1.1集合区间邻域

2 4 6 (2n) (2n 1)
两边开方即得不等式右端 (2n 1)!! 1
(2n)!! 2n 1
再由
k 1 k 令 k=3,5,,(2n-1),
k k 1
可得n-1个不等式, 连乘这n-1个不等式得
3 5 (2n 1) 2 4 6 4 6 (2n) 3 5 7
不等式两端再乘1/2, 得
因此要牢牢记住。
利用公式
an bn (a b)(an1 an2b an3b2 abn2 bn1)
令 a 1 h, b 1 得
(1 h)n 1 h[1 (1 h) (1 h)2 (1 h)n1] 当 h 0 时, h[1 (1 h) (1 h)2 (1 h)n1] nh 因而 (1 h)n 1 nh. 当 1 h 0 时, [1 (1 h) (1 h)2 (1 h)n1] n
集合与元素的关系:
aM, aM
由无限个元素组成的集合称为无限集. 由有限个元素组成的集合称为有限集. 集合举例
(1) 2012年在福建地区出生的人.
集合的概念 集合举例
(1) 2012 年在福建地区出生的人.
(2) 方程 x2 3x 2 0 的根. (3) 全体奇数. (4) 抛物线 y x2上的所有点.
区间
定义 介于某两个实数之间的全体实数称为区间, 这两个实数叫做区间的端点.
设 a,b R, 且 a b, 定义 开区间 (a,b) { x | a x b}; 闭区间 [a,b] { x | a x b}; 半开区间 [a,b) { x | a x b},
(a,b] { x | a x b}; 无限区间 [a,) { x | a x},
n
即 n n 1 2 . (n N)
n
练习：设k,nN,
且k<n n
,求证：
kn nn
(k 1)n1 (n 1)n1 .
n11 ( k )n
1
k n
k n
k n.
n
n 1
例2 证明:不等式 1 (2n 1)!! 1 , (n N )
2 n (2n)!! 2n 1
证: 首先注意到 f (k) k 关于k是严格单增. k 1
以 a为中心的任何开区间均是点 a的邻域, 记为U (a).
邻域的概念 另外，今后还将用到以下的左、右邻域概念.
开区间 (a , a) 称为 a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为 a 的右 邻域,
二、常用的重要不等式 三角不等式
对于任意的实数 a 和b , 都有
|a||b| a b | a||b|
两集合间的直积或笛卡尔 (Descartes) 乘积
设 A, B 是任意两个集合, 任取 x A, y B, 组成 一个有序对 ( x, y), 以这样的有序对的全体组成的 集合称为集合 A与集合B 的直积, 记为
A B {( x, y) | x A且 y B}. 如 R R {( x, y) | x R, y R} 即为 xOy 面上全 体点的集合, R R 常记作 R2 .
可记为
A {a1,a2 ,,an }.
(2) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合,
可记为
A {1,2}.
2. 描述法: M { x | x 所具有的特征}
(1) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合,
集合的概念
2. 描述法: M { x | x 所具有的特征}
第一章 函数、极限与连续
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节
函数
第一章
一、邻域 二、常用的几个不等式 三、函数及其性质 四、初等函数
首先回顾一下中学所学过的有关 集合、数集、函数的概念。
集合的概念 集合 具有某种特定性质的事物的总体. 元素 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
( A I B) U C ( A U C ) I (B U C ); (4) 对偶律 ( A U B) A I B. ( A I B) A U B.
集合的基本运算规律
证 (4) x ( A U B)
x AU B
xA 且xB x A且xB (A U B) A I B,
x AI B
注 以上证明中,符号“ ”表示“等价”, 另一个 常用符号是“ ”, 表示“推出”(或“蕴含”). 符号“ ”, 表示“任意的”(或“任何的”). 符号“ ”, 表示“存在”.
(1) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合, 可记为 M { x | x2 3x 2 0}.
(2) 全体奇数的集合, 可记为
M { x | x 2n 1,n Z }.
集合之间的关系
若 xA
x B, 则称 A 是 B 的子集,
记为 A B. 若 A B, 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等,
集合的概念
若 A B, 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等, 记为 A B. 例如, A {1,2}, M { x | x2 3x 2 0}
A M. 若 A B 且 A B, 则称集合 A 是 B 的真子集,
记为A B. 空集 不包含任何元素的集合, 记为 .
