湘教版初中数学八年级上册二次根式课件
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因此，当x≥1时， x-1 在实数范围内有意义.
注意：我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有 意义，今后不再写出“在实数范围内”这几个字.
三 二次根式的双重非负性
思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
课堂小结
二次根式
二次根式的概念 二次根式的表示
性质
二次根式有意义的条件 → 被开方数≥0
( a )2 a(a 0)
应用
a2 a(a 0)
xy（x,y异号），
不是
(6) a2 1 , (7) 3 5
是
不是
根指数是3
非负数+正数 恒大于零
二 二次根式有意义的条件
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此 只有当被开方数是非负实数时,二次
根式才在实数范围内有意义.
例2 当x是怎样的实数时，二次根式 x-1 在实数 范围内有意义？
解 : 由 x－1≥0， 解得 x ≥ 1.
第5章 二次根式
5.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
导入新课
回顾与思考 (1) 5的平方根是 _____5___，算术平方根是____5__. (2)正实数a的平方根是____a_，算术平方根是____a__. (3)如果一个正方形的的面积是 S，那么它的边长是 S .
讲授新课
一 二次根式的概念
1.式子
2 有意义的条件是
3x 6
（A ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
2. 计算：
( 1 )( - 3 )2；
(3)
-
3 4
2
；
答案：3
答案：3 4
( 2)(
5 )2 2
.
答案：5
4
(4)
2
-0.01
.
答案：0.01
3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，求 a2 - a-b 。
问题1 上面问题的结果分别是
，它们表示的是
算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，只能是非负数.
问题2 上面问题的结果分别是 和被开方数上看有什么共同特点？
，分别从情势上
①含有“ ”
②被开方数a ≥0
归纳总结
二次根式的定义 一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
想一想：此小题用到了幂 的哪条基本性质呢？
填一填：
a 平方运算
a2
-4
（-4）2=16
算术平 方根
0
02=0
1
12=1
-1
（-1）2=1
1 2
1
4 16
a2
4 0 1 1
视察：两者有 什么关系？
思考：根据前面得出的结论填一填．
22 =
2
；
0.12 =
0.1
；
2 3
2
=
2 3
； 02 =
解：由图可知a＜0，b＞0，且 a ＞ b
a
∴a-b＜0， a2- a-b =-a+a-b=-b
0b
4.（1）若
，求a -b+c的值.
（2）设
，试求2x+y的值.
解：（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4
所以a-b+c=2-3+4=3;
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=202X, 所以2x+y=2×1+202X=202X.
2
2
2
0 2 0
你能把所得的公式用字母表示出来吗？
归纳总结
( a )2 (a 0) 的性质：
一般地，( a )2 ＝a (a ≥0).
例3 计算：
( 1 )( 5 )2 ；
( 2 )( 2 2 )2 .
解： ( 1 ) ( 5 )2 = 5 ；
积的乘方：
（ab）2=a2b2
( 2 ) ( 2 2 )2 = 22× ( 2 )2 = 4× 2 =8 .
“ ”称为二次根号，a叫做被开方数.
要点提醒
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式是二次根式不吗含二?次并根说号 明理由被。开方数是负数
(1) 32, (2) 6, (3)
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
(5)
不是
12 ,
不是 xy＜0
0
.
如何用字母表示你所得的公式呢？
归纳总结
a2 (a 0) 的性质
一般地， a2 ＝a (a≥0).
例4 计算：
( 1 ) ( -2 )2 ；
( 2 ) ( -1.2 )2 .
解: ( 1 ) (-2)2 = 22 = 2 ；
( 2 ) (-1.2)2 = 1.22 = 1.2 .
议一议
当a<0时， a2 = a 是否仍然成立？为什么？
（2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负
二次根式的 双重非负性
四 二次根式的性质
填一填：
a(a≥0)
0
算术平 方根
1
a
0 0
1 1
1 1 42
平方运算 ( a )2 0
1
视察：两者有什么关系？
思考：根据前面得出的结论填一填．
2
4
4
2
1 3
1 3
一般地，当a<0时， a2 = -a.因此，我们可以得到：
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
（× ） （× ） （√ ） （√ ）
议一议：如何区分( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算顺序看 先开方,后平方 先平方，后开方
从取值范围看 a≥0
a取任何实数
பைடு நூலகம்
从运算结果看
a
∣a∣
当堂练习
注意：我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有 意义，今后不再写出“在实数范围内”这几个字.
