2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章-第7节-抛物线
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π 答案 6
第30页，共61页。
直线与抛物线的位置关系
[典题导入] (2013·辽宁高考)如图，抛物线 C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点 M(x0，y0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为 原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1－ 2时，切线 MA 的斜率为 －12.
第18页，共61页。
当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为27， 即|PA|＋|PF|的最小值为27， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴P 点的坐标为(2，2)．
第19页，共61页。
[规律方法] 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用 抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．
第20页，共61页。
[跟踪训练] 1．(2012·安徽高考)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于
A，B 两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________． 解析 由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1， 0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点 A 到准线 x＝－1 的距离为 3，∴点 A 的横坐标为 2. 将 x＝2 代入 y2＝4x 得 y2＝8，由图知，y＝2 2， ∴A(2，2 2)，∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)．
第13页，共61页。
抛物线的定义及应用
[典题导入]
(1)(2013·江西高考)已知点 A(2，0)，抛物线 C：x2＝4y
的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点
N，则|FM|∶|MN|＝
()
A．2∶ 5
B．1∶2
C．1∶ 5
D．1∶3
第14页，共61页。
[听课记录] 射线 FA 的方程为 x＋2y－2＝0(x≥0)．
第31页，共61页。
(1)求p的值； (2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合 于O时，中点为O)．
第32页，共61页。
[听课记录] (1)因为抛物线 C1：x2＝4y 上任意一点(x，y)的切线 斜率为 y′＝2x，且切线 MA 的斜率为－12，
所以 A 点坐标为－1，41， 故切线 MA 的方程为 y＝－12(x＋1)＋14.
如图所示，知 tan α＝21，
∴sin
α＝
5 5.
由抛物线的定义知|MF|＝|MG|，
∴||MFMN||＝||MMGN||＝sin
α＝
55＝
1 5.
答案 C
第15页，共61页。
(2)(2014·福州质检)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点
P 到点(0，2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为
第35页，共61页。
[规律方法] 1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直 线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q ＝0. (1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点． (2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物 线的对称轴平行．
第11页，共61页。
5．设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物 线焦点的距离是________． 解析 其准线方程为 x＝－2， 又由点 P 到 y 轴的距离为 4，则 P 点横坐标 xP＝4， 由定义知|PF|＝xP＋p2＝6. 答案 6
第12页，共61页。
距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点
F 到点(0，2)的距离．因此所求的最小值等于
选 A. 答案 A
122＋22＝ 217，
第17页，共61页。
[互动探究] 在本例条件下，求点 P 到点 A(3，2)的距离与点 P 到抛物线焦点 F 距离之和的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标． 解析 将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6＞2，∴A 在抛物线内部． 设抛物线上点 P 到准线 l： x＝－12的距离为 d， 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
第34页，共61页。
由⑤⑥得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为 x0＝x1＋2 x2，y0＝x14x2， 因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 x20＝－4y0， 所以 x1x2＝－x12＋6 x22. ⑦ 由③④⑦得 x2＝43y，x≠0. 当 x1＝x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 x2 ＝43y. 因此线段 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2＝43y.
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
()
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
第23页，共61页。
[听课记录] 设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF| ＝x0＋2p＝5，则 x0＝5－p2. 又点 F 的坐标为p2，0，所以以 MF 为直径的圆的方程为(x－ x0)x－p2＋(y－y0)y＝0. 将 x＝0，y＝2 代入得 px0＋8－4y0＝0，即y202－4y0＋8＝0，所以 y0 ＝4. 由 y20＝2px0，得 16＝2p5－p2，解之得 p＝2，或 p＝8.
x≥0，y∈R
第3页，共61页。
x≤0，y∈R
对称轴
x轴
顶点坐标
原点 O(0，0)
标准方程 y2＝2px(p＞0)
焦点坐标
p2，0
y2＝－2px(p＞0) －p2，0
第4页，共61页。
准线方程 离心率
x＝－p2
x＝2p
e＝1
图形
第5页，共61页。
范围 标准方程 对称轴 顶点坐标
y≥0，x∈R x2＝2py(p＞0)
B [抛物线的标准方程为 x2＝1ay.
则 a＜0 且 2＝－41a，得 a＝－81.]
第8页，共61页。
2．(2014·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆x42＋y92＝1 的下焦点，顶点
在椭圆中心，则抛物线方程为( )
A．x2＝－4 5y
B．y2＝－4 5x
C．x2＝－4 13y
D．y2＝－4 13x
第26页，共61页。
[听课记录] 依题意，设抛物线方程是 y2＝2px(p>0)，则有 2＋p2＝ 3，得 p＝2， 故抛物线方程是 y2＝4x，点 M 的坐标是(2，±2 2)， |OM|＝ 22＋8＝2 3. 答案 B
第27页，共61页。
[规律方法] 1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意 判断标准方程的形式． 2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是 要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．
第37页，共61页。
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (7)∠CFD＝90°.
