2019届湖北黄冈联考协作体期中考试高三理科数学试卷(解析版)

2019届湖北黄冈联考协作体期中考试高三理科数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|x2-5x-6＜0}，B={y|y=+3}，则A∩B=（）
A. B. C. D.
2.有四个关于三角函数的命题：
P1：∃x∈R，sin2+cos2=；
P2：∃x、y∈R，sin（x-y）=sin x-sin y；
P3：∀x∈[0，π]，=sin x；
P4：sin x=cos y⇒x+y=．
其中假命题的是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3.若a=（），b=2，c=3，则a，b，c的大小关系是（）
A. B. C. D.
4.cos105°-cos15°=（）
A. B. C. D.
5.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（-log35）
的值为（）
A. 4
B.
C. 6
D.
6.为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织
法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人．那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）
A. B. C. D.
7.已知数列{a n}中第15项a15=256，数列{b n}满足log2b1+log2b2+…+log2b14=7，且
a n+1=a n•
b n，则a1=（）
A. B. 1 C. 2 D. 4
8.若实数x，y满足|x|+|y|≤2，则M=x2+y2-2x的最小值为（）
A. B. 0 C. D.
9.函数f（x）=x sinx+cos x+x2+2018，则不等式f（ln x）＜f（1）的解集为（）
A. B. C. D.
10.已知F1、F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且
=0，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11.已知，是不共线的两个向量，•的最小值为4，若对任意m，n∈R，|+m|
的最小值为1，|+n|的最小值为2，则||的最小值为（）
A. 2
B. 4
C.
D.
12.若函数f（x）满足f（x）=x（f′（x）-ln x），且f（）=，则ef（e x）＜f′（）+1
的解集是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量与不共线，且=+m，=n+，m≠1．若A，B，D三点共线，则
mn=______．
14.已知点P（x，y）在椭圆上，则2x+y的最大值为______；
15.+（sin27.5°-cos27.5°）=______．
16.已知直线l：y=kx与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交于A，B两点，点M（0，b），且MA⊥MB，
若∈，，则实数k的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．
（1）求C；
（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18.已知等差数列{a n}的公差为2，且a1-1，a2-1，a4-1成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=（n∈N*），S n是数列{b n}的前n项和，求使S n＜成立的最大正整数n．
19.已知a，b，c为正数，且f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求函数f（x）的最小值m；
（2）若a+b+c=m，求a2+b2+c2的最小值．
20.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资所得不超过3500元时不必
纳税，超过3500元的部分应根据个人所得税税率表纳税．从2018年10月起，国家对税收进行改革，个税起征点从3500元升到5000元，即超过5000元需纳税，
（Ⅰ）李先生上班正遇到税收改革，每月预发工资为7500元，则他纳税后实际可得薪水多少元？
（Ⅱ）若努力工作，李先生缴纳的税收可达到190元，则此时他实际可得薪水多少元？
（Ⅲ）根据上图税率表，试简要分析明星逃税的主要原因．
21.已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l
的右上方
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22.已知函数f（x）=（x-1）e x-ax2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点分别记为x1，x2．
①求a的取值范围；
②求证：f′（）＜0．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：集合A={x|x2-5x-6＜0}={x|-1＜x＜6}=（-1，6），
B={y|y=+3}={y|y≥3}=[3，+∞），
则A∩B=[3，6）．
故选：C．
化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】A
【解析】
解：P1：∀x∈R都有sin2+cos2=1，故P1错误；
P2：x=y=0时满足式子，故P2正确；
P3：∀x∈[0，π]，sinx＞0，且1-cos2x=2sin2x，所以=sinx，故P3正确；P4：x=0，，sinx=cosy=0，故P4错误．
故选：A．
P1：同角正余弦的平方和为1，显然错误；
P2：取特值满足即可；
P3将根号中的式子利用二倍角公式化为平方形式，再注意正弦函数的符号即可．
P4由三角函数的周期性可判命题错误．
本题考查全称命题和特称命题的真假判断、以及三角函数求值、公式等，属基本题．
3.【答案】D
