解析几何检测

解析几何检测题
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－3
2
B.3
2 C ．
3 D ．－3
答案：A
2．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 答案：C
3．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－1
4
B ．－4
C ．4 D.1
4
答案：A
4．(2011年青岛质检)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )
A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2
B ．y ＝3x 2
C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2
D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x
答案：D
5．(2011年安徽高考)设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2
D ．2，－1
答案：B
6．(2010年福建高考)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭
圆上的任意一点，则OP →·FP →
的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
答案：C
7．(2010年四川高考)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .
在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0，
22
] B ．(0，1
2]
C ．[2－1,1)
D ．[1
2
，1)
答案：D
8．(2011年东北三校联考)已知双曲线x 29－y 2
16＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P 、
Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF |
|PQ |
的值为( )
A.5
3
B.5
6 C.5
4 D.58
答案：B
9．(2011年广西百所重点中学阶段检测)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线C 上，若点P 到l 的距离等于点P 与坐标原点O 的距离，则tan ∠POF 等于( )
A ．3
B ．2 C.2
D ．2 2 解析：设P (x P ，y P )，由题易知|PO |＝|PF |，∴x P ＝p 4，得y P ＝±p
2
，∴tan ∠POF ＝p 2p 4＝
2 2.
答案：D
10．(2011年福州质检)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2
16＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一
点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有( )个．( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
答案：C
11．(2011年福建高考)设圆锥曲线 Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.12或3
2 B.2
3或2 C.1
2或2 D.23或32 答案：A
12．(2011年湖北高考)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正角形三个数记为n ，则( )
A ．n ＝0
B ．n ＝1
C ．n ＝2
D ．n ≥3
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2011年昆明模拟)过点P (0,2)的直线和抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点横坐标为2，则弦AB 的长为________．
答案：215
14．(2010年重庆高考)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →
，则弦AB 的中点到准线的距离为________．
答案：83
15．(2011年江南十校联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上
任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．
答案：15
16．直线x ＝t 过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两
点，若原点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案：(2，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．求经过7x ＋8y ＝38及3x －2y ＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．
解：易得交点坐标为(2,3)
设所求直线为7x ＋8y －38＋λ(3x －2y )＝0， 即(7＋3λ)x ＋(8－2λ)y －38＝0， 令x ＝0，y ＝38
8－2λ，
令y ＝0，x ＝38
7＋3λ，
由已知，388－2λ＝38
7＋3λ
，
∴λ＝1
5
，即所求直线方程为x ＋y －5＝0.
又直线方程不含直线3x －2y ＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x －2y ＝0亦为所求．
18．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．
解：设所求圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，
∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上，
∴a ＋2b ＝0，① (2－a )2＋(3－b )2＝r 2②
又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22， ∴r 2－(a －b ＋12
)2
＝(2)2③
解由方程①、②、③组成的方程组得： ⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝－3，a ＝6，r 2＝52.
或⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝－7，a ＝14，r 2＝244，
∴所求圆的方程为
(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244. 19．(2011年福建高考)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .
(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．
解：解法一：
(1)依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m
2－0
×1＝－1，
解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)从而圆的半径 r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2 ＝2 2.
故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－x －m ，x 2＝4y
得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．
①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； ②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．
综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切，当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 解法二：
(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.
依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩
⎪⎨⎪
⎧
4＋m 2＝r 2
，|2－0＋m |2＝r ，
解得⎩⎨⎧
m ＝2，
r ＝2 2.
所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同解法一．
20．(2011年北京高考)已知椭圆G 1：x 24＋y 2
＝1，过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭
圆G 于A ，B 两点．
(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝3，
所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝3
2.
(2)由题意知，|m |≥1，
当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为(1，32)，(1，－3
2
)， 此时|AB |＝3，
当m ＝－1时，同理可得|AB |＝3， 当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －m )x 24＋y 2
＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2
又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |
k 2＋1
＝1， 即m 2k 2＝k 2＋1，
所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2
)[64k 4m 2(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2
－4)
1＋4k 2
]
＝
43|m |
m 2＋3
由于当m ＝±1时，|AB |＝3，
所以|AB |＝43|m |
m 2＋3
，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为|AB |＝
43|m |m 2
＋3
＝43
|m |＋
3|m |
≤2，且当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2.
