初中数学竞赛中考讲义之双直角三角形模型
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：(1)延长 AB 交海岸线于点 D，过点 B 作 BE⊥海岸线于点 E，过点 A 作 AF⊥l 于 F，如图所示． ∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC＝60°，∠CAF＝30°， ∴∠ECB＝30°，∠ACF＝60°，∴∠BCA＝90°， ∵BC＝12，AB＝36× 40 ＝24，∴AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°， 60
tan BCD
3
6
(海里)，
3
∴AD＋CD＝10 2 ＋10 6 ＝10( 2 ＋ 6 )(海里)．
答：疑似物 C 与搜救船 A 的距离是 10( 2 ＋ 6 )海里，与搜救船 B 的距离是 20 海里．
10.解：这艘船能按原方向继续向前航行．理由如下：
如图，过点 B 作 BH⊥AP 于 H，过点 P 作 PM⊥AB，交 AB 延长线于 M． 由题意，知 AB＝24× 40 ＝16(海里)，∠BAP＝75°﹣45°＝30°．
5、如图，在直角坐标系中，直线 y＝－ 3 x＋6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，AB 中点为点 P，则点 P 到 4
直线 y＝－x 的最短距离 PQ 的长度为
．
6、如图，在△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转．
(1)当 AC 平分∠A′CB′时，BD 的长为
例题 2、如图，在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5km 的码头 MN 和灯塔 C，灯塔 C 距码头的东 端 N 有 20km．一轮船以 36km/h 的速度航行，上午 10：00 在 A 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏 西 30°方向，上午 10：40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60°方向，且与灯塔 C 相距 12km． (1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？ (2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据： 2 ≈1.4， 3 ≈1.7)
3
3
解得 t＝ 12 ，∴BD＝ 5 t＝ 20 .
7
37
(2)可知∠BCD＝∠A′CA＝60°，设 CH＝DH＝t，则 BH＝ 3 t，∴BC＝t＋ 3 t＝4，
解得 t＝2( 3 －1)，∴BD＝ 5 ×2( 3 －1)＝ 10 3 10 .
3
3
7.解：(1)过 D 点作 DE⊥AB，过点 B 作 BF⊥CD，
∴BE＝ DE ＝ tan 30
2＝ 3
6 ，∴AB＝
2＋
6；
3
(2)设
DE＝x，则
AE＝x，BE＝
x tan 30
＝
x＝ 3
3 x，∴BD＝2x，
3
∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴DF＝ 1 BD＝x，∴BF＝ 3 x，∴CF＝ 3 x， 2
∵AB＝AE＋BE＝x＋ 3 x，CD＝DF＋CF＝x＋ 3 x，AB＋CD＝2 3 ＋2，
CD
3
∴AB＝AD＋BD＝90 3 ＋30 3 ＝120 3 ．
答：建筑物 A、B 间距离为 120 3 米．
2.解：设楼高 AB 为 x．
在
Rt△ADB
中有：DB＝
x tan 30
＝
3
x，在
Rt△ACB
中有：BC＝
x tan 45
＝x．
而 CD＝BD－BC＝( 3 －1)x＝60，解得 x＝82．
；
(2)连接 AA′，当△AA′C 为等边三角形时，BD 的长为
．
7、如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°． (1)若 AD＝2，求 AB； (2)若 AB＋CD＝2 3 ＋2，求 AB．
8、如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树 的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部 分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m． (1)求∠CAE 的度数； (2)求这棵大树折断前的高度．(结果精确到个位，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.4)
答：景点 C 到观光大道的距离约为 2.7km．
5.解：可知点 P 为(4，3),作 PH⊥y 轴交直线 y＝－x 于点 H，则 H(4，－4)，PH＝7, ∴最短距离 PQ＝ PH ＝ 7 ＝ 7 2 2 22
6.解：过 D 作 DH⊥BC 于 H，
(1)可知∠BCD＝45°，设 CH＝DH＝t，则 BH＝ 4 t，∴BC＝t＋ 4 t＝4，
(2)如图，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F． 在 Rt△ABF 中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝ 1 AB＝lkm． 2 在△ABC 中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°． 在 Rt△BCF 中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝ 2 BF＝ 2 km， ∴点 C 与点 B 之间的距离为 2 km．