【解析】
解：a=（）＞0，b=2=-log32∈（-1，0），c=3=-log23＜-1，
则a，b，c的大小关系是c＜b＜a．
故选：D．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】
解：由于：cos15°+sin15°===，
所以：cos105°-cos15°=cos（90°+15°）-cos15°=-sin15°-cos15°=-（cos15°+sin15°）
=-．
故选：D．
直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式和诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】
解：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），∴f（0）=30+m=0，解得m=-1，故有x≥0时f（x）=3x-1
∴f（-log
5）=-f（log35）=-（）=-4
3
故选：B．
由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f（-log35）=-f（log35）代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项
本题考查函数奇偶性质，解题的关键是利用f（0）=0求出参数m的值，再利用性质转化求值，本题考查了转化的思想，方程的思想．
6.【答案】B
【解析】
解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，
即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，
所以最小应该加4．
因此利用取整函数可表示为y=[]．
故选：B．
由题意，根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加4．进而得到解析式．
本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂读明白题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．
7.【答案】C
【解析】
解：数列{bn}满足log2b1+log2b2+…+log2b14=7，
则：log2（b1•b2…b14）=7，
所以：，
由于：a n+1=a n•b n，
所以：，
则：，
所以：，
由于：数列{a n}中第15项a15=256，
所以：，
故选：C．
直接利用数列的通项公式和裂项相消法求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列中
的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8.【答案】D
【解析】
解：|x|+|y|≤2，其图形正方形，（如图）
M=x2+y2-2x=（x-1）2+y2-1；
即M+1=r2=（x-1）2+y2，
表示圆心为（1，0）的圆，
直线AB方程为：y+x=2；
圆心到直线的距离d===r，
∴M+1=；
可得M=；
故选：D．
根据|x|+|y|≤2，画出图形，M=x2+y2-2x表示圆心为（1，0）的圆，求解最近交点，可得M
本题主要考查函数最值的求解，利用了点到直线的距离公式是解决本题的关键．
9.【答案】B
【解析】
解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2+2018，
可得f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）+x2+2018=f（x），
即有f（x）为偶函数，
当x＞0时，f（x）的导数为f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x
=x（2+cosx）＞0，即f（x）在x＞0递增，
由f（lnx）＜f（1），可得f（|lnx|）＜f（1），
即为|lnx|＜1，即-1＜lnx＜1，
解得＜x＜e，
故选：B．
由奇偶性的定义可得f（x）为偶函数，求得x＞0时f（x）的单调性，即可得到
|lnx|＜1，解不等式可得所求解集．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】
解：∵|PF1|+|PF2|=2a，
∴，①
又=0，
∴，②
∴①-②得：2|PF1|•|PF2|=4（a2-c2）=4b2，
∴|PF1|•|PF2|=b2，
∵△PF1F2的面积为9，
∴=b2=9，b＞0，
∴b=3，
故选：C．
由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，依题意，=4c2，联立两式结合三角形PF1F2的面积为9，即可求得b的值．
本题考查椭圆的简单性质，考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查化归思想与运算能力，属于中档题．
11.【答案】B
【解析】
解：依题意可设，的夹角为θ，则0，
由|+m|的最小值为1，|+n|的最小值为2，
得||sinθ=1，||sinθ=2，
所以||×||×sin2θ=2，
所以||×||=，
又因为=||||cosθ，
所以cos，即sin，
所以||=≥4，
所以||的最小值为4，
故选：B．
由平面向量数量积的性质及其运算得：设，的夹角为θ，则0，由
题
意有||sinθ=1，||sinθ=2，所以||×||=，又因为=|||
|cosθ，所以cos，即sin，所以||=≥4，所以||的最小值为4，得解．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
12.【答案】A
【解析】
解：由f（x）=x（f′（x）-lnx），整理得xf′（x）-f（x）=xlnx，即（）′=，
两边积分==∫lnxd（lnx）=ln2x+C，
整理得：f（x）=ln2x+Cx，
f（）=，代入求得c=，
∴f（x）=ln2x+x，
f′（x）=ln2x+lnx+，令lnx=t，t∈R，