21．(2011年湖南十二校联考)已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切，过点P (－4,0)作斜率为1
4的直线l ，使得l 和G 交于A ，B 两点，和y 轴交于
点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足|P A |·|PB |＝|PC |2.
(1)求双曲线G 的渐近线的方程； (2)求双曲线G 的方程；
(3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴，如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．
解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ， 则由渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切可得|5k |
k 2＋1
＝5， 所以k ＝±1
2，即双曲线G 的渐近线的方程为
y ＝±12
x .
(2)由(1)可设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ， 把直线l 的方程y ＝1
4(x ＋4)代入双曲线方程，
整理得3x 2－8x －16－4m ＝0， 则x A ＋x B ＝8
3，x A x B ＝－16＋4m 3
.(*)
∵|P A |·|PB |＝|PC |2，P 、A 、B 、C 共线且P 在线段AB 上， ∴(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2，即(x B ＋4)(－4－x A )＝16， 整理得4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0. 将(*)代入上式得m ＝28， ∴双曲线的方程为x 228－y 2
7
＝1.
(3)由题可设椭圆S 的方程为x 228＋y 2
a
2＝1(a >27)，
设垂直于l 的平行弦的两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)， 则x 1228＋y 12a 2＝1，x 2228＋y 22
a
2＝1， 两式作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)28＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)a 2＝0.
由于y 1－y 2
x 1－x 2
＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，
所以x 028－4y 0
a
2＝0，
所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线x 28－4y
a 2＝0截在椭圆S 内的部分．
又由已知，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2112＝1
2，即a 2＝56，故
椭圆S 的方程为x 228＋y 2
56
＝1.
22．(2011年湖南高考)如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2，x 轴被曲线C 2：
y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长．
(1)求C 1，C 2的方程；
(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .
①证明：MD ⊥ME ；
②记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2.问：是否存在直线l ，使得S 1S 2＝17
32？请说明理
由．
解：(1)由题意知e ＝c a ＝3
2，从而a ＝2b ，又2b ＝a ，解得a ＝2，b ＝1，故C 1，C 2的
方程分别为x 24
＋y 2
＝1，y ＝x 2－1.
(2)①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx .由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，
y ＝x 2
－1 得x 2－kx －1＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. 又点M 的坐标为(0，－1)，所以k MA ·k MB ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)
x 1x 2
＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1x 1x 2＝－k 2＋k 2＋1
－1
＝－1.
故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME .
②设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为y ＝k 1x －1.
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －1y ＝x 2－1解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝k 1，y ＝k 12－1.
则点A 的坐标为(k 1，k 12－1)．
又直线MB 的斜率为－1k 1，同理可得点B 的坐标为(－1k 1，1
k 12－1)．
于是S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 12·|k 1|·1＋1k 12·|－1k 1|＝1＋k 1
2
2|k 1|
.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1x －1.
x 2＋4y 2
－4＝0得(1＋4k 12)x 2－8k 1x ＝0， 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝8k 1
1＋4k 12
，
y ＝4k 1
2－1
1＋4k
1
2.
则点D 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫8k 11＋4k 12，4k 12
－11＋4k 12.
又直线ME 的斜率为－1k 1，同理可得点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 14＋k 12，4－k 124＋k 12.于是S 2＝12|MD |·|ME |＝32(1＋k 12)·|k 1|
(1＋4k 12)(k 12＋4)
. 因此S 1S 2＝164(4k 12＋4
k 1
2＋17)．
由题意知，164(4k 12＋4k 12＋17)＝1732，
解得k 12＝4，或k 12＝1
4
.
又由点A 、B 的坐标可知，k ＝k 12－1k 12
k 1＋
1k 1
＝k 1－1k 1，所以k ＝±3
2.
故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为y ＝32x 和y ＝－3
2x .。