2019高考数学(文)试题精校精析(陕西卷)(纯word书稿)

2019高考数学（文）试题精校精析（陕西卷）（纯word书
稿）
1、[2018·陕西卷]集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，那么M∩N＝()
A、(1,2)
B、[1,2)
C、(1,2]
D、[1,2]
1、C[解析]本小题主要考查集合的概念及基本运算以及对数函数的性质一元二次不等式的解法、解题的突破口为解对数不等式以及一元二次不等式、对于lg x>0可解得x>1；对于x2≤4可解得－2≤x≤2，根据集合的运算可得1<x≤2，应选C.
2、[2018·陕西卷]以下函数中，既是奇函数又是增函数的为()
A、y＝x＋1
B、y＝－x3
C、y＝1
x D、y＝x|x|
2、D[解析]本小题主要考查函数的单调性奇偶性，解题的突破口为单调性的定义奇偶性的定义与函数图像的对应关系、假设函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；假设函数为奇函数，其图像关于原点对称、经分析，A选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；应选D.其实对于选项D，我们也可利用x>0x＝0x<0讨论其解析式，然后画出图像，结果符合要求，应选D.
3、[2018·陕西卷]对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图1－1所示)，那么该样本中的中位数众数极差分别是()
－1
A、46,45,56
B、46,45,53
C、47,45,56
D、45,47,53
3、A[解析]此题主要考查茎叶图数据的读取和数据特征的简单计算，由所给的茎叶图可知所给出的数据共有30个，其中45出现3次为众数，处于中间位置的两数为45和47，那么中位数为46；极差为68－12＝56.应选A.
4、[2018·陕西卷]设a，b∈，i是虚数单位，那么“ab＝0”是“复数a＋b
i为纯虚数”的()
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
4、B[解析]本小题主要考查充要条件的概念以及复数的相关知识，解题的突
破口为弄清什么是纯虚数，然后根据充要条件的定义去判断、a＋b
i＝a－b i，假
设a＋b
i为纯虚数，a＝0且b≠0，所以ab＝0不一定有a＋
b
i为纯虚数，但a＋
b
i为
纯虚数，一定有ab＝0，故“ab＝0”是“复数a＋b
i为纯虚数”的必要不充分条
件，应选B.
图1－2
5、[2018·陕西卷]图1－2是计算某年级500名学生期末考试(总分值为100分)及格率q的程序框图，那么图中空白框内应填入()
A、q＝N M
B、q＝M N
C、q＝
N M＋N
D、q＝
M M＋N
5、D[解析]通过阅读题目所给的程序框图可知是循环结构，最终求解的是
500个人的及格率，故填入的应为及格率q＝
M
M＋N.
6、[2018·陕西卷]圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，那么()
A、l与C相交
B、l与C相切
C、l与C相离
D、以上三个选项均有可能
6、A[解析]本小题主要考查直线与圆的位置关系，解题的突破口为熟练掌握判断直线与圆位置关系的方法、x2＋y2－4x＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P(3,0)到圆心的距离为d＝3－22＋0－02＝1<2，点P(3,0)恒在圆内，过点P(3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交、应选A.
7、[2018·陕西卷]设向量＝(1，cosθ)与＝(－1,2cosθ)垂直，那么cos2θ等于()
A.22
B.12 C 、0D 、－1
7、C[解析]由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，那么有1－2cos 2
θ＝0，那么cos2θ＝2cos 2θ－1＝0.应选C.
8、[2018·陕西卷]将正方体(如图1－3①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，那么该几何体的左视图为()
图1－
图1－4
8、B[解析]分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.
9、[2018·陕西卷]设函数f (x )＝2
x ＋ln x ，那么()
A 、x ＝1
2为f (x )的极大值点
B 、x ＝1
2为f (x )的极小值点 C 、x ＝2为f (x )的极大值点 D 、x ＝2为f (x )的极小值点
9、D[解析]所给的原函数f (x )＝2
x ＋ln x 的导函数为f ′(x )＝－2
x 2＋1
x ，令其为0可得x ＝2，且验证导数为左负右正，应选D.
10、[2018·陕西卷]小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，那么()
A 、a ＜v ＜ab
B 、v ＝ab
C.ab ＜v ＜a ＋b 2D 、v ＝a ＋b
2
10、A[解析]由小王从甲地往返到乙地的时速为a 和b ，那么全程的平均时速为2s ⎝ ⎛⎭
⎪⎫s a ＋s b ＝2ab
a ＋
b ，取值验证可知A 成立、
11、[2018·陕西卷]设函数
f (x )＝⎩⎨⎧
x ，x ≥0，
⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x
，x ＜0，
那么f (f (－4))＝
________.
11、4[解析]由题目所给的是一分段函数，而f (－4)＝16，f (16)＝4，故答
案为4.
12、[2018·陕西卷]观察以下不等式
1＋1
22<
3
2，
1＋1
22＋
1
32＜
5
3，
1＋1
22＋
1
32＋
1
42＜
7
4，
……
照此规律，第五个
．．．不等式为________、
12、1＋1
22＋
1
32＋
1
42＋
1
52＋
1
62<
11
6[解析]本小题主要考查了归纳与推理的能力，
解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果、从几个不等
式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋1
22＋
1
32＋
1
42＋
1
52＋
1
62，对几个不等
式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子
依次为：3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋1 22＋
1 32＋1
42＋1
52＋
1
62<
11
6.
13、[2018·陕西卷]在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.
假设a＝2，B＝π
6，c＝23，那么b＝________.
13、2[解析]利用题目中所给的是两边和其对应夹角关系，可以使用余弦定理来计算，可知：b2＝a2＋c2－2ac 2.
