第3章 第4节

第三章 第四节
一、选择题
1．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2 (x ≥0)
2x (x <0) ,那么⎠⎛－11 f (x )d x 的值是( )
A ．⎠⎛－1
1x 2d x
B ．⎠⎛－1
12x d x
C ．⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛0
12x d x
D ．⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛0
1x 2d x
[答案] D
[解析] 由分段函数的积分公式知选D ．
2．一物体的下落速度为v (t )＝t ＋(单位：m/s) ,那么下落后第二个4s 内经过的路程是( )
A ．249m
B ．
C ．
D ．450m
[答案] B
[解析] 所求路程为⎠⎛4
8(t )d t ＝(t 2t )|84
××××4 (m)．
3．假设S 1＝⎠⎛1
2x 2dx ,S 2＝⎠⎛1
21
x dx ,S 3＝⎠
⎛1
2e x dx ,那么S 1 ,S 2 ,S 3的大小关系为( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3<S 2<S 1
[答案] B [解析] S 1＝⎠⎛
1
2x 2d x ＝
x 33|21＝7
3
. S 2＝⎠
⎛1
21x d x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2. S 3＝⎠⎛1
2e x d x ＝e x |21＝e 2
－e ＝e(e －1)．
∵e>2.7 ,∴S 3>3>S 1>S 2.应选B ．
4．(2021·山东高|考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第|一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A ．22
B ．4 2
C ．2
D ．4
[答案] D [解析] 如下图
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝4x y ＝x 3.解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2 y ＝8 或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2
y ＝－8.
∴第|一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义得 ,S ＝⎠⎛
2(4x －x 3)dx ＝(2x 2－
x 44)|2
＝8－4＝4. 5．由曲线y ＝x 2 ,y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A ．112
B ．1
4
C ．13
D ．712
[答案] A
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x
2y ＝x
3
得交点坐标为(0,0) ,(1,1)．
因此所求图形面积为S ＝⎠⎛0
1(x 2－x 3)d x
＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 410＝112.
,在一个长为π ,宽为2的矩形OABC 内 ,曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如下图的阴影局部 ,向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的) ,那么所投的点落在阴影局部的概率是( )
A ．1π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
[答案] A
[解析] 由题图可知阴影局部是曲边图形 ,考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠
⎛0
π
sin xdx ＝－cos x |π0＝－(cosπ－cos0)＝2 ,再根据几何概型的算法易知所求概率是S S 矩形OABC
＝
22π
＝1π
. 二、填空题
7.⎠⎛－4
3|x ＋2|d x ＝________.
[答案]
292
[解析] 原式＝⎠⎜⎛－4
－2(－x －2)d x ＋⎠
⎛－2
3 (x ＋2)d x ＝29
2.
8．(2021·皖南八校联考)⎠⎛－a
0 a 2－x 2d x ＝________.
[答案] πa 2
4
[解析] ⎠⎛
－a
a 2－x 2d x
表示圆
x 2＋y 2＝a 2在第二象限的面积
,为πa 24
.
9．(2021·江西七校联考)数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＝⎠⎛n
n ＋11
x
d x (n ∈N *) ,那么S 100＝
________.
[答案] ln101
[解析] 依题意 ,a n ＝ln x |n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ,因此S 100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋
(ln101－ln100)＝ln101.
三、解答题 10．求以下定积分： (1)⎠⎛0
1(x 2－x )d x ；
(4)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
(x ≤0)
cos x －1
(x >0)
,求⎠⎛－1
1f (x )d x .
[解析] (1)⎠
⎛0
1(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2| 10＝－16.
(3)令f (x )＝3x 3
＋4sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2
π2
∵f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2
π2上为奇函数 ,
(4)⎠⎛－1
1 f (x )d x ＝⎠
⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛0
1(cos x －1)d x
＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin1－23
.