∴f′（t）=t2+t+=（t+1）2≥0，
∴f（x）单调递增，
由f（x）=x（f′（x）-lnx），f（）=，
f′（）=0，
由ef（e x）＜f′（）+1，整理得：f（e x）＜=f（）=f（e-1），
由函数单调性递增，即e x＜e-1，
由y=e x，单调递增，则x＜-1，
∴不等式的解集（-∞，-1），
故选：A．
将函数整理得（）′=，两边积分，求得函数的解析式，求导，求得函数
的单调性及f′（），则不等式转化成f（e x）＜=f（）=f（e-1），利用函数的单调性即可求得不等式的解集．
本题考查求函数的解析式，不等式的解法，考查求函数的不定积分的应用，考查转换思想，属于难题．
13.【答案】1
【解析】
解：∵A，B，D三点共线，∴存在实数k使得，
∴+m=k（n+）=kn+k，
∵向量与不共线，．
∴1=kn，m=k，
解得nn=1．
故答案为：1．
直接利用共线向量基本定理列式计算．
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】
解：化椭圆为参数方程
可得，其中θ为参数，θ∈R．
∴2x+y=2cosθ+2sinθ=4sin（θ+），
∴2x+y的最大值等于4．
故答案为：4．
化椭圆方程为参数方程可得，利用两角和与差的三角函数化简2x+y，然后可得最值．
本题考查椭圆的参数方程，涉及三角函数的最值，也可以利用直线的平行线与椭圆相切，求解平行线之间的距离．
15.【答案】-
【解析】
解：+（sin27.5°-cos27.5°）
=-=
===．故答案为：-．
化切为弦，再由两角和与差的三角函数化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，是基础题．
16.【答案】（1，6-）（6+，+∞）
【解析】
解：联立，消去y得：（k2+1）x2-（2k+2）x+1=0，①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=，x1•x2=，
∵MA⊥MB，∴，
∴（x1，y1-b）（x2，y2-b）=0，即x1•x2+（y1-b）（y2-b）=0．
∵y1=kx1，y2=kx2，
∴（1+k2）x1•x2-kb（x1+x2）+b2=0，
∴（1+k2）•-kb•+b2=0，
即=b+，
∵b∈（1，），
设f（b）=b+，由f（b）在区间（1，）上单调递增，
f（b）∈（2，），
∴∈（0，），解得：1＜k＜6-或k＞6+，
∴k的取值范围（1，6-）（6+，+∞）．
故答案为：（1，6-）（6+，+∞）．
把直线l的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的
关系以及MA⊥MB，求得2+=b+．令f（b）=b+，在区间（1，）上单调
递增，求得f（b）∈（2，），化为关于k的不等式求解．
本题考查直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次不等式的解法，函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题．
17.【答案】解：（1）由已知2cos C（a cos B+b cos A）=c，
正弦定理得：2cos C（sin A cos B+cos A sin B）=sin C，
即2cos C•sin C=sin C，
∵0＜C＜π，sin C≠0，
∴cos C=，
∴C=．
（2）由c=，C=，△ABC的面积为=ab sin=，
∴ab=6，
又由余弦定理c2=b2+a2-2ab cos C，可得：7=b2+a2-ab=（a+b）2-3ab=（a+b）2-18，
可得：（a+b）2=25，解得：a+b=5，
∴△ABC的周长a+b+c=5+．
【解析】
（1）利用正弦定理和和与差公式化简已知等式可得2cosC•sinC=sinC，由0＜C ＜π，sinC≠0，可求cosC=，进而可求C的值．
（2）根据ABC的面积公式可求ab=6，根据余弦定理可求a+b的值，即可求得周长．
本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，属于基础题，解题时要注意余弦
定理的合理运用．
18.【答案】解：（1）由a1-1，a2-1，a4-1成等比数列，
可得（a2-1）2=（a1-1）（a4-1），
即（a1+1）2=（a1-1）（a1+5），
解得a1=3，
故a n=2n+1，n∈N*；
（2）由b n===（-），
得S n=（-+-+…+-）
=（-）=，
由＜，
解得n＜6，
故所求的最大正整数n为5．
【解析】
（1）运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到所求通项；
（2）求得b n==（-），由裂项相消求和可得S n，解不等式即可得到所求最大值．
本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和不等式的解法，属于中档题．
19.【答案】（1）f（x）=|x-1|+|x-2|=
，
，＜＜
，
，
当x≤1时f（x）min=f（1）=1，
当x≥2时f（x）min=f（2）=1，
∴m=1．
（2）由（1）知，a+b+c=m=1．
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1．
∵a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3（a2+b2+c2）．
∴1≤3（a2+b2+c2）．
∴a2+b2+c2≥．
【解析】
（1）f（x）=|x-1|+|x-2|绝对值展开，画图即得；
（2）三次项完全平方和展开，基本不等式应用即得；
考察去绝对值问题及三次项完全平方和在基本不等式中的应用．
20.【答案】解：（Ⅰ）根据税率表，7500-5000=2500＜3000，则需缴纳的税为2500×3%=75元，
则始发薪水为7500-75=7425元；
（Ⅱ）可设李先生预法工资为x元，则剩下的x-5000元需缴纳的税收，
则3000×3%+（x-8000）×10%=190，解得x=9000，则实际可得9000-190=8810元（Ⅲ）由表可知随着收入的增加税率明显提高，即税收变大，