第38页，共61页。
[跟踪训练] 3．已知抛物线 C 的顶点为 O(0，0)，焦点为
F(0，1)． (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A，B 两点．若直线 AO，BO 分别交直线 l：y＝x－2 于 M，N 两点，求|MN|的最小值． 解析 (1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2＝2py(p＞0)， 则p2＝1， 所以抛物线 C 的方程为 x2＝4y.
第36页，共61页。
2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) (1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝sin22pθ(θ 为 AB 的倾斜角)． (3)S△AOB＝2sipn2θ(θ 为 AB 的倾斜角)．
(4)|A1F|＋|B1F|为定值2p. (5)以 AB 为直径的圆与准线相切．
第28页，共61页。
[跟踪训练] 2．(2014·南京模拟)已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，准线与 y 轴的
交点为 M，N 为抛物线上的一点，且|NF|＝ 23|MN|，则∠NMF ＝________．
第29页，共61页。
解析 如图，过 N 作准线的垂线，垂足为 H， 则|NF|＝|NH|＝ 23|MN|， ∴cos∠MNH＝ 23， ∴∠MNH＝π6 ，∴∠NMF＝π6 .
()
17 A. 2
B．3
9
C. 5
D.2
第16页，共61页。
[听课记录] 记抛物线 y2＝2x 的焦点为 F12，0，准线是 l，由抛 物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离，因此
要求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的
最小值，可以转化为求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到焦点 F 的
解析 由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在 y ห้องสมุดไป่ตู้上，下焦点
坐标为(0，－c)，其中 c＝ a2－b2＝ 5，∴抛物线焦点坐标为
(0，－ 5)，∴抛物线方程为 x2＝－4 5y.
答案 A
第9页，共61页。
3．已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2＝4y 的焦点，且与
抛物线相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( )
第24页，共61页。
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C. 答案 C
第25页，共61页。
(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原
点 O，并且经过点 M(2，y0)．若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3， 则|OM|＝
()
A．2 2
B．2 3
C．4
D．2 5
[关键要点点拨] 1．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线
的距离， p等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题 2
非常有帮助． 2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用． 3．由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y
的系数除以4，再确定焦点位置即可．
因为点 M(1－ 2，y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上， 于是 y0＝－21(2－ 2)＋41＝－3－42 2， ①
y0＝－（1－2p 2）2＝－3－22p
2 .
②
第33页，共61页。
由①②得 p＝2. (2)设 N(x，y)，Ax1，x421，Bx2，x422，x1≠x2， 由 N 为线段 AB 中点知 x＝x1＋2 x2， ③ y＝x21＋8 x22. ④ 切线 MA，MB 的方程为 y＝x21(x－x1)＋x421， ⑤ y＝x22(x－x2)＋x422， ⑥
A．4
B．6
C．10
D．16
D [设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点 F(0，1)，准线
方程是 y＝－1，直线 l：y＝ 3x＋1，由yx＝2＝43yx，＋1，消去 x 得 y2
－14y＋1＝0，y1＋y2＝14，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1
＋y2)＋2＝16.]
第10页，共61页。
4．(2014·郑州模拟)已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2＝ax(a＞0) 的焦点 F，且与 y 轴相交于点 A，若△OAF(O 为坐标原点)的面 积为 4，则抛物线方程为________． 解析 依题意得，|OF|＝4a，又直线 l 的斜率为 2，可知|AO|＝2|OF| ＝2a，△AOF 的面积等于12·|AO|·|OF|＝1a62＝4，则 a2＝64.又 a ＞0，所以 a＝8，该抛物线的方程是 y2＝8x. 答案 y2＝8x
y≤0，x∈R x2＝－2py(p＞0)
y轴
原点O(0，0)
第6页，共61页。
焦点坐标 准线方程
0，p2 y＝－p2
0，－p2 y＝2p
离心率
e＝1
第7页，共61页。
[基础自测自评]
1．(教材习题改编)抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝2，则 a 的值是
()
1 A.8
B．－81
C．8
D．－8
第21页，共61页。
又yy＝ 2＝24x2，（x－1），解得xy＝＝12－， 2，或xy＝ ＝22，2.
由图知，点 B 的坐标为12，－ 2， ∴|BF|＝21－(－1)＝32.
