数学建模期末考试2018A试的题目与答案

数学建模期末考试2018A试的题⽬与答案华南农业⼤学期末考试试卷（A 卷）
2012—2０１3学年第⼆学期考试科⽬：数学建模
考试类型:(闭卷）考试考试时间: 12０分钟
学号姓名年级专业
⼀、(满分１2分）⼀⼈摆渡希望⽤⼀条船将⼀只狼、
⼀只⽺、⼀篮⽩菜从河岸⼀边带到河岸对⾯、由于船得限
制、⼀次只能带⼀样东西过河、绝不能在⽆⼈瞧守得情况
下将狼与⽺放在⼀起；⽺与⽩菜放在⼀起、怎样才能将它们安全得带到
河对岸去? 建⽴多步决策模型，将⼈、狼、⽺、⽩菜分别记为i = 1、２、3、
４、当i 在此岸时记ｘｉ＝１、否则为0；此岸得状态下⽤s =（x 1、ｘ2、x 3、x 4)
表⽰。

该问题中决策为乘船⽅案、记为d
= （ｕ1， u ２， u 3, u ４)、当i 在船上时
记u i = 1、否则记u i ＝ 0。

(１）写出该问题得所有允许状态集合；（3分）
（２) 写出该问题得所有允许决策集合；（３分)
(３) 写出该问题得状态转移率。

（3分)
(4）利⽤图解法给出渡河⽅案、 (3分）
解：（１） S={（1,1,1，1）， (1，1，1，0）， (1，1，0，1）, (1，0，
１
，
1）,
（
1,
0，
1，
０
）｝
及她们得5个反状（3分）
(２） D ＝ {(１，1，０，０），（1,0，1，０), （1，0，０,
１
），
（
１
,0,
０
,0
）｝
（
6
分
)
（3） s k+1 = s k + （—1） k d ｋ (９分)
(4）⽅法:⼈先带⽺、然后回来、带狼过河、然后把⽺带回来、放下
⽺、带⽩菜过去、然后再回来把⽺带过去.
或: ⼈先带⽺过河、然后⾃⼰回来、带⽩菜过去、放下⽩菜、带着⽺
回来、然后放下⽺、把狼带过去、最后再回转来、带⽺过去。

（１２
分)
1、⼆、(满分12分) 在举重⽐赛中、运动员在⾼度
与体重⽅⾯差别很⼤、请就下⾯两种假设、建⽴⼀个
举重能⼒与体重之间关系得模型:
（1）假设肌⾁得强度与其横截⾯得⾯积成⽐例。

6分
（2）假定体重中有⼀部分就是与成年⼈得尺⼨⽆关、请给出⼀个改进模型。

6分
解：设体重w （千克)与举重成绩y （千克）
（1）由于肌⾁强度(I)与其横截⾯积（S ）成⽐例、所以 y ∝Ｉ∝Ｓ
设ｈ为个⼈⾝⾼、⼜横截⾯积正⽐于⾝⾼得平⽅、则Ｓ∝ h
2 再体重正⽐于⾝⾼得三次⽅、则ｗ∝ h
3
故举重能⼒与体重之间关系得模型为：
（6分）
（2）体重中与成年⼈尺⼨⽆关得重量为ａ，则⼀个最粗略得模型为
（ 1２分）
三、（满分14分) 某学校规定、运筹学专业得学
⽣毕业时必须⾄少学习过两门数学课、三门运筹学课与两
门计算机课。

这些课程得编号、名称、学分、所属类别与
门课程不选, 建⽴数学规划模型
(１）写出问题得⽬标函数（4分）
(2）每⼈⾄少学习过两门数学课、三门运筹学课与两门计算机课，如何表⽰此约束条件? (５分）
（3) 某些课程有先修课要求，如何表⽰此约束条件? （5分) 解
（１）（4分）
（２）
(９分）
（3）
（1４分）
四、(满分１0分）⾬滴得速度与空⽓密度、粘滞系数与重⼒加
速度有关、其中粘滞系数得量纲［]= 1、⽤量纲分析⽅法给出速度
得表达式、
解：设，,, 得关系为,,,=0、其量纲表达式为
[]=ＬM 0T -1、
[］＝L －3MT 0、
［］=
[］=ＬＭ0T －２,其中L 、Ｍ、T 就是基本量纲、 (3分）
量纲矩阵为
Ａ=
齐次线性⽅程组Ay=0 、即
得基本解为y=(－3 ,— 1 ,1 ，１) （7分)
由量纲PI 定理得、、其中就是⽆量纲常数、 (1０分)
五、（满分12分）设某种群时刻得数量为，初始数量为 ,
（1) 写出种群数量得指数增长模型并求解；
（2）设容许得资源环境最⼤数量为, 写出种群数量得阻滞增长模型（ｌogistic)，
并求其平衡点、
解（1) (3分)
（6分）
（2） (９分
)
平衡点为与（12分）
六、（满分10分）设在⼀个岛屿上栖居着⾷⾁爬⾏动
物与哺乳动物、⼜长着茂盛得植物。

