【数学】湖北省黄冈市蕲春县2019届高三第一次模拟考试试卷(四)(理)(解析版)

湖北省黄冈市蕲春县2019届高三第一次模拟考试
数学试卷（四）（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．设集合{}0,1,2,3,4A =---，{}
212B x x =<，则A B =（ ）
A ．{}4
B ．{}1,2,3---
C ．{}0,1,2,3---
D ．{}3,2,1,0,1,2,3---
2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11i z =+，则12z z =（ ） A ．2-
B ．2
C ．1i -
D ．1i +
3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．
215
π
B ．
320
π C ．2115
π-
D ．3120
π-
4．等差数列{}n a 的前11项和1188S =，则39a a +=（ ） A ．8
B ．16
C ．24
D ．32
5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，且()3y f x =+为偶函数， 若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ） A ．()()()4.5 3.512.5f f f -<< B ．()()()3.5 4.512.5f f f <-< C ．()()()1253545f f f <<-.
.. D ．()()()3512.5 4.5f f f <<-．
6．()()5
212x x -+展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．30
B ．70
C ．90
D ．150-
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．8π+