解：(1)如图，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D．设 PD＝xkm． 在 Rt△PBD 中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝xkm． 在 RtA△PAD 中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝ 3 PD＝ 3 xkm． ∵BD＋AD＝AB，∴x＋ 3 x＝2，x＝ 3 －1， ∴点 P 到海岸线 l 的距离为( 3 －1)km；
艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60°的方向，从 B 测得小船在北偏东 45°的方向． (1)求点 P 到海岸线 l 的距离； (2)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西
15°的方向．求点 C 与点 B 之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)．
10、如图，一艘船以每小时 24 海里的速度向北偏西 75°方向航行，在点 A 处测得灯塔 P 在船的西北方向．航 行 40 分钟后到达点 B 处，这时灯塔 P 恰好在船的正北方向．已知距离灯塔 9 海里以外的海区为安全航 行区域．问：这艘船能否按原方向继续向前航行？为什么？
11、学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为 x°、 y°和 z°，若满足 x2＋y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形． (1)根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命 题？ (2)如图，△ABC 内接于⊙0，AB＝ 6 ，AC＝1＋ 3 ，BC＝2，⊙O 的直径 BE 交 AC 于点 D， ①求证：△ABC 是勾股三角形；②求 DE 的长．
∴DH＝4，sin∠ADC＝ AH ，∴AH＝4 3 ． AD
在 Rt△ACH 中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴CH＝AH＝4 3 ，AC＝4 6 ． ∴AB＝AC＋CD＝4 6 ＋4 3 ＋4≈20 (米)． 答：这棵大树折断前高约 20 米．
9.解：过点 B 作 BD⊥AC 于 D．
由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°．
在 Rt△ABD 中，AD＝BD＝AB•sin∠BAD＝20× 2 ＝10 2 (海里)， 2
在
Rt△BCD
中，BC＝
sin
BD BCD
＝ 10 1
2
＝20
2
(海里)，
2
DC＝ BD ＝ 10 2 ＝10
楼的高度大约为
．(保留整数)
3、如图是一山谷的横断面示意图，宽 AA′为 15m，用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出 OA＝1m，
OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B′＝3m(点 A，O，O′,A′在同一条水平线上)，则该山谷的深 h 为
m．
4、如图所示，一条自西向东的观光大道 l 上有 A、B 两个景点，A、B 相距 2km，在 A 处测得另一景点 C 位于点 A 的北偏东 60°方向，在 B 处测得景点 C 位于景点 B 的北偏东 45°方向，求景点 C 到观光大 道 l 的距离．(结果精确到 0.1km)
9、2014 年 3 月 8 日凌晨，马来西亚航空公司吉隆坡飞北京的 MH370 航班在起飞一个多小时后在雷达上 消失，至今没有被发现踪迹．飞机上有 239 名乘客，其中 154 名是中国同胞，中国政府启动了全面应 急和搜救机制，派出多艘中国舰船在相关海域进行搜救．如图，某日在南印度洋海域有两艘自西向东 航行的搜救船 A、B，B 船在 A 船的正东方向，且两船保持 20 海里的距离，某一时刻两船同时测得在 A 的东北方向，B 的北偏东 15°方向有一疑似物 C，求此时疑似物 C 与搜救船 A、B 的距离各是多少？(结 果保留根号)
60 ∵PB∥AC，∴∠BPH＝∠CAP＝45°．
在 Rt△ABH 中，BH＝ 1 AB＝8，AH＝ 3 BH＝8 3 ． 2
在 Rt△PBH 中，PH＝BH＝8，∴PA＝PH＋AH＝8＋8 3 ， ∴PM＝PA•sin∠PAM＝ 1 PA＝4＋4 3 ＞9，∴能按原方向继续向前航行．
3.解：设 A、A′到谷底的水平距离为 AC＝m，A′C＝n，∴m＋n＝15，根据题意知，OB∥CD∥O′B′．
∵OA＝1，OB＝3，0′A′＝0.5，O′B′＝3．∴ h ＝ OB ＝3， h ＝ O ' B ' ＝6，
m OA
n O'A'
∴( 1 ＋ 1 )h＝15，解得 h＝30(m)． 36
参考答案
1.解：∵∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，又∵CD⊥AB，CD⊥EF，∴∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，
在 Rt△ADC 中，tan ∠ACD＝ AD ∴4D＝tan 60°DC＝ 3 ×90＝90 3 ， CD
