－1)．
n · EF ＝0， 2x －z ＝0，
→ 2x －2y ＝0，
又 CF ＝(－ 2，－2，0)，
CF ·n － 2× 2－2×1＋0×2 2 42 所以 cos ＜ CF ，n ＞＝ ＝ ＝－ ．
6× 7 | CF ||n | 则 sin α＝| cos ＜ CF ，n ＞|＝ ，
即直线 CF 与平面 DEF 所成角的正弦值为 ． ……………………… 10 分
P (X ＝1)＝ ＝ ；
P (X ＝2)＝ 4 5
4 5
P (X ＝3)＝ ＝ ； P (X ＝4)＝ 8 C 34C 35 20 C C
a 2
解得 a ＝2 2，
所以 AB 的长为 2 2．………………… 4 分
（2）因为 a ＝2 2，
→ →
设平面 DEF 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，
→ 则
即 n · DF ＝0，
取 n ＝( 2，1，2)．
…………………………… 6 分
→
→
→
→ 21
………………………… 8 分
记直线 CF 与平面 DEF 所成角为α，
→ 2 42
21
2 42
21
23．解：（1）当 n ＝5 时，B ＝{1，2，3，4，5}．
随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4．
1 1
3＋3 3
＝ ；
C 3C 3 40
C 3C 3 20
9＋6 3 18 9
＝ 3 3 4 5
．
…………………………… 4 分
因此随机变量 X 的概率分布如下表：
X
P
1
1 40 2
3 20 3
3 8 4
9 20
随机变量 X 的数学期望
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E (X )＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ ．
…………………………… 6 分
C 4C n
2
C 23C 2n －3＋C 22C 2n －2 3(n －3)(2n －7)
1 3 3 9 13
40 20 8 20 4
（2）由题意知，
当 S ＝1 时，T ＝n －2，此时，符合要求的取法共有 C 2C n －3种；
当 S ＝2 时，T ＝n －1，此时，符合要求的取法共有 C 2
C n －2种．………… 8 分
故 P (X ＝n －3)＝ ＝ ．
…………… 10 分
3 3 2n (n －1)(n －2)
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