三 二次根式的双重非负性
思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
课堂小结
二次根式
二次根式的概念 二次根式的表示
性质
二次根式有意义的条件 → 被开方数≥0
( a )2 a(a 0)
应用
a2 a(a 0)
xy（x,y异号），
不是
(6) a2 1 , (7) 3 5
是
不是
根指数是3
非负数+正数 恒大于零
二 二次根式有意义的条件
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此 只有当被开方数是非负实数时,二次
根式才在实数范围内有意义.
例2 当x是怎样的实数时，二次根式 x-1 在实数 范围内有意义？
解 : 由 x－1≥0， 解得 x ≥ 1.
第5章 二次根式
5.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
导入新课
回顾与思考 (1) 5的平方根是 _____5___，算术平方根是____5__. (2)正实数a的平方根是____a_，算术平方根是____a__. (3)如果一个正方形的的面积是 S，那么它的边长是 S .
讲授新课
一 二次根式的概念
1.式子
2 有意义的条件是
3x 6
（A ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
2. 计算：
( 1 )( - 3 )2；
(3)
-
3 4
2
；
答案：3
答案：3 4
( 2)(
5 )2 2
.
答案：5
4
(4)
2
-0.01
.
答案：0.01
3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，求 a2 - a-b 。
问题1 上面问题的结果分别是
，它们表示的是
算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，只能是非负数.
问题2 上面问题的结果分别是 和被开方数上看有什么共同特点？
，分别从情势上
①含有“ ”
②被开方数a ≥0
归纳总结
二次根式的定义 一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
想一想：此小题用到了幂 的哪条基本性质呢？
填一填：
a 平方运算
a2
-4
（-4）2=16
算术平 方根
0
02=0
1
12=1
-1
（-1）2=1
1 2
1
4 16
a2
4 0 1 1
视察：两者有 什么关系？
思考：根据前面得出的结论填一填．
22 =
2
；
0.12 =
0.1
；
2 3
2
=
2 3
； 02 =
解：由图可知a＜0，b＞0，且 a ＞ b
a
∴a-b＜0， a2- a-b =-a+a-b=-b
0b
4.（1）若
，求a -b+c的值.
（2）设
，试求2x+y的值.
解：（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4
所以a-b+c=2-3+4=3;
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=202X, 所以2x+y=2×1+202X=202X.
2
2
2
0 2 0
你能把所得的公式用字母表示出来吗？
归纳总结
( a )2 (a 0) 的性质：
一般地，( a )2 ＝a (a ≥0).
例3 计算：
( 1 )( 5 )2 ；
( 2 )( 2 2 )2 .
解： ( 1 ) ( 5 )2 = 5 ；
积的乘方：
（ab）2=a2b2
( 2 ) ( 2 2 )2 = 22× ( 2 )2 = 4× 2 =8 .
“ ”称为二次根号，a叫做被开方数.
要点提醒
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式是二次根式不吗含二?次并根说号 明理由被。开方数是负数
(1) 32, (2) 6, (3)
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
(5)
不是
12 ,
不是 xy＜0
0
.
如何用字母表示你所得的公式呢？
归纳总结
a2 (a 0) 的性质
一般地， a2 ＝a (a≥0).
例4 计算：
( 1 ) ( -2 )2 ；
( 2 ) ( -1.2 )2 .
解: ( 1 ) (-2)2 = 22 = 2 ；
( 2 ) (-1.2)2 = 1.22 = 1.2 .
议一议
当a<0时， a2 = a 是否仍然成立？为什么？
（2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负
二次根式的 双重非负性
四 二次根式的性质
填一填：
a(a≥0)
0
算术平 方根
1
a
0 0
1 1
1 1 42
平方运算 ( a )2 0
1
视察：两者有什么关系？
思考：根据前面得出的结论填一填．
2
4
4
2
1 3
1 3
一般地，当a<0时， a2 = -a.因此，我们可以得到：
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
（× ） （× ） （√ ） （√ ）
议一议：如何区分( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算顺序看 先开方,后平方 先平方，后开方
从取值范围看 a≥0
a取任何实数
பைடு நூலகம்
从运算结果看
a
∣a∣
当堂练习