在 Rt△BCD 中，tan ∠BCD＝ BD ， BD＝tan30°DC＝ 3 ×90＝30 3 ，
∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°，∴∠BDC＝∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝12， ∴时间 t＝ 12 ＝ 1 小时＝20 分钟，∴轮船照此速度与航向航行，上午 11：00 到达海岸线．
36 3 (2)∵BD＝BC，BE⊥CD，∴DE＝EC，
在 RT△BEC 中，BC＝12，∠BCE＝30°， ∴BE＝6，EC＝6 3 ≈10.2，∴CD＝20.4， ∵20＜20.4＜21.5，∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．
第 7 讲 双直角三角形模型
双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一条 直角边共线。但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质． 模型讲解
一般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中∠a 和∠β的三角函数值为已知． 【例题讲解】 例题 1、如图，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB＝2(单位：km)．有一
【巩固练习】
1、如图，从热气球 C 上测定建筑物 A、B 底部的俯角分别为 30°和 60°，如果这时气球的高度 CD 为 150
米，且点 A、D、B 在同一直线上，建筑物 A、B 间的距离为
．
2、如图，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30°，向高楼前进 60 米到 C 点，又测得仰角：(1)延长 BA 交 EF 于点 G．在 Rt△AGE 中，∠E＝23°，∴∠GAE＝67°，又∵∠BAC＝38°， ∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．
(2)过点 A 作 AE⊥CD，垂足为 H．
在△ADH 中，∠ADC＝60°，AD＝8，cos∠ADC＝ DH ， AD
4.解：如图，过点 C 作 CD⊥l 于点 D，设 CD＝xkm， 在△ACD 中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝ 3 CD＝ 3 xkm， 在△BCD 中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝xkm， ∵AD－BD＝AB，∴ 3 x－x＝2，∴X＝ 3 ＋1＝2.7(k m)．
∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝360°﹣45°﹣45°﹣105°＝165°，
∴∠BDF＝∠ADC﹣∠ADB＝165°﹣105°＝60°，△ADE 与△BCF 为等腰直角三角形， ∵AD＝2，∴AE＝DE＝ 2 ＝ 2 ，
2 ∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°﹣(180°﹣45°﹣60°)＝30°，
tan BCD
3
6
(海里)，
3
∴AD＋CD＝10 2 ＋10 6 ＝10( 2 ＋ 6 )(海里)．
答：疑似物 C 与搜救船 A 的距离是 10( 2 ＋ 6 )海里，与搜救船 B 的距离是 20 海里．
10.解：这艘船能按原方向继续向前航行．理由如下：
如图，过点 B 作 BH⊥AP 于 H，过点 P 作 PM⊥AB，交 AB 延长线于 M． 由题意，知 AB＝24× 40 ＝16(海里)，∠BAP＝75°﹣45°＝30°．
5、如图，在直角坐标系中，直线 y＝－ 3 x＋6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，AB 中点为点 P，则点 P 到 4
直线 y＝－x 的最短距离 PQ 的长度为
．
6、如图，在△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转．
(1)当 AC 平分∠A′CB′时，BD 的长为
例题 2、如图，在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5km 的码头 MN 和灯塔 C，灯塔 C 距码头的东 端 N 有 20km．一轮船以 36km/h 的速度航行，上午 10：00 在 A 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏 西 30°方向，上午 10：40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60°方向，且与灯塔 C 相距 12km． (1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？ (2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据： 2 ≈1.4， 3 ≈1.7)
3
3
解得 t＝ 12 ，∴BD＝ 5 t＝ 20 .
7
37
(2)可知∠BCD＝∠A′CA＝60°，设 CH＝DH＝t，则 BH＝ 3 t，∴BC＝t＋ 3 t＝4，
解得 t＝2( 3 －1)，∴BD＝ 5 ×2( 3 －1)＝ 10 3 10 .