一、选择题
1．与定积分⎠⎛0
3π1－cos x d x 相等的是( )
A ．2⎠
⎛0
3πsin x
2d x
B ．2⎠
⎛0
3π|sin x
2|d x
C ．|2⎠
⎛0
3πsin x
2d x |
D ．以上结论都不对
[答案] B
[解析] ∵1－cos x ＝2sin 2x
2 ,
∴⎠⎛0
3π
1－cos x d x
＝⎠⎛0
3π2|sin x 2|d x ＝2⎠
⎛0
3π|sin x
2|d x .
2．(2021·江西高|考)假设f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ,那么⎠⎛0
1f (x )d x ＝( )
A ．－1
B ．－13
C ．13
D ．1
[答案] B
[解析] 此题考查定积分的求法． 根据题设条件可得⎠⎛0
1f (x )d x ＝－
x 33|10＝－13
. 二、填空题
3．f (x )＝3x 2＋2x ＋1 ,假设⎠⎛－1
1 f (x )d x ＝2f (a ) ,那么a ＝________.
[答案] －1或1
3
[解析] ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1
1 (3x 2＋2x ＋1)d x
＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4＝2f (a )．
f (a )＝3a 2＋2a ＋1＝2 ,解得a ＝－1或13
.
4．(2021·洛阳统考)用min{a ,b }表示a ,b 两个数中的较小的数 ,设f (x )＝min{x 2 ,x }(x ≥0) ,那么由函数y ＝f (x )的图像、x 轴、直线x ＝1
2和直线x ＝4所围成的封闭图
形的面积为________．
[答案]
11924
[解析] 如下图 ,所求图形的面积为阴影局部的面积 ,即所求的面积
.
三、解答题
5．f (x )为二次函数 ,且f (－1)＝2 ,f ′(0)＝0 ,⎠⎛0
1f (x )d x ＝－2 ,
(1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在[－1,1]上的最|大值与最|小值． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) , 那么f ′(x )＝2ax ＋B ． 由f (－1)＝2 ,f ′(0)＝0 ,得
⎩⎪⎨
⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0 ,即⎩
⎪⎨⎪⎧
c ＝2－a
b ＝0 ,∴f (x )＝ax 2＋(2－a )． 又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛0
1[ax 2＋(2－a )]d x
＝[13ax 3＋(2－a )x ]|10＝2－23a ＝－2 ,∴a ＝6 , 从而f (x )＝6x 2－4.
(2)∵f (x )＝6x 2－4 ,x ∈[－1,1]．
∴当x ＝0时 ,f (x )min ＝－4；当x ＝±1时 ,f (x )max ＝2.
6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ,直线l 1：x ＝2 ,直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2 ,t 为常数)．假设直线l 1 ,l 2与函数f (x )的图像以及l 2 ,y 轴与函数f (x )的图像所围成的封闭图形如图阴影所示．
(1)求a ,b ,c 的值；
(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．
[解析] (1)由图形可知二次函数的图像过点(0,0) ,(8,0) ,并且f (x )的最|大值为16 ,
那么⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝0
a ·82
＋b ·8＋c ＝0 4ac －b 2
4a ＝16
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1
b ＝8
c ＝0.
(2)由(1) ,得f (x )＝－x 2＋8x ,由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－t 2＋8t
y ＝－x 2
＋8x
得x 2－8x －t (t －8)＝0 , ∴x 1＝t ,x 2＝8－t . ∵0≤t ≤2 ,
∴直线l 2与f (x )的图像的交点坐标为(t ,－t 2＋8t )． 由定积分的几何意义知：
S (t )＝⎠⎛0t [(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t
2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x
＝[(－t 2＋8t )x －(－
x 33＋4x 2
)]|t 0＋[(－x 33
＋4x 2)－(－t 2＋8t )x ]|2t
＝－4
3＋10t2－16t＋403.
3t
所以S(t)＝－4
3＋10t2－16t＋403(0≤t≤2)．
3t。