爬⾏动物以哺乳动物
为⾷、哺乳动物⼜依赖植物⽣存、假设⾷⾁爬⾏动物与哺乳动物独⾃⽣存
时服从Ｌogistic变化规律、植物独⾃⽣存时其数量增长服从指数增长规
律。

现有研究发现、当哺乳动物吃⾷植物后、植物能释放某些化学物质对
吃⾷得哺乳动物产⽣⼀定得毒害作⽤。

通过适当得假设、建⽴这三者间得
关系模型、
解：设植物、哺乳动物与⾷⾁爬⾏动物得数量分别为ｘ1(t)，x2(t), x3(t）
假设单位数量得植物所释放得化学物质对吃⾷植物后得哺乳动物得毒害作⽤率为k、（3分)
（1０分)
七、(满分15分）)经过⼀番打探及亲⾝体验、您准备从Array三种车型(记为a，b，ｃ)中选出⼀种购买、选择得标准主要有价格、耗油量⼤⼩、舒适程度与外表美观。

经反
复思考⽐较、构造了它们之间得成对⽐较矩阵
已知其最⼤特征值近似为４、1９８３、
另外、下列矩阵分别就是三种车型关于价格、耗油量、舒适度、及
您对它们外表得喜欢程度得成对⽐较阵：
其中矩阵得元素就是分别就是a，ｂ,c三种车型对于四种标准得优
越性得⽐较尺度、
假定这些成对⽐较阵(包括A)都通过了⼀致性检验、且已知得最⼤
（1）
出（5分）;
(2）分别确定哪种车最便宜、最省油、最舒适、最漂亮（5分）；
(３) 确定您对这三种车型得喜欢程度（⽤百分⽐表⽰)(5分）;
解：记４个准则价格、耗油量⼤⼩、舒适程度与外表美观分别为Ｃ1、
C2、C3、C４、则
即得影响稍强
即得影响强
即得影响稍强
所以四项标准在⼼⽬中得⽐重由重到轻得顺序为:
价格、耗油量⼤⼩、适合程序、外观美观（5
分）
（2)
考虑⽐较阵C1
表明车型a 得价格优越性⾼于车型ｂ、即车型ａ⽐车型ｂ便宜
表明车型ｂ得价格优越性⾼于车型c 、即车型b ⽐车型c 便宜
所以最便宜得车型为ａ、 (７分）
同理可得
最省油得车型为b; （8分)
最舒适得车型为a ；（9分）
最漂亮得车型为b 。

（10分)
(3）
车型a 得组合权重
(０、5８20、0、278６、０、08９9、0、0495)·(０、5３９6、0、1056、0、６267、0、1８8４）T =0、41
车型ｂ得组合权重
(0、５８２0、0、２786、0、0８９９、0、０495)·(0、2970、0、７445、0、２７9７、０、７306）Ｔ=0、４4车型c 得组合权重
（0、582０、0、2786、0、０899、０、0495)·(0、16３4、0、14９9、０、0９36、０、０810）T =０、1５（13分)
车型a 、b 、c 得喜欢程度分别为41％、４4%、１5% （15
分)
⼋、(满分１5分)A,Ｂ,Ｃ三个⼚家都⽣产某产品、 2009年它们在某地区得市场占有率２0０9年分别为： A ⼚
家:40％, B ⼚家：4０%, C ⼚家：２0%。

已知在每年各个⼚家之间得市场占有率转移得基本情况就是:A ⼚家得客户有60％继续⽤该⼚家得产品、20％转为B ⼚家、20％转为C ⼚家；B ⼚家得客户有8０%继续⽤该⼚家得产品、1０%转为A ⼚家、10％转为C ⼚家;C ⼚家得客户有50％继续⽤该⼚家得产品、10％转为Ａ⼚家、40%转为B ⼚家.
（1)预测２010年哪个⼚家得市场占有率最⼤。

(6分)
(2）经过很长时间以后、哪个⼚家得市场占有率最⼤?(6分)
解:状态转移概率矩阵为：
（２分) （4分)
0.60.20.2(1)(0)(0.4,0.4,0.2)0.10.80.1(0.30.480.22)0.10.40.5a a P ===??
(６分)
２０10年Ｂ⼚家市场占有率最⼤. (8分)
(2）
设稳态概率、
则 (１0分）
⼜因为
（12分)
联⽴解得 (14分)
B⼚家市场占有率最⼤、
(1５分)
⼆、简答题(每⼩题满分８分、共２4分）
１。

模型得分类
答:按照模型替代原型得⽅式、模型可以简单分为形象模型与抽象模型两类、形象模型:直观模型、物理模型、分⼦结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。

2。

数学建模得基本步骤答：(１)建模准备:数学建模就是⼀项创新活动、它所⾯临得课题就是⼈们在⽣产与科研中为了使认识与实践进⼀步发展必须解决得问题.建模准备就就是要了解问题得实际背景、明确建模得⽬得、掌握对象得各种信息、弄清实际对象得特征、情况明才能⽅法对;
（2）建模假设:根据实际对象得得特征与建模得⽬得、在掌握必要资料得基础上、对原型进⾏抽象、简化、把那些反映问题本质属性得形态、量及其关系抽象出来、简化掉那些⾮本质得因素、使之摆脱原型得具体复杂形态、形成对建模有⽤得信息资源与前提条件、并且⽤精确得语⾔作出假设、就是建模过程关键得⼀步。

