重庆市第一中学2020届高三数学下学期5月月考试题理

重庆市第一中学2020届高三数学下学期5月月考试题 理
第I 卷（选择题)
一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分,每小题有且只有一项是正确的）. 1.已知复数)2)(1(i i z +-=，则=⋅z z ( ) A ．2
B ．5
C ．10
D ．18
2.已知非空集合{}
022<--∈⊆x x N x A ，则满足条件的集合A 的个数是 ( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.函数x x f ln )(=过点）（0,0的切线方程为 ( )
A.x y =
B ．x e
y 2
=
C ．x y 2
1=
D.x e
y 1=
4.双曲线13
22
=-x y 的渐近线与圆03422=+-+y y x 的位置关系是 ( ) A ．相切 B ．相离 C ．相交
D ．不确定
5.已知10<<<b a ，则 ( ) A ．b a tan tan > B ．3
23
2b a >
C ．ab b a <+
D ．3
3
ab b a <
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县） 人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶 算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了 利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的
值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）
A.9
B.18
C.20
D.35 7.甲、乙、丙、丁4人排成一纵列，现已知甲不排首位，则乙不 排末位的概率为 ( ) A ．21 B ．127 C ．32 D ．9
7
8.下列说法中正确的个数是 ( )
①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行
②三个平面最多将空间分为8个部分
③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形
④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9.已知点P 在以12,F F 为左，右焦点的椭圆22
22:1(0)2x y C b b b
+=>上，在21F PF ∆中，若
βα=∠=∠1221,F PF F PF ，则
=++β
αβαsin sin )
sin( ( )
A ．
2
1 B ．
22 C ．
2
3 D ．2
10.函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+=2,
0cos 22sin )(πx x x x f ，的单调递减区间是 ( ) A ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡6,
0π B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2
6ππ，
C ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,
0π D ．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡2,3ππ 11.(原创）某中学高三年级在返校复学后，为了做好疫情防护工作，一位防疫督察员要将2盒完全相同的 95N 口罩和3盒完全相同的普通医用口罩全部分配给3个不同的班，每个班至少分得一盒，则不同的 分法种数是 ( ) A ．21 B ．24 C ．27 D ．30 12.(原创）锐角ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且,1=a 1cos cos =-B A b ，若B A ,变化时，
A B 2sin 2sin λ-存在最大值，则正数λ的取值范围是( ) A ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛330， B ．⎪⎭
⎫
⎝⎛210，
C ．⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2233，
D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛121，
第II 卷（非选择题)
二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）.
13.若定义在R 上的函数()f x 满足()()3f x f x +=，且当(]3,0∈x 时，x x f 4log )(=，则
=)2021(f ________.(结果用分数表示）
14.已知0,0>>b a 且1=+b a ，则
b
a 1
13++的最小值为________. 15.(原创），于点，中，在D BC AD A ABC ⊥=∠∆0
90且 AC AB AD 4
3
41+=
，则=∠C ______. 16.(原创）已知半径为7的球面上有三点C B A 、、，32=AB ，球心为O ,二面角O AB C --的大小为
060，当直线OC 与平面OAB 所成角最大时，三棱锥ABC O -的体积为_______.
三、解答题：本大题6个小题，共70分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内.必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.
17.王先生家住杏坛小区，他工作在科学城，从家开车到公司上班路上有21,L L 两条路线，1L 路线上有3
21,,A A A
三个路口，遇到红灯的概率均为21；2L 路线上有21,B B 两个路口，遇到红灯的概率依次为5
3
,43.各路口遇到红灯情况相互独立.
(1)若走1L 路线，求最多遇到1次红灯的概率；
(2)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助王先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
18.数列{}n a 满足11=a ，32=a 且
n
n n n n n n a a a
a a a a --=-+++++111222()*∈N n .
（1）设1n
n n n
a b a a +=
-，证明：数列{}n b 是等差数列；
（2）设()1
2
1++=
n n n n a a a c ，求数列{}n
c 的前n 项和为n S .
19. 如图，在三棱台DEF ABC -中，，EF BC 2=,BC AB ⊥,CF BC ⊥H G 、分别为BC AC 、上的点，
平面,//ABED FGH 平面 （1）;
EGH BC 平面求证：⊥ （2）,22
,===⊥CF BC AB CF AB 若 .
的余弦值求二面角D FG E --
20. （原创）已知抛物线E ：2
4y x = 的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线E 于B A 、， （1）若1AA 垂直l 于点1A ，且6
1π
=
∠AFA ，求AF 的长;
（2）O 为坐标原点,求OAB ∆的外心C 的轨迹方程.
21.（原创）已知).1(2
1)(2
---
=x b ax e x f x
（1）当4,2==b a 时，求)(x f 在[]2,1上的最大值； （2）若对任意)(,0x f a >均有两个极值点)(,2121x x x x <， （i ）的取值范围；
求实数b （ii ）.)()(21e x f x f e a >+=时，证明：当
注：.71828.2为自然对数的底数
⋅⋅⋅=e
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22.选修4 - 4 坐标系与参数方程（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1+sin x y φ
φ
=+⎧⎨
=⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2)sin 1(2
2
=+θρ. （1）求曲线1C 的极坐标方程； （2）射线OA :θα=（02