3
3
7.解：(1)过 D 点作 DE⊥AB，过点 B 作 BF⊥CD，
∴BE＝ DE ＝ tan 30
2＝ 3
6 ，∴AB＝
2＋
6；
3
(2)设
DE＝x，则
AE＝x，BE＝
x tan 30
＝
x＝ 3
3 x，∴BD＝2x，
3
∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴DF＝ 1 BD＝x，∴BF＝ 3 x，∴CF＝ 3 x， 2
∵AB＝AE＋BE＝x＋ 3 x，CD＝DF＋CF＝x＋ 3 x，AB＋CD＝2 3 ＋2，
CD
3
∴AB＝AD＋BD＝90 3 ＋30 3 ＝120 3 ．
答：建筑物 A、B 间距离为 120 3 米．
2.解：设楼高 AB 为 x．
在
Rt△ADB
中有：DB＝
x tan 30
＝
3
x，在
Rt△ACB
中有：BC＝
x tan 45
＝x．
而 CD＝BD－BC＝( 3 －1)x＝60，解得 x＝82．
；
(2)连接 AA′，当△AA′C 为等边三角形时，BD 的长为
．
7、如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°． (1)若 AD＝2，求 AB； (2)若 AB＋CD＝2 3 ＋2，求 AB．
8、如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树 的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部 分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m． (1)求∠CAE 的度数； (2)求这棵大树折断前的高度．(结果精确到个位，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.4)
答：景点 C 到观光大道的距离约为 2.7km．
5.解：可知点 P 为(4，3),作 PH⊥y 轴交直线 y＝－x 于点 H，则 H(4，－4)，PH＝7, ∴最短距离 PQ＝ PH ＝ 7 ＝ 7 2 2 22
6.解：过 D 作 DH⊥BC 于 H，
(1)可知∠BCD＝45°，设 CH＝DH＝t，则 BH＝ 4 t，∴BC＝t＋ 4 t＝4，
(2)如图，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F． 在 Rt△ABF 中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝ 1 AB＝lkm． 2 在△ABC 中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°． 在 Rt△BCF 中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝ 2 BF＝ 2 km， ∴点 C 与点 B 之间的距离为 2 km．
解：(1)如图，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D．设 PD＝xkm． 在 Rt△PBD 中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝xkm． 在 RtA△PAD 中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝ 3 PD＝ 3 xkm． ∵BD＋AD＝AB，∴x＋ 3 x＝2，x＝ 3 －1， ∴点 P 到海岸线 l 的距离为( 3 －1)km；
艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60°的方向，从 B 测得小船在北偏东 45°的方向． (1)求点 P 到海岸线 l 的距离； (2)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西
15°的方向．求点 C 与点 B 之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)．
10、如图，一艘船以每小时 24 海里的速度向北偏西 75°方向航行，在点 A 处测得灯塔 P 在船的西北方向．航 行 40 分钟后到达点 B 处，这时灯塔 P 恰好在船的正北方向．已知距离灯塔 9 海里以外的海区为安全航 行区域．问：这艘船能否按原方向继续向前航行？为什么？
11、学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为 x°、 y°和 z°，若满足 x2＋y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形． (1)根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命 题？ (2)如图，△ABC 内接于⊙0，AB＝ 6 ，AC＝1＋ 3 ，BC＝2，⊙O 的直径 BE 交 AC 于点 D， ①求证：△ABC 是勾股三角形；②求 DE 的长．
∴DH＝4，sin∠ADC＝ AH ，∴AH＝4 3 ． AD
在 Rt△ACH 中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴CH＝AH＝4 3 ，AC＝4 6 ． ∴AB＝AC＋CD＝4 6 ＋4 3 ＋4≈20 (米)． 答：这棵大树折断前高约 20 米．
9.解：过点 B 作 BD⊥AC 于 D．
由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°．
在 Rt△ABD 中，AD＝BD＝AB•sin∠BAD＝20× 2 ＝10 2 (海里)， 2
在
Rt△BCD
中，BC＝
sin
BD BCD
＝ 10 1
2
＝20
2
(海里)，
2
DC＝ BD ＝ 10 2 ＝10