答案
3 2
第22页，共61页。
抛物线的标准方程及几何性质
[典题导入] (1)(2013·新课标全国Ⅱ高考)设抛物线C：y2＝2px(p＞0) 的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0， 2)，则C的方程为
第七节 抛物线
第1页，共61页。
[主干知识梳理]
一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离
相等的点 的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，
直线l叫做抛物线的
准．线
第2页，共61页。
二、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
图形
范围
第30页，共61页。
直线与抛物线的位置关系
[典题导入] (2013·辽宁高考)如图，抛物线 C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点 M(x0，y0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为 原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1－ 2时，切线 MA 的斜率为 －12.
第18页，共61页。
当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为27， 即|PA|＋|PF|的最小值为27， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴P 点的坐标为(2，2)．
第19页，共61页。
[规律方法] 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用 抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．
第20页，共61页。
[跟踪训练] 1．(2012·安徽高考)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于
A，B 两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________． 解析 由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1， 0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点 A 到准线 x＝－1 的距离为 3，∴点 A 的横坐标为 2. 将 x＝2 代入 y2＝4x 得 y2＝8，由图知，y＝2 2， ∴A(2，2 2)，∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)．
第13页，共61页。
抛物线的定义及应用
[典题导入]
(1)(2013·江西高考)已知点 A(2，0)，抛物线 C：x2＝4y
的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点
N，则|FM|∶|MN|＝
()
A．2∶ 5
B．1∶2
C．1∶ 5
D．1∶3
第14页，共61页。
[听课记录] 射线 FA 的方程为 x＋2y－2＝0(x≥0)．
第31页，共61页。
(1)求p的值； (2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合 于O时，中点为O)．
第32页，共61页。
[听课记录] (1)因为抛物线 C1：x2＝4y 上任意一点(x，y)的切线 斜率为 y′＝2x，且切线 MA 的斜率为－12，
所以 A 点坐标为－1，41， 故切线 MA 的方程为 y＝－12(x＋1)＋14.
如图所示，知 tan α＝21，
∴sin
α＝
5 5.
由抛物线的定义知|MF|＝|MG|，
∴||MFMN||＝||MMGN||＝sin
α＝
55＝
1 5.
答案 C
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(2)(2014·福州质检)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点
P 到点(0，2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为
第35页，共61页。
[规律方法] 1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直 线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q ＝0. (1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点． (2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物 线的对称轴平行．
第11页，共61页。
5．设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物 线焦点的距离是________． 解析 其准线方程为 x＝－2， 又由点 P 到 y 轴的距离为 4，则 P 点横坐标 xP＝4， 由定义知|PF|＝xP＋p2＝6. 答案 6
第12页，共61页。
距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点
F 到点(0，2)的距离．因此所求的最小值等于
选 A. 答案 A
122＋22＝ 217，
第17页，共61页。
[互动探究] 在本例条件下，求点 P 到点 A(3，2)的距离与点 P 到抛物线焦点 F 距离之和的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标． 解析 将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6＞2，∴A 在抛物线内部． 设抛物线上点 P 到准线 l： x＝－12的距离为 d， 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
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由⑤⑥得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为 x0＝x1＋2 x2，y0＝x14x2， 因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 x20＝－4y0， 所以 x1x2＝－x12＋6 x22. ⑦ 由③④⑦得 x2＝43y，x≠0. 当 x1＝x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 x2 ＝43y. 因此线段 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2＝43y.
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
()
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
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[听课记录] 设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF| ＝x0＋2p＝5，则 x0＝5－p2. 又点 F 的坐标为p2，0，所以以 MF 为直径的圆的方程为(x－ x0)x－p2＋(y－y0)y＝0. 将 x＝0，y＝2 代入得 px0＋8－4y0＝0，即y202－4y0＋8＝0，所以 y0 ＝4. 由 y20＝2px0，得 16＝2p5－p2，解之得 p＝2，或 p＝8.
x≥0，y∈R
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x≤0，y∈R
对称轴
x轴
顶点坐标
原点 O(0，0)
标准方程 y2＝2px(p＞0)
焦点坐标
p2，0
y2＝－2px(p＞0) －p2，0
第4页，共61页。
准线方程 离心率
x＝－p2
x＝2p
e＝1
图形
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范围 标准方程 对称轴 顶点坐标
y≥0，x∈R x2＝2py(p＞0)
B [抛物线的标准方程为 x2＝1ay.
则 a＜0 且 2＝－41a，得 a＝－81.]
第8页，共61页。
2．(2014·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆x42＋y92＝1 的下焦点，顶点
在椭圆中心，则抛物线方程为( )
A．x2＝－4 5y
B．y2＝－4 5x
C．x2＝－4 13y
D．y2＝－4 13x
第26页，共61页。
[听课记录] 依题意，设抛物线方程是 y2＝2px(p>0)，则有 2＋p2＝ 3，得 p＝2， 故抛物线方程是 y2＝4x，点 M 的坐标是(2，±2 2)， |OM|＝ 22＋8＝2 3. 答案 B
第27页，共61页。
[规律方法] 1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意 判断标准方程的形式． 2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是 要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．
第37页，共61页。
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (7)∠CFD＝90°.
