甘肃省兰州一中高二数学上学期期末考试试题 理(含解析

甘肃省兰州一中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 理
（含解析）新人教B 版
说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）
第I 卷（选择题）
一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．若点M 到定点()F -101，、()F 201，的距离之和为2，则点M 的轨迹为 A.椭圆 B.直线21F F C.线段21F F D.直线21F F 的垂直平分线 【答案】C
【解析】因为MF MF F F 12122+==，所以点M 的轨迹为线段21F F 。

2．若a ≠b ，且ab ≠0，则曲线bx -y +a =0和ab by ax =+2
2
的形状大致是下图中的
【答案】A
【解析】直线方程y=bx+a ，圆锥曲线方程22
1x y b a
+=： 当0,0a b a b >>≠且时，圆锥曲线方程221x y b a
+=表示椭圆，此时直线方程y=bx+a 的斜率为正，在y 轴上的截距为正，因此选项BD 错误；
当0,0a b ><时，圆锥曲线方程22
1x y b a
+=表示焦点在y 轴上的双曲线，此时直线方程
y=bx+a 的斜率为负，在y 轴上的截距为正，因此选项C 错误，因此选A 。

3．下列命题中正确的是
A.若// ，//，则与所在直线平行
B.向量、、共面即它们所在直线共面
C.空间任意两个向量共面
D.若//，则存在唯一的实数λ，使λ= 【答案】C
【解析】A.若// ，//，则与所在直线平行，错误。

当=0b r r
时不成立；
B.向量、、共面即它们所在直线共面，错误。

因为空间平行的向量也是共面的；
C.空间任意两个向量共面，正确；
D.若//，则存在唯一的实数λ，使λ=，错误，当=0b r r
时不成立。

4．已知椭圆1C :1532222=+n y m x 与双曲线2C :13222
2
2=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线2C 的渐近线为
A.y x 215±=
B. x y 215±=
C. y x 43±=
D. x y 4
3±= 【答案】D
【解析】因为椭圆1C :
1532222=+n y m x 与双曲线2C :13222
22=-n y m x 有公共的焦点，所以2222223523,8m n m n n -=+=即m ，所以双曲线2C 的渐近线为b
a
±y=x ，即x y 43±=。

5．直线y =kx +2与双曲线22
2
=-y x 有且只有一个交点，那么k 的值是 A. 1±=k B. 3±=k C. 1±=k 或3±=k D. 2±=k 【答案】C
【解析】联立直线y =kx +2与双曲线22
2
=-y x ，消元，得：()
22
1460k x kx ---=，当
2101k k -==±时，，此时方程只有一解；
当2
10k -≠时，要满足题意，须：()
22
162410k k k ∆=+-==，即
综上知：k 的值是1±=k 或3±=k 。

6．斜率为1，过抛物线2
4
1x y =
的焦点的直线截抛物线所得的弦长为 A. 8 B. 6 C. 4 D.10 【答案】A
【解析】设弦的端点为()11,A x y ，()22,B x y ，易知直线方程为：+1y x =，直线方程与抛物线方程联立，消元得：
2
1104
x x --=，所以12124,4,x x x x +==-所以弦长
8l ==。

7．在正四面体ABCD 中，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则AE 与CF 所成角的余弦值为 A.32-
B. 32
C. 3
1- D. 31
【答案】B
【解析】连接ED ，取ED 的中点O ，连接OC 、OF ，因为FO//AE ，所以∠CFO 即为异面直线AE 与CF 所成角。

设正四面体ABCD 的棱长为
a ，则122OF AE a
=
=，2
CF a
=，CO =，所以在∆OFC 中，由余弦定理得：cos ∠
22233723a a a
+-=. 8．已知O 是坐标原点，点()A 20，，AOC ∆的顶点C 在曲线)1(42
-=x y 上， 那么AOC ∆的重心G 的轨迹方程是
A. )1(432
-=x y B. )1(432
-=x y )0(≠y
C. )1(432-=x y
D. )1(43
2
-=x y )0(≠y 【答案】B
【解析】设()00,C x y ，(),G x y ，则00002,,=32,333
x y
x y x x y y +==-=即，又因为顶点C
在曲线)1(42
-=x y 上，所以()22
004(1),9121y x y x =-=-即，即
)1(432-=x y )0(≠y 。

9．设1F 、2F 是椭圆C :12222=+b
y a x (a >b >0) 的左右焦点，P 为直线a x 23
=上
一点，21F PF ∆是底角为︒30的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为 A.
54 B. 43 C. 32 D. 2
1 【答案】B
【解析】因为21F PF ∆是底角为︒30的等腰三角形，所以1122,PF F F c ==设直线a x 2
3
=
与x 轴的焦点为A ，则在2PAF ∆中，0
230APF ∠=，所以222PF F C =，即
3322,24c a c e ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
所以。

10．过抛物线px y 22
=(p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且BF AF 3=，
那么直线l 的斜率为 A. 2± B. 1± C. 3
3
±
D. 3± 【答案】D
【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，作AM 、BN 垂直准线于点M 、N ，则|BN|=|BF|，|AF|=|AM|，又BF AF 3=，所以∠MAB=30°或150°，即直线l 的斜率为3±。