楼的高度大约为
．(保留整数)
3、如图是一山谷的横断面示意图，宽 AA′为 15m，用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出 OA＝1m，
OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B′＝3m(点 A，O，O′,A′在同一条水平线上)，则该山谷的深 h 为
m．
4、如图所示，一条自西向东的观光大道 l 上有 A、B 两个景点，A、B 相距 2km，在 A 处测得另一景点 C 位于点 A 的北偏东 60°方向，在 B 处测得景点 C 位于景点 B 的北偏东 45°方向，求景点 C 到观光大 道 l 的距离．(结果精确到 0.1km)
9、2014 年 3 月 8 日凌晨，马来西亚航空公司吉隆坡飞北京的 MH370 航班在起飞一个多小时后在雷达上 消失，至今没有被发现踪迹．飞机上有 239 名乘客，其中 154 名是中国同胞，中国政府启动了全面应 急和搜救机制，派出多艘中国舰船在相关海域进行搜救．如图，某日在南印度洋海域有两艘自西向东 航行的搜救船 A、B，B 船在 A 船的正东方向，且两船保持 20 海里的距离，某一时刻两船同时测得在 A 的东北方向，B 的北偏东 15°方向有一疑似物 C，求此时疑似物 C 与搜救船 A、B 的距离各是多少？(结 果保留根号)
60 ∵PB∥AC，∴∠BPH＝∠CAP＝45°．
在 Rt△ABH 中，BH＝ 1 AB＝8，AH＝ 3 BH＝8 3 ． 2
在 Rt△PBH 中，PH＝BH＝8，∴PA＝PH＋AH＝8＋8 3 ， ∴PM＝PA•sin∠PAM＝ 1 PA＝4＋4 3 ＞9，∴能按原方向继续向前航行．
3.解：设 A、A′到谷底的水平距离为 AC＝m，A′C＝n，∴m＋n＝15，根据题意知，OB∥CD∥O′B′．
∵OA＝1，OB＝3，0′A′＝0.5，O′B′＝3．∴ h ＝ OB ＝3， h ＝ O ' B ' ＝6，
m OA
n O'A'
∴( 1 ＋ 1 )h＝15，解得 h＝30(m)． 36
参考答案
1.解：∵∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，又∵CD⊥AB，CD⊥EF，∴∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，
在 Rt△ADC 中，tan ∠ACD＝ AD ∴4D＝tan 60°DC＝ 3 ×90＝90 3 ， CD
在 Rt△BCD 中，tan ∠BCD＝ BD ， BD＝tan30°DC＝ 3 ×90＝30 3 ，
∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°，∴∠BDC＝∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝12， ∴时间 t＝ 12 ＝ 1 小时＝20 分钟，∴轮船照此速度与航向航行，上午 11：00 到达海岸线．
36 3 (2)∵BD＝BC，BE⊥CD，∴DE＝EC，
在 RT△BEC 中，BC＝12，∠BCE＝30°， ∴BE＝6，EC＝6 3 ≈10.2，∴CD＝20.4， ∵20＜20.4＜21.5，∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．
第 7 讲 双直角三角形模型
双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一条 直角边共线。但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质． 模型讲解
一般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中∠a 和∠β的三角函数值为已知． 【例题讲解】 例题 1、如图，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB＝2(单位：km)．有一
【巩固练习】
1、如图，从热气球 C 上测定建筑物 A、B 底部的俯角分别为 30°和 60°，如果这时气球的高度 CD 为 150
米，且点 A、D、B 在同一直线上，建筑物 A、B 间的距离为
．
2、如图，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30°，向高楼前进 60 米到 C 点，又测得仰角：(1)延长 BA 交 EF 于点 G．在 Rt△AGE 中，∠E＝23°，∴∠GAE＝67°，又∵∠BAC＝38°， ∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．
(2)过点 A 作 AE⊥CD，垂足为 H．
在△ADH 中，∠ADC＝60°，AD＝8，cos∠ADC＝ DH ， AD
4.解：如图，过点 C 作 CD⊥l 于点 D，设 CD＝xkm， 在△ACD 中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝ 3 CD＝ 3 xkm， 在△BCD 中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝xkm， ∵AD－BD＝AB，∴ 3 x－x＝2，∴X＝ 3 ＋1＝2.7(k m)．
∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝360°﹣45°﹣45°﹣105°＝165°，
∴∠BDF＝∠ADC﹣∠ADB＝165°﹣105°＝60°，△ADE 与△BCF 为等腰直角三角形， ∵AD＝2，∴AE＝DE＝ 2 ＝ 2 ，
2 ∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°﹣(180°﹣45°﹣60°)＝30°，