有⽬得性原则、简明性原则、真实性原则与全⾯性原则；
（3）建模建⽴:在建模假设得基础上、进⼀步分析建模假设得各条款、选择恰当得数学⼯具与构造模型得⽅法对其进⾏表征、构造出根据已知条件与数据、分析模型得特征与模型得结构特点、设计或选择求解模型得数学刻画实际问题得数学模型;
(4)模型求解:构造数学模型之后、再根据已知条件与数据分析模型得特征
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与结构特点、设计或选择求解模型得数学⽅法与算法、这其中包括解⽅程、画图形、证明定理、逻辑运算以及稳定性讨论、特别就是编写计算机程序或运⽤预算法相适应得软件包、并借助计算机完成对模型得求解;
（５）模型分析：根据建模得⽬得要求、对模型求解得数字结果、或进⾏变量之间得依赖关系分析、、或进⾏稳定性分析、或进⾏系统参数得灵敏度分析、或进⾏误差分析等.通过分析、如果不符合要求、就修改或增减建模假设条件、重新建模、直到符合要求；通过分析如果符合要求、还可以对模型进⾏评价、预测、优化等；
（6）模型检验：模型分析符合要求之后、还必须回到客观实际中对模型进⾏检验、⽤实际现象、数据等检验模型得合理性与适⽤性、瞧它就是否符合客观实际、若不符合、就修改或增减假设条件、重新建模、循环往复、不断完善、直到获得满意结果。

⽬前计算机技术已为我们进⾏模型分析、模型检验提供了先进得⼿段、充分利⽤这⼀⼿段、可以节约⼤量得时间、⼈⼒与物⼒;
（7）模型应⽤:模型应⽤就是数学建模得宗旨、也就是对模型得最客观、最公正得检验。

因此、⼀个成功得数学模型、必须根据建模得⽬得、将其⽤于分析、研究与解决实际问题、充分发挥数学模型在⽣产与科研中得特殊作⽤。

３。

数学模型得作⽤
答：数学建模得教学及竞赛就是实施素质教育得有效途径、它既增强了学⽣得数学应⽤意识、⼜提⾼了⼤学⽣运⽤数学知识与计算机技术分析与解决实际问题得能⼒。

开展数学建模教学与竞赛对⼤学⽣能⼒得培养就是全⾯得.这表现在创新精神与创新能⼒得培养、查阅⽂献资料、分析综合、抽象概括能⼒得培养、应⽤能⼒得培养、运⽤数学⼯具与计算机以及实践能⼒得培养等⽅⾯。

数学建模有利于培养学⽣创新精神与创造能⼒。

数学建模得问题具有⼀定得开放性、没有⼀定得规矩可循、没有事先设定得标准答案或答案不就是唯⼀得、具有较⼤得灵活性.因此需要突破传统得思维模式、⾯对复杂问题发挥学⽣得创新精神与创造⼒、想象⼒、洞察⼒以及解决问题得逻辑推理与量化分析能⼒、善于从实际问题提供得原形中抓住其数学
本质、建⽴新颖得数学模型。

数学建模有利于培养学⽣双向翻译能⼒。

它要求学⽣运⽤学过得数学知识、把实际问题翻译成数学模型、⼜将数学模型得结果⽤浅显易懂得语⾔翻译出来。

数学建模有利于培养学⽣获取⽂献资料信息得能⼒.在信息社会中、信息与知识以前所未有得速度传播与扩散、这就要求学⽣具有良好得获取⽂献资料信息得能⼒、以便适应现代社会技术创新与知识更新得需要。

数学建模问题有强烈实际背景、涉及到不同得学科领域、问题错综复杂。

这就促使学⽣围绕实际问题⼴泛查阅资料、获取⾃⼰有⽤得材料、这⼤⼤锻炼与提⾼了学⽣⾃觉使⽤资料得能⼒。

数学建模有利于培养学⽣利⽤计算机及相应软件得能⼒。

数学建模需要对复杂得实际问题与繁琐得数据进⾏处理。

⽬前计算机与相应得各种软件包、不仅能够节省时间、得到直观形象得结果、有利于深⼊讨论、⽽且能够促使学⽣养成⾃觉应⽤最新科技成果得良好习惯。

许多很好得计算软件为求解模型或仿真模型提供了便利得平台.数学建模对提⾼学⽣使⽤计算机得能⼒就是极其重要得。

数学建模有利于锻炼学⽣得毅⼒、意志。

它能增强学⽣克服困难得信⼼、
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决⼼与勇⽓、同时培养学⽣团结合作精神与交流、表达得能⼒、提⾼组织协调能⼒、培养其⼈⽂素质、丰富学⽣得知识结构.。