例如, { x | x R, x2 1 0} .
规定: 空集为任何集合的子集.
数集的概念 规定: 空集为任何集合的子集. 数集 元素都是数的集合称为数集.
数集分类:
N 自然数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 数集间的关系: N Z Q R.
注: 如无特别说明, 本课程中提到的数都是实数.
集合的运算
设 A, B是两个集合, 定义
(,b) { x | x b}; 特别地 (,) R.
区间演示图
Oa
x b
(a , b) = {x a x b };
Oa
x b
[a , b) = { x a x b } ;
x Oa [ a , ) = { x a x } ;
x O
( , ) = R ;
Oa
x b
[a , b] = {x a x b } ;
Oa
x b
(a, b]={ x a x b};
x Ob ( , b ) = { x x b } .
无限区间 特别地
区间
[a,) { x | a x}, (,b) { x | x b};
(,) R.
区间的长度 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
在本书中，当不需要特别辨明区间是否包含端点、 是有限还是无限时，常将其简称为“区间”，并 常用I表示。
(1) A 与 B 的并集(简称并) A U B { x | x A 与 x B};
A
B
(2) A 与 B 的交集(简称交) A I B { x | x A 且 x B};
A
B
(3) A 与 B 的差集(简称差) A B { x | x A 且 x B}; A
B AB
(4) 当所研究的问题限定在一个大的集合S 中进行,
h[1 (1 h) (1 h)2 (1 h)n1] nh 于是仍有 (1 h)n 1 nh.
例1 . 证明：不等式 n n 1 2 , (n N )
n
证 当n 1,2 时, 不等式 显然成立 ,当n>2时
根据均值不等式, 有
n2
n n n n 111 2 n (n 2)
n
集合的基本运算规律
设 A, B,C 为任意三个集合, 则有下列法则成立: (1) 交换律 A U B B U A, A I B B I A; (2) 结合律 ( A U B) U C A U (B U C ),
(AI B) I C AI (B I C); (3) 分配律 ( A U B) I C ( A I C ) U (B I C ),
即对任意的正整数k有
k
1 k
k
k 1
k k
1 2
由 k k 1 令 k=1,3,5,,(2n-1), 可得n个不等式
k 1 k 2
连乘这n个不等式得
1 3 5 (2n 1) 2 4 6 (2n) 2 4 6 (2n) 3 5 7 (2n 1)
交叉相乘得 [1 3 5 (2n 1)]2 1
集合表示方法
1. 例举法: 即在 { } 中按任意顺序、不遗漏、不
重复地列出集合的所有元素. 例如
(1) 若 A仅由有限个元素 a1,a2 ,,an 组成,
集合的概念
1. 例举法: 即在 { } 中按任意顺序、不遗漏、不
重复地列出集合的所有元素. 例如
(1) 若 A仅由有限个元素 a1,a2 ,,an 组成,
平均值不等式
对于任意 n个正数 a1, a2 ,, n
a1 a2
an n
当且仅当 a1, a2 ,, an 全部相等时,上式等号才成立。
常用的重要不等式
伯努利不等式
对于正整数 n和实数 h 1,恒有
(1 h)n 1 nh
当 h 0且n 2时, 不等式严格成立. 这几个不等式在极限存在的证明中经常用到，
所研究的其他集合A 都是 S 的子集. 定义 A 的余集
集合的运算
(4) 当所研究的问题限定在一个大的集合S 中进行,
所研究的其他集合A 都是 S 的子集. 定义 A 的余集
或补集
A S A.
SA A
例如, 在实数集 R中, 集合 A { x | 0 x 1} 的余
集就是
A {x | x 0或 x 1}.
(2n 2) (2n 1)
1 3 5 (2n 1) 1 2 4 6 (2n 2) (2n) 2 4 6 (2n) 2 3 5 7 (2n 1) (2n)
即 (2n 1)!! 1 (2n)!! (2n 1)!! 1
(2n)!! 4n (2n 1)!!
(2n)!! 2 n
一、邻域的概念
定义 设 a与 是两个实数, 且 0, 数集 { x | x a | }
称为点a的 邻域. 记为 U (a, ) { x | a x a }.
其中点 a叫做该邻域的中心, 叫做该邻域的半径
点 a的去心的
邻域,
记为
U (a,
),
即 U (a, ) { x | 0 | x a | }.