高中数学立体几何判定定理及性质

高中立体几何判定定理及性质
一、公理及其推论
文字语言文字语言 符号语言符号语言
图像语言
图像语言
作用
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线
上所有的点都在这个平面内。

a
a
a ÌÞÎÎÎÎl B A l B l A ,,,
①用来验证直线
在平面内；在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的面是无限延展的
公理2 如果两个平面有一
个公共点,那么它们
还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）共点的公共直线） l
l P Î=ÇÞÇÎP 且b a b
a
① 用来证明两个平面是相交关系；系；
② 用来证明多点共线，多线共点。

点。

公理3 
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面只有一个平面 确定一个平面
不共线
C B A C B A ,,,,Þ
用来证明多点共面，多线共面面，多线共面
推论1 
经过一条直线和这
条直线外的一点，
有且只有一个平面有且只有一个平面 a a a a ÌÎÞ
Ïa A A ,使，
有且只有一个平面
推论2 
经过两条相交直线，有且只有一个平面平面 a
a a ÌÌÞ
=Çb a P b a ,使，
有且只有一个平面
推论3 
经过两条平行直线，有且只有一个平面平面
a
a a ÌÌÞ
b a b a ,使，有且只有一个平面∥
公理4 （平行公理）
平行于同一条直线的两条直线平行的两条直线平行
c a c b b a ∥∥∥Þþ
ýü
用来证明线线平
行
文字语言文字语言 符号语言符号语言 图像语言图像语言
作用作用 （1）公理4 （平行
公理） 平行于同一条直线的两条直线平行的两条直线平行
c a c b b a ∥∥∥Þþ
ýü
（2）线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

平面平行。

a a a ∥∥a b a b a Þïþ
ïýüÌË
（3）线面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过个平面平行，经过
这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

平行。

b a a b b ∥∥Þï
þï
ýüÌ=Çb
b a b
（4）面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. b a a a
b b
∥∥∥Þïï
ïþ
ï
ï
ýü
ÌÌ=Çb a O b a b a
（5）面面平行的判定 如两果两个平个平面面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

面平行。

b a b a ∥Þþ
ýü
^¢^¢O O O O
（6）面面平行的性质定理 如两果两个个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

b a b a ∥∥Þï
þ
ïýü=Ç=Çg b g a b a
（7）面面平行的性质 如两果两个平个平面面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

于另一个平面。

b a b a ∥∥a a Þþ
ýü
Ì
（8）面面平行的性
质 如一果一条直条直线线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

一个平面。

b a b a ^Þþ
ýü
^
l l ∥
（9）面面平行的性质
平行于同一个平面的两个平面平行。

的两个平面平行。

g a g b b a ∥∥∥Þþ
ýü
三、垂直关系 文字语言文字语言
符号语言符号语言 图像语言图像语言 作用作用 （10）三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直和这条斜线垂直
PO
a a AO a O PO PA ^Þïï
þ
ï
ïýü
Ì^=Ç^a a a
（11）三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜
线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直. AO
a a PO a O PO PA ^Þïïþï
ïýü
Ì^=Ç^a
a a
（12）线面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

于这个平面。

a a a
^Þïï
ïþ
ï
ïïýü
ü
ÌÌ=Ç^^l n m B n m n l m l
（13）线面垂直的判定
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
a a ^Þþ
ýü
^b a b a ∥
（14）线面垂直的性质
定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

b a b a ∥Þþ
ýü
^^a a
（15）线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一
个平面,那么这条直线垂
直于这个平面内的所有直线直线 b
a b a ∥∥Þïþ
ïýü=Ç=Çg b g a b a
（）面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

这两个平面互相垂直。

b a b
a ^Þþ
ýü
Ì^
（）面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，那么
在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

一个平面。

a
b
b a b a ^Þïïþ
ïïýü
Ì^
=
Ç^。