北京市丰台区第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

北京市丰台区第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数
学试题
一、单选题
1．已知集合()(){|210}A x x x =∈+-<Z ，{}2,1B =--，那么A B =U （ ） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}2,1,0-- C ．{}2,1--
D ．{}1-
2．设复数z 满足()22i z i -=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知角α的终边经过点()2,1P -，则cos α=（ ）
A B ． C D ． 4．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+单调递增的函数是（ ） A ．ln y x =
B ．3x y -=
C ．21y x =-+
D ．1y x =+
5．设0.434log 0.4,log 3,3a b c ===，则（ ）
A ．a c b <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．b a c << 6．如图，在ABC V 中，点D 是BC 边的中点，3AD GD =u u u r u u u r ，则用向量AB u u u r
，AC u u u r 表示BG u u u r 为（ ）
A ．2133
BG AB AC =-+u uu u r u
u r uuu r
B ．1233
BG AB AC =-+uu u r uu
u r uuu r
C ．2133BG AB AC =-uu u r uu u r uuu r
D ．2133
BG AB AC =+uu u r uu u r uuu r
7．若函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>><< ⎪⎝⎭
的部分图象如图所示，则ϕ的值是（ ）
A ．π3
B ．π6
C ．π4
D ．
π12
8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃．那么min t 后
物体的温θ（单位：℃）可由公式()010kt
e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气
的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min 以后物体的温度是38℃，则k 的值约为(ln3 1.10,ln7 1.95)≈≈（ ） A ．0.25
B ．0.25-
C ．0.89
D ．0.89-
9．设{}n a 是公比为()1q q ≠-的无穷等比数列，n S 为其前n 项和，10a >，则“0q >”是“n S 存在最小值”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．已知函数()f x 的定义域为R ，存在常数()0t t >，使得对任意x ∈R ，都有()()f x t f x +=，当[)0,x t ∈时，()2
t
f x x =-
．若()f x 在区间()3,4上单调递减，则t 的最小值为（ ） A ．3
B ．83
C ．2
D ．85
二、填空题 11．函数()lg 31
x f x +=
12．数列{}n a 是公差为2-的等差数列，记{}n a 的前n 项和为n S ，且134,,a a a 成等比数列，则
1a =；n S =.
13．已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒，2BC BP =u u u r u u u r ，则AP BD ⋅=u u u r u u u r
.
14．设函数()πsin (0)4f x x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭
①给出一个ω的值，使得()f x 的图像向右平移
π
6
后得到的函数()g x 的图像关于原点对称，ω=；
②若()f x 在区间 0,π 上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是．
15．已知函数22,()2,x a x a
f x x ax x a ⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论：
①当1
2
a =-时，()f x 存在最小值；
②当0a =时，()f x 存在唯一的零点；
③()f x 的零点个数为()g a ，则函数()g a 的值域为{}0,1,2,3； ④当1a ≥时，对任意1x ，2x ∈R ，1212()()22x x f x f x f +⎛⎫
+≥ ⎪⎝⎭
.
其中所有正确结论的序号是.
三、解答题
16．已知π,π2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且4sin 5α=.
(1)求πtan 4α⎛
⎫- ⎪⎝⎭的值；
(2)求2sin 2cos 1cos 2αα
α
-+的值.
17．已知等比数列{}n a 满足123a a +=，4524a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 条件①：设221log n n b a -=； 条件②：设2n n b a n =+．
18．已知函数()21
sin cos 2
f x x x x =-．
(1)求()f x 的最小正周期及单调递增区间；
(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最值，并求出此时对应的x 的值；
(3)若()()g x f x m =+在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个零点，直接写出m 的取值范围．
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成角为45︒，底面ABCD 为直角梯形，90,2,1ABC BAD AD PA BC ︒∠=∠====.
(1)求PB 与平面PCD 所成角的正弦值； (2)求平面PCD 与平面PBA 所成角的余弦值；
(3)N 为AD 中点，线段PC 上是否存在动点M （不包括端点），使得点P 到平面BMN 距离为13
. 20．已知二次函数()f x 满足()()2f x f x -=，且该函数的图象经过点()2,3-，在x 轴上截得的线段长为4，设g x =f x −ax . (1)求()f x 的解析式；
(2)求函数()g x 在区间 0,2 上的最小值；
(3)设函数()1
932x x h x +=--，若对于任意[]10,2x ∈，总存在[]20,2x ∈，使得()()12h x g x ≥成
立，求a 的取值范围.
21．已知12:,,,k Q a a a L 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈L ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥L ，使得12i i i i j a a a a n +++++++=L ，则称Q 为m -连续可表数列．
(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a L 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；
(3)若12:,,,k Q a a a L 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++<L ，求证：7k ≥．。