福建省高考数学60天冲刺训练(9)理

2011某某高考数学（理）60天冲刺训练（9）
一、填空题（每题5分，共70分）
1.已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，M={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则
)(N M C U ⋃=_____________.
2. 若(34)AB =，，点A 的坐标为(21)--，，则点B 的坐标为_____________.
3. 43
)81
1(4lg 285lg -++=_____________.
4.已知向量(12)(45)(10)OA k OB OC k ===-，，，，，，且A B C ，，三点共线，则k =_____________.
5.函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是_____________.
6.在△ABC 中，已知三边c b a 、、 满足ab c b a c b a 3)()(=-+•++, 则∠C=___.
7. 已知向量a 和b 的夹角为0
120，||1,||3a b ==，则|5|a b -=_____________.
8. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝_____________.
9. 在△ABC 中,若a ＝7,b ＝8,13
cos 14
C =,则最大内角的余弦值为_____________.
10. 函数x x y ln 2-=的单调减区间为_____________.
11. 若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为_____________.
12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称，1)1(=-f ，则
++)2()1(f f )2009()3(f f ++ 的值为_____________.
13.已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)=-m ， (cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B =__________.
14. 的取值范围是恒成立，则对一切若a x x a x 02
1
1||>≥+-__________.
二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤） 15．（本小题满分14分）已知.5
1
cos sin ,02=+<<-
x x x π
（1）x x cos sin -的值． （2）x tan 的值．
16．（本小题满分14分）已知向量(sin a θ=,(1,cos )b θ=,(,)22
ππ
θ∈-
.
G
C
O
B
A
（1）若a b ⊥,求θ；（2）求||a b +的最大值.
17． （本小题满分15分）如图，O 是△ABC 外任一点，若1
()3
OG OA OB OC =++，求证：G 是△ABC 重心（即三条边上中线的交点）．
18．（本小题满分15分）
已知复数.1||,sin cos ,sin cos 2121=-+=+=z z i z i z ββαα （1）求)cos(βα-的值； （2）若αβπ
αβπ
sin ,5
3
sin ,202
求且-=<
<<<-
的值
19．（本小题满分16分）已知∆ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长分别为,,a b c ，向量
)cos 1,(sin B B m -=与向量)0,2(=n 夹角θ余弦值为1
2
；
(1)求∠B 的大小； (2)∆ABC 外接圆半径为1，求a c +X 围
20．（本小题满分16分）已知函数2
()8ln f x x x =-，2
()14g x x x =-+. (1) 求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；
(2) 若函数()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,求a 的取值X 围； (3) 若方程()()f x g x m =+有唯一解,试某某数m 的值.
参考答案
一、填空题：
1、{}；
2、(13)，；
3、28；
4、2
3-； 5、π； 6、60°；
7、7； 8、(4,8)--； 9、7
1-； 10、)2,0(；11、120°； 12、1- 13、
6
π
14、≤a 2 二、解答题： 15. 解：（1）0sin ,0cos 02
<>∴<<-
x x x π
x x x x x x cos sin 21)cos (sin cos sin 2--=--=-
5
7
25241]1)cos [(sin 12-=+
-=-+-=x x （2）711tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+x x x x x x 4
3
tan -=∴x
16．解：（1）因为a b ⊥,所以sin 0θθ=
得tan θ=0)3
sin(=π
+θ同样给分） 又(,)22ππ
θ∈-
,所以θ=3
π
- （2
）因为222
||(sin 1)(cos a b θθ+=++=54sin()3
π
θ++
所以当θ=6
π时, 2
||a b +的最大值为5＋4=9 故||a b +的最大值为3
17．证明：略
18、解：（1）,1||),sin (sin )cos (cos 2121=--+-=-z z i z z βαβα
.2
1
212)cos(,1)sin (sin )cos (cos 22=-=
-∴=-+-∴βαβαβα （2）,0,2
02
πβαπ
αβπ
<-<<
<<<-
所以
由（1）得,2
1
)cos(=
-βα .10
3
34)53(215423sin )cos(cos )sin(])sin[(sin .5
4cos ,53sin .23)sin(-=-+⨯=
-+-=+-=∴=∴-==-∴ββαββαββααβββα又
19、解：(1)
m 2sin
(cos ,sin )222
B B B
=，2(1,0)n =， 4sin
cos 22B B m n ⋅=⋅，|m |2sin 2B =，|n |2=，cos cos 2||||
m n B m n θ⋅∴==⋅
由1cos
22B =，0θπ<<得23B π=，即23
B π
=
（2）23B π=，
3
A C π
∴+=
sin sin sin sin()
3sin sin
cos cos
sin 33
1sin sin()23
A C A A A A A A A A π
π
π
π∴+=+-=+-=+=+
又03
A π
<<
，23
3
3
A π
π
π
∴
<
+<
，sin()13A π<+≤
所以sin sin A C +,1]2
∈
又a c +=2sin 2sin R A R C +=()2
sin sin A C +，所以a c +2⎤∈⎦.
20、解：(1)因为8
()2f x x x
'=-
,所以切线的斜率(1)6k f '==- 又(1)1f =,故所求切线方程为16(1)y x -=--,即67y x =-+
(2)因为2(2)(2)
()x x f x x
+-'=,又x>0,所以当x>2时,()0f x '>；
当0<x<2时,()0f x '<.
即()f x 在(2,)+∞上递增,在(0,2)上递减
又2
()(7)49g x x =--+,所以()g x 在(,7)-∞上递增,在(7,)+∞上递减
欲()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,则2
17a a ≥⎧⎨+≤⎩,解得26a ≤≤
(3)原方程等价于2
28ln 14x x x m --=,令2()28ln 14h x x x x =--,则原方程即为
()h x m =.
因为当0>x 时原方程有唯一解,所以函数()y h x =与y m =的图象在y 轴右侧有唯一的
交点
又82(4)(21)
()414x x h x x x x
-+'=-
-=
,且x>0,所以当x>4时,()0h x '>；当0<x<4时,()0h x '<.
即()h x 在(4,)+∞上递增,在(0,4)上递减.故h(x)在x=4处取得最小值 从而当0>x 时原方程有唯一解的充要条件是(4)16ln 224m h ==--。