图1－5
14、[2018·陕西卷]图1－5是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米、
14、26[解析]本小题主要考查了抛物线的知识，解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程、以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为：
x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点()
2，－2，代入方程得p＝1，那么抛物
线的方程为：x2＝－2y，当水面下降1米时，为y＝－3，代入抛物线方程得x＝6，所以此时水面宽为26米、
15、[2018·陕西卷]A.(不等式选做题)假设存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，那么实数a的取值范围是________、
B.(几何证明选做题)如图1－6，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，假设AB＝6，AE＝1，那么DF·DB＝________.
图1－6
C.(坐标系与参数方程选做题)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________、
15、A ：－2≤a ≤4[解析]此题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义.||x －a ＋||x －1≤3表示的几何意义是在数轴上一点x 到1的距离与到a 的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a 的取值范围，不难发现－2≤a ≤4.
B ：5[解析]此题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理、连接AD ，在Rt △ABD 中，DE ⊥AB ，所以DE 2＝AE ×EB ＝5，在Rt △EBD 中，EF ⊥DB ，所以DE 2＝DF ×DB ＝5.
C ：3[解析]此题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标、由2ρcos θ＝1得2x ＝1①，由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2
＋y 2
＝2x ②，联立①②得y ＝±3
2，所以弦长为 3.
16、[2018·陕西卷]等比数列{a n }的公比q ＝－1
2.
(1)假设a 3＝1
4，求数列{a n }的前n 项和；
(2)证明：对任意k ∈＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列、
16、解：(1)由a 3＝a 1q 2
＝14及q ＝－12，得a 1＝1，
所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝
2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12n －1
3. (2)证明：对任意k ∈＋，
2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)，
由q ＝－1
2得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0. 所以，对任意k ∈＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列、
17、[2018·陕西卷]函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为
3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π
2.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＝2，求α的值、 17、解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π
2，∴最小正周期T ＝π，
∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.
(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，
即sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π
3，
∴α－π6＝π6，故α＝π
3.
18、[2018·陕西卷]直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，∠CAB ＝π
2. (1)证明：CB 1⊥BA 1；
(2)AB ＝2，BC ＝5，求三棱锥C 1－ABA 1的体积、
18、解：(1)证明：如图，连结AB 1，
∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∠CAB ＝2， ∴AC ⊥平面ABB 1A 1，故AC ⊥BA 1.
又∵AB ＝AA 1，∴四边形ABB 1A 1是正方形， ∴BA 1⊥AB 1，又CA ∩AB 1＝A . ∴BA 1⊥平面CAB 1，故CB 1⊥BA 1.
(2)∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝5，∴AC ＝A 1C 1＝1， 由(1)知，A 1C 1⊥平面ABA 1，
∴VC 1－ABA 1＝13S △ABA 1·A 1C 1＝13×2×1＝2
3. 19、[2018·陕西卷]假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
图1－8
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率、
19、解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝1
4，用频率估计
概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为1
4.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，
其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品
牌的频率是75145＝15
29，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品
牌的概率为15
29.
20、[2018·陕西卷]椭圆C 1：x 2
4＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与
C 1有相同的离心率、
(1)求椭圆C 2的方程；
(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程、
20、解：(1)由可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2
4＝1(a ＞2)，
其离心率为32，故a 2－4a ＝3
2，那么a ＝4，
故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2
4＝1.
(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 2
4＋y 2
＝1中，得(1＋4k 2
)x 2
＝4，所以x 2
A ＝4
1＋4k 2，
将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2
B ＝16
4＋k 2，
又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝16
1＋4k 2，
解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，
因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 2
4＋y 2
＝1中，得(1＋4k 2
)x 2
＝4，所以x 2
A ＝4
1＋4k 2，
由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 2
1＋4k 2，
将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 2
1＋4k 2＝1，
即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
21、[2018·陕西卷]设函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈＋，b ，c ∈)、
(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1内存在唯一零点；
(2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最小值和最大值； (3)设n ＝2，假设对任意x 1，x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围、
21、解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1.
∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1＜0.
∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1内存在零点、 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1时，f ′(x )＝nx n －1＋1＞0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1上是单调递增的， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1内存在唯一零点、
(2)解法一：由题意知⎩⎨⎧－1≤f
－1≤1，－1≤f
1
≤1，
即⎩⎨⎧
0≤b －c ≤2，
－2≤b ＋c ≤0.
由图像知，b ＋3c 在点(0，－2)取到最小值－6，
在点(0,0)取到最大值0，
∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. 解法二：由题意知
－1≤f (1)＝1＋b ＋c ≤1，即－2≤b ＋c ≤0，① －1≤f (－1)＝1－b ＋c ≤1，即－2≤－b ＋c ≤0，② ①×2＋②得
－6≤2(b ＋c )＋(－b ＋c )＝b ＋3c ≤0，
当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0， 所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.
解法三：由题意知⎩⎨⎧
f －1＝1－b ＋c ，
f 1＝1＋b ＋c ，
解得b ＝
f 1－f －1
2，c ＝f 1＋f －1－2
2
， ∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.
又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1， ∴－6≤b ＋3c ≤0，
所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. (3)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .
对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下：
①当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾、
②当－1≤－b
2＜0，即0＜b ≤2时， M ＝f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
b 2＋12
≤4恒成立、
③当0≤－b
2≤1，即－2≤b ≤0时， M ＝f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b 2－12≤4恒成立、 综上可知，－2≤b ≤2.
注：②，③也可合并证明如下：
用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者、
当－1≤－b
2≤1，即－2≤b ≤2时， M ＝max{f (1)，f (－1)}－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－b 2
＝f －1＋f 12＋|f －1－f 1|
2
－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－b 2
＝1＋c ＋|b |－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2
4＋c
＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋|b |22≤4恒成立、。