第II 卷（非选择题）
二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．
） 11．双曲线19
162
2=-x y 上一点P 到一个焦点的距离是10，那么点P 到另一个焦点的距离是____________________. 【答案】2或18
【解析】设点P 到另一个焦点的距离为x ，则108,218x x -==所以或。

12．以下列结论中：
≤ (2) 2
)(=⋅
(3) 如果0<⋅b a ,那么a 与b 的夹角为钝角
(4) 若a 是直线l 的方向向量，则)(R a ∈λλ也是直线l 的方向向量 (5) c b b a ⋅=⋅是0=b 的必要不充分条件
正确结论的序号是______________________. 【答案】
【解析】(1) b a b a ≤⋅ 正确，因为 cos ,a b a b a b a b ⋅=≤r r r r r r r r
；
(2) b a b a a 2
)(=⋅，错误。

()cos ,a a b a b a b a ⋅=⋅r r r r r r r r
；
(3) 如果0<⋅b a ,那么a 与b 的夹角为钝角 ，错误，有可能是夹角是π；
(4) 若a 是直线l 的方向向量，则)(R a ∈λλ也是直线l 的方向向量，错误，0λ=时不成立；
(5) c b b a ⋅=⋅是0=b 的必要不充分条件 ，正确。

若c b b a ⋅=⋅，即()
0b a c -=r r r
，
所以0=b 或0a c -=r r r 或a c b -r r r
与垂直。

13．求下列函数的导数
=')2(x _________________，=')ln (x x _________________，
=)'(tan x _________________.
【答案】
【解析】11
'
2
21(222
x x x --=⨯=；()'(ln )ln ln ln 1x x x x x x x ''=+=+；
()22
22
2
sin cos sin (tan )'cos cos cos cos x x x x x x x x -'+⎛⎫==== ⎪⎝⎭。

14．已知点(,)P a 0，若抛物线x y 42
=上任一点Q 都满足a PQ ≥，则a 的取值范围是
_____________________. 【答案】2a ≤
【解析】对于抛物线x y 42
=上任一点Q 都满足a PQ ≥，若a ≤0，显然适合
若a ＞0，点P （a ，0）都满足|PQ|≥|a|就是2
222
4y a a y ⎛⎫≤-+ ⎪⎝
⎭，解得02a <≤。

综上知：实数a 的取值范围是2a ≤。

三、解答题（本题共5小题，共52分）
15．（8分）已知函数3
2
()(22)f x x a x bx c =-+++，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的
切线为1y x =-，函数()f x 的导数()y f x '=的图像关于直线2x =对称，求函数()f x 的解析式．
16．（10分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11
2
AC BC AA ==
， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1，
（1）证明：BC DC ⊥1；
（2）求二面角11C BD A --的大小.
17．(10分) 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，︒=∠45ADC ， AD =AC =2，
O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO =2，M 为PD 的中点, (1) 证明： AD ⊥平面PAC ;
(2) 求直线AM 与平面ABCD 所成角的正弦值.
18．(12分) 已知过椭圆M ：122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)右焦点的直线03=-+y x 交M 于A 、
B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为
2
1
. (1)求M 的方程；
(2)C 、D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．
19．（12分）设抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为
圆心,FA 为半径的圆交l 于B 、D 两点.
（1）若0
90=∠BFD ，ABD ∆的面积为24,求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值.
参考答案
第I 卷（选择题）
三、解答题（本题共5小题，共52分）
16．（10分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11
2
AC BC AA ==
， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1，
（1）证明：BC DC ⊥1；
（2）求二面角11C BD A --的大小.
解：（1）在Rt DAC ∆中，AD AC =
得：45ADC ︒
∠=
同理：1114590A DC CDC ︒︒
∠=⇒∠=
得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥
取11A B 的中点O ，连接1C O
1111111AC B C C O A B =⇒⊥，11C O AA ⊥ 1C O ⇒⊥面1A BD 1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =，则122
a
C O =
，1112230C D a C O C DO ︒==⇒∠= 即二面角11C BD A --的大小为30︒
18．(12分) 已知过椭圆M ：122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)右焦点的直线0
3=-+y x
交M 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为
2
1. (1)求M 的方程；
(2)C 、D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．
19．（12分）设抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为
圆心,FA 为半径的圆交l 于B 、D 两点.
（1）若0
90=∠BFD ，ABD ∆的面积为24,求p 的值及圆F 的方程；
11 （2）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值.
解：（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p =
点A 到准线l
的距离d FA FB ===
1
22ABD S BD d p ∆=⇔⨯⨯=⇔=
圆F 的方程为22(1)8x y +-=
1(2)=22632
ADB AD AF AB
p
ABD m y x ππ∠==∠==+由题意，，
即，则的方程为
2
222x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒
切点,)36p
P
直线:()06336p
n y x x p -=-⇔-=
坐标原点到,m n
3=.。