π
α<<）与曲线1C 交于两点B A ,,并与曲线2C 交于点C ，
求OC
OB OA ⋅的取值范围.
23.选修4 - 5 不等式选讲（10分） 已知函数a x x f -=)(.
（1）当2-=a 时，解不等式42)(2
+-<x x x f ； （2）若2)(≤x f ，求证：()
.12)2(+≤+a a x f
重庆一中高2020级高三下学期5月月考理科数学参考答案 一.选择题：CCDADB ；DBBBCA.
二.填空题：13. 2
1 14. 32+ 15. 0
60 16. 3 三.解答题:
17.解 (1)设走1L 路线最多遇到1次红灯为A 事件，
则.
21212121)(2
1
3303=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C C A P
(2)设选择1L 路线遇到红灯次数为X ，随机变量X 服从二项分布，X ～⎪⎭
⎫
⎝⎛213，B ， 所以().2
3213次=⨯
=X E 设选择2L 路线遇到红灯次数为Y ,Y 的可能取值为2,1,0.
()()().
209
53432209
53415243110
152410=⨯===⨯+⨯===⨯=
=Y P Y P Y P ，，
随机变量Y 的分布列为
.20
27209220911010)(次=⨯+⨯+⨯
=Y E
因为)()(Y E X E >，所以选择2L 路线上班最好． 18.解：（1）n
n n n n n n a a a
a a a a --=-+++++111222
n
n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+
=-+-=---+=-+-=-++++++++++++++++11111121121121222222,
1
1
1121+-=-∴
++++n n n
n n n a a a a a a
即11n n b b +-=，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列.
（2）2
1
,211-==
n b b n 所以因为,即
1212,2111-+=-=-++n n a a n a a a n n n n n ，累乘可得12-=n a n ()⎪⎭⎫
⎝⎛+--+=-=+=
+1211212111441221
2
n n n n a a a c n n n n
1
221++
=+⋅⋅⋅++=n n
n c c c S n n 19.()1证明：因为平面ABED FGH 平面//，BE ABED BCFE =⋂平面平面，
HF GHF BCFE =⋂平面平面，所以HF BE //.
因为EF BC //，所以四边形BHFE 为平行四边形，所以EF BH =， 因为，EF BC 2=所以BH BC 2=，H 为BC 的中点．
同理G 为AC 的中点，所以AB GH //，因为BC AB ⊥，所以BC GH ⊥， 又EF HC //且EF HC =，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以HE CF //， 又BC CF ⊥，所以BC HE ⊥. 又，平面H GH HE EGH GH HE =⋂⊂,, 所以.EGH BC 平面⊥
()GH HE AB GH HE CF CF AB ⊥⊥，所以解：因为//,//,2.
分别以HE HB HG ,,所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz H -, 则)101(),001(),110(),100(，，，，，，，，D G F E - 设平面EFG 的一个法向量为),,111z y x m （=， 因为)101(),010(-=-=，，，，EG EF 则⎩⎨
⎧=-=-0
111z x y ，取)1,0,1(,11==m x 得取．
设平面
FGD 的一个法向量为),,(222z y x n =，
因为())10,0(111，，，，=-=GD FG 则⎩⎨
⎧==-+0
2222z z y x ，取)0,1,1(12-==n x ，得
2
1,cos =⋅=
n
m n m n m ,
.
21
的余弦值为角为锐二面角，所以二面又二面角D FG E D FG E ----
()346
cos 21,3346cos ,
6
6
120111111=====
∠=∠=∠=πππ
π
F
A AF p F A FO A F AA AFA AA AF 得，由解：
()()()2
5
82
144)22(22
5
2224
2,4224,1,2422,42204441),
(1:),,(,2,,2,223222223
32222
222+
=∴=+=+++++-=+
=+++=++-=++-=+=+-==+-=⋅=+=--⎩⎨⎧=+=∈+=y x C t
b a a a ab b a a y t ab b a x b
b x b y a a x a y OB OA t b a ab t b a b a t b a ty y x
y ty x R t ty x AB y x C b b B a a A 的轨迹方程为外心联立可得的中垂线方程分别为、易得即有得由直线设
21.解()()[]
[]()[]1
)1()(2,1,0)(08)2(2,1)(02)(,42)(2,1),1(41max '2'''''2-==∴<∴<-=∴>-=--=∈---=e f x f x f x f e f x f e x f x e x f x x x e x f x x x 上单减，在上单增，且在
()()()()()()().
1,
)(,0)(1
)1(,1,1,0)(ln )(,ln )(0ln ,0ln ln )(,ln ,ln ,)()(,)(i 2''
''21''''>+∞→+∞→>=-=>∴↓+∞↑-=-=>-><--=∴↑
+∞↓∞--=--=-b x f x e a b
f g b a g a a g a a a a g a a a a b b a a a a f x x x f a a x f a e x f b ax e x f a b
x x 所以时，又在在则设均成立，对任意，有两个极值点在在
()()()()()()e
x f x f e m x m x x m x m m x m e e e x m e ex e e x m x e ex ex e e x m e
ex ex e e x f x f x f x f x f x f x x x f x x x x x x x x f x f x f x f x x x f x f h x h x h e e e e e x h x x f x f x h x x x x x x x x x x >+=>∴>↑∞+∴>=↑∞+≥-+=+--=>-+-+=-+-+=+->+∴->∴↓<-<-<∴>->↑∞+-<=<=-<=<∴↑
∞-∴=-≥-+=<--=
-----)()()1()(1
1)(0)(,0)1(1)(02)(,22)()
1(22)(22)()2()()()
2()(,,)(2,212,1,1)()2()()(,1)2()(,0)1()(1,)(0222)()
1),2()()(ii 2122'''2''2'2222
22222121212211212'1'1'2'1''2'''22，即，，在故，，在则设在又，在又，则取在则（设
22解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为()()1112
2
=-+-y x ，曲线1C 的极坐标方程
(),01sin cos 22=++-ρθθρ
（2）01)sin (cos 20
1)sin (cos 22
2
=++-⎩⎨
⎧=++-=ρααρρθθρα
θ得由 所以1=⋅=⋅B A OB OA ρρ,
αρθραθ2
22sin 12
2)sin 1+==⎩
⎨⎧=+=C OC 得（由 20π
α<
<又因为
所以
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∈+=⋅1,222sin 12αOC
OB
OA 23解：（1）4222+-<+x x x
2
1210230
64
224222
22><⇔⎩
⎨⎧><∈⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-⇔+-<+<-+-⇔x x x x R x x x x x x x x x x 或或 （2）证明：,
22)(≤-⇒≤a x x f
().
122222)2(+=+≤+-≤+-=+=+a a a a x a a x a x a x f
附：提高作文水平技巧：
1．细观察。