第38页，共61页。
[跟踪训练] 3．已知抛物线 C 的顶点为 O(0，0)，焦点为
F(0，1)． (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A，B 两点．若直线 AO，BO 分别交直线 l：y＝x－2 于 M，N 两点，求|MN|的最小值． 解析 (1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2＝2py(p＞0)， 则p2＝1， 所以抛物线 C 的方程为 x2＝4y.
第36页，共61页。
2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) (1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝sin22pθ(θ 为 AB 的倾斜角)． (3)S△AOB＝2sipn2θ(θ 为 AB 的倾斜角)．
(4)|A1F|＋|B1F|为定值2p. (5)以 AB 为直径的圆与准线相切．
第28页，共61页。
[跟踪训练] 2．(2014·南京模拟)已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，准线与 y 轴的
交点为 M，N 为抛物线上的一点，且|NF|＝ 23|MN|，则∠NMF ＝________．
第29页，共61页。
解析 如图，过 N 作准线的垂线，垂足为 H， 则|NF|＝|NH|＝ 23|MN|， ∴cos∠MNH＝ 23， ∴∠MNH＝π6 ，∴∠NMF＝π6 .
()
17 A. 2
B．3
9
C. 5
D.2
第16页，共61页。
[听课记录] 记抛物线 y2＝2x 的焦点为 F12，0，准线是 l，由抛 物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离，因此
要求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的
最小值，可以转化为求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到焦点 F 的
解析 由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在 y ห้องสมุดไป่ตู้上，下焦点
坐标为(0，－c)，其中 c＝ a2－b2＝ 5，∴抛物线焦点坐标为
(0，－ 5)，∴抛物线方程为 x2＝－4 5y.
答案 A
第9页，共61页。
3．已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2＝4y 的焦点，且与
抛物线相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( )
第24页，共61页。
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C. 答案 C
第25页，共61页。
(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原
点 O，并且经过点 M(2，y0)．若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3， 则|OM|＝
()
A．2 2
B．2 3
C．4
D．2 5
[关键要点点拨] 1．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线
的距离， p等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题 2
非常有帮助． 2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用． 3．由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y
的系数除以4，再确定焦点位置即可．
因为点 M(1－ 2，y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上， 于是 y0＝－21(2－ 2)＋41＝－3－42 2， ①
y0＝－（1－2p 2）2＝－3－22p
2 .
②
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由①②得 p＝2. (2)设 N(x，y)，Ax1，x421，Bx2，x422，x1≠x2， 由 N 为线段 AB 中点知 x＝x1＋2 x2， ③ y＝x21＋8 x22. ④ 切线 MA，MB 的方程为 y＝x21(x－x1)＋x421， ⑤ y＝x22(x－x2)＋x422， ⑥
A．4
B．6
C．10
D．16
D [设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点 F(0，1)，准线
方程是 y＝－1，直线 l：y＝ 3x＋1，由yx＝2＝43yx，＋1，消去 x 得 y2
－14y＋1＝0，y1＋y2＝14，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1
＋y2)＋2＝16.]
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4．(2014·郑州模拟)已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2＝ax(a＞0) 的焦点 F，且与 y 轴相交于点 A，若△OAF(O 为坐标原点)的面 积为 4，则抛物线方程为________． 解析 依题意得，|OF|＝4a，又直线 l 的斜率为 2，可知|AO|＝2|OF| ＝2a，△AOF 的面积等于12·|AO|·|OF|＝1a62＝4，则 a2＝64.又 a ＞0，所以 a＝8，该抛物线的方程是 y2＝8x. 答案 y2＝8x
y≤0，x∈R x2＝－2py(p＞0)
y轴
原点O(0，0)
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焦点坐标 准线方程
0，p2 y＝－p2
0，－p2 y＝2p
离心率
e＝1
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[基础自测自评]
1．(教材习题改编)抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝2，则 a 的值是
()
1 A.8
B．－81
C．8
D．－8
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又yy＝ 2＝24x2，（x－1），解得xy＝＝12－， 2，或xy＝ ＝22，2.
由图知，点 B 的坐标为12，－ 2， ∴|BF|＝21－(－1)＝32.
答案
3 2
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抛物线的标准方程及几何性质
[典题导入] (1)(2013·新课标全国Ⅱ高考)设抛物线C：y2＝2px(p＞0) 的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0， 2)，则C的方程为
第七节 抛物线
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[主干知识梳理]
一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离
相等的点 的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，
直线l叫做抛物线的
准．线
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二、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
图形
范围