2021年辽宁省大连市综合高级中学高二数学理月考试题含解析

2021年辽宁省大连市综合高级中学高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 将五枚硬币同时抛掷在桌面上，至少出现两枚正面朝上的概率是（）．
A. B. C. D.
参考答案：
B
由题意可得，所有硬币反面朝上的概率为：，
一次正面朝上的概率为：，
则至少出现两次正面朝上的概率是.
本题选择B选项.
点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
2. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值是A． B． C． D．
参考答案：
A
3. 若圆和关于直线对称，则直线的方程是（） A．B． C． D．
参考答案：
D
4. 设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X01
P
则q的值为（）
A．1 B． C． D．
参考答案：
C
5. 设，若直线与线段AB没有公共点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
6. 若= ，a是第一象限的角，则=
（A）-（B）（C）（D）
参考答案：
B
7. 垂直于同一条直线的两条直线（）
A、平行
B、相交
C、异面
D、以上都有可能参考答案：
D
8. 不等式的解集是
A B C D
参考答案：
D
9. 函数的图象如下图，则（）
A、
B、
C、
D、
参考答案：
A
10. 等于 ( )
A．B． C．
D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如右图,为正方体，棱长为2，下面结论中
正确的结论是________．(把你认为正确的结论都填上, 填序号)
①∥平面；②⊥平面；
③过点与异面直线AD和成90°角的直线有2条；
④三棱锥的体积．
参考答案：
①②④
12. 若中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为．
参考答案：
或
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4），=或，利用离心率公式，可得结论．
【解答】解：∵中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4）， ∴=或， ∴e==或． 故答案为：或．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．
13. 设
，则
为
．
参考答案：
考点：微积分基本定理．
专题：计算题．
分析：运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可．
解答： 解：
=
+
=﹣cosx
+x
=
．
故答案为：．
点评：本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分．属于基础题．
14. 已知复数
，
，为虚数单位，若
为纯虚数，则实数的值是 参考答案：
-1 略
15. 双曲线x 2﹣2y 2=4的离心率为 ．
参考答案：
【分析】化简双曲线方程为标准方程，然后求解离心率即可．
【解答】解：双曲线x 2﹣2y 2=4的标准方程为：
，可得a=2，b=
，则c=
，
所以双曲线的离心率为：e=
．
故答案为：．
16. 若抛物线
的焦点坐标为
，则准线方程为 .
参考答案：
x=-1
17. 函数，则的最小值是 ，
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某商场为了促销，采用购物打折的优惠办法：每位顾客一次购物：
①在1000元以上者按九五折优惠；
②在2000元以上者按九折优惠；
③在5000元以上者按八折优惠。

(1）写出实际付款y（元）与购物原价款x（元）的函数关系式；
(2）写出表示优惠付款的算法；
参考答案：
（1）设购物原价款数为元，实际付款为元，则实际付款方式可用分段函数表示为：(2）用条件语句表示表示为：
19. 已知O为坐标原点，设动点M（2，t）（t＞0）．（1）若过点P（0，4）的直线l与圆C：x2+y2﹣8x=0相切，求直线l的方程；
（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设A（1，0），过点A作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
参考答案：
【考点】圆方程的综合应用．
【分析】（1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4，分类讨论即可求直线l的方程；
（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y ﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；
（3）设出点N的坐标，由⊥得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又⊥，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4．
斜率不存在时，x=0满足题意；
斜率存在时，设切线方程为y=kx+4，即kx﹣y+4=0，
根据圆心到切线的距离等于半径可得4=，解得k=﹣，
故切线方程为y=﹣x+4，
综上所述，直线l的方程为y=﹣x+4或x=0．
（2）以OM为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）=+1，
其圆心为（1，），半径r=
因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2
所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d==，解得t=4
所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；
（3）设N（x0，y0），则=（x0﹣1，y0），=（2，t），=（x0﹣2，y0﹣t），=（x0，y0），∵⊥，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，
又∵⊥，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，
∴x02+y02=2x0+ty0=2，
所以||==为定值．
20. 已知函数，曲线在处的切线方程为。

（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设函数在上有极值点，求的取值范围。

参考答案：
解：（Ⅰ），-------2’，由已知得解得：，
所以---------6’
（Ⅱ），因为在上有极值点，则，
整理得：------------9’
令，则，在上单调递增，
所以。

--------------------14
略
21. (本小题满分14分)已知均为正数,且．
(Ⅰ)求证:，并指出“”成立的条件；
(Ⅱ)求函数的最小值，并指出取最小值时的值．参考答案：
解：（Ⅰ）∵…………1分……1分
…1分
略
22. 设函数.
（1）当时，求函数f(x)的最大值；
（2）令，（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当，，方程有唯一实数解，求正数m的值．
参考答案：
（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】(1)利用导数求函数的单调区间即得函数的最大值.(2)由题得，.再求右边二次函数的最大值即得.(3)转化为有唯一实数解，设
，再研究函数在定义域内有唯一的零点得解.
【详解】(1)依题意，知的定义域为，
当时，，
，
令，解得.(∵)
因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以的极大值为，此即为最大值.
(2)，，则有，上恒成立，
所以，.
当时，取得最大值，所以.
(3)因为方程有唯一实数解，
所以有唯一实数解，
设，
则，令，，
因为，，所以(舍去)，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，取最小值.
则，即，
所以，因为，所以(*)
设函数，因为当时，
是增函数，所以至多有一解，
因为，所以方程(*)的解为，即，解得.
【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)研究函数的零点问题常用的有方程法、图像法、方程+图像法.。