细致观察是提高写作水平的金钥匙。

只有仔细地观察，才能从生活现象的矿藏中发现碎金璞玉，于泥沙混杂中攫取闪光的宝物。

2．多阅读。

广泛阅读是提高作文水平的前提条件。

要写出好文章，就必须多读书。

“读书破万卷，下笔如有神。

”“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。

”我们强调既要多读，又要选择地读，更要读进去，理解所读文章的结构技艺，语言特点”等。

我读书、学习、积累知识一般是用快速阅读法，这里说的快速阅读不是简单地阅读速度快，跟略读、跳读扫读等有着本质的区别。

快速阅读是一种科学高效的阅读、学习方法。

快速阅读不仅体现在阅读速度的高效上，更是理解的高效：对抓住文章段落的脉络和重点有非常好的作用，帮助我们对文章做整理、分析和归纳。

掌握速读记忆之后，可以把阅读效率提高很多倍，无论是阅读素材积累还是学习，都有极大的帮助的，特别是对于时间紧张的高中生来说，非常有必要练习提高一下。

具体练习可以参考《精英特全脑速读记忆训
练》，我自己用的是这个。

阅读对于一个人的成长是非常重要的，尤其是中学生，加强课外阅读，是非常必要的，阅读从大的作用来说，滋养着人的心田，提高自我修养，养成读书的好习惯，终生收益，从小的方面来说，中学生阅读可以增加知识面，提高语文素养，尤其对于写作有着不可低估的作用。

3．常练笔。

经常练笔是提高作文水平的关键。

要想入作文的大门，并求得不断进步，更重要的是多练。

谚语说的好：“文章读十篇，不如写一篇。

”这就道出了作文实践出真知的道理。

写日记是一种有效的练笔方式，天天坚持写日记，以后作文就有了坚实的基础。