从而导致明星逃税（依法纳税是每个公民应尽的义务，严厉打击逃税行为）
【解析】
（Ⅰ）根据税率表，7500-5000=2500＜3000，则需缴纳的税为2500×3%=75元，
（Ⅱ）可设李先生预法工资为x元，则剩下的x-5000元需缴纳的税收，则3000×3%+（x-8000）×10%=190，求解即可！
（Ⅲ）由表可知随着收入的增加税率明显提高，即税收变大；
本题考查的知识点是分段函数的应用，属于基础题．
21.【答案】解：（1）设圆心C（a，0）（a＞-），
∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，
∴d=r，即=2，
解得：a=0或a=-5（舍去），
则圆C方程为x2+y2=4；
（2）当直线AB⊥x轴，则x轴必平分∠ANB，
此时N可以为x轴上任一点，
当直线AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y=k（x-1），（k≠0），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2+1）x2-2k2x+k2-4=0，经检验△＞0，
∴x1+x2=，，
若x轴平分∠ANB，设N为（t，0）
则k AN=-k BN，即+=0，
整理得：2x1x2-（t+1）（x1+x2）+2t=0，即+2t=0，
解得：t=4，
当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．
【解析】
（1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；
（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB 方程为y=k（x-1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则k AN=-k BN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．
此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆
的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式
是解本题的关键．
22.【答案】解：（1）f′（x）=e x+（x-1）e x-2ax=x（e x-2a），
（i）当a≤0时，e x-2a＞0，x＜0，f′（x）＜0，此时f（x）递减；
x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
（ii）当0＜a＜时，x＜ln2a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当ln2a＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，（iii）当a=时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上单增
（iv）当a＞时，x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜ln2a时，f′（x）＜0，f
（x）递减，
x＞ln2a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述：a≤0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
0＜a＜时，f（x）在（ln2a，0）单调递减，则（-∞，ln2a）和（0，+∞）上单调递增；a=时，f（x）在R上单调递增；
a＞时，f（x）在（0，ln2a）单调递减，在（-∞，0），（ln2a，+∞）上单调递增；
（2）①f（0）=-1
（i）当a=0时，f（x）=（x-1）e x，只有一个零点，舍去
（ii）当a＜0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（0）=-1＜0，
又f（1）=-a＞0，取b＜-1且b＜ln（-）
则f（b）=（b-1）e b-ab2＞-（b-1）-ab2=-（2b2+b-1）=-（b+1）（2b-1）＞0
∴f（x）存在两个零点
（iii）当0＜a＜时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，x≤0时，f（x）＜0
∴f（x）不可能有两个零点，舍去
（iv）当a=时，f（x）在R上单调递增，f（x）不可能有两个零点，舍去
（v）当a＞时，f（x）在（0，ln2a）单调递减，（ln2a，+∞）上单调递增，
x≤0时，f（x）＜0∴f（x）不可能有两个零点，舍去
综上所述：a＜0（本题也可用分离参数法）………（8分）
②由①知：a＜0，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴要证f′（）＜0．
即证＜0．即证x1+x2＜0，
令g（x）=f（x）-f（-x），则g′（x）=f′（x）+f′（-x）=x（e x-2a）+（-x）（e-x-2a）=x （e x-e-x），
当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
不妨设x1＞0＞x2，则g（x1）＞g（0），即f（x1）-f（-x1）＞0，
又∵f（x1）=f（x2），∴f（x2）＞f（-x1），
∴f（x）在（-∞，0）单调递减，
∴x2＜-x1，即x1+x2＜0，原命题得证．
【解析】
（1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．
（2）①根据函数零点的定义，结合函数的单调性进行判断即可．
②要证f′（）＜0．即证＜0．即证x1+x2＜0，构造函数，求的导数，研究函数的单调性进行证明即可．
本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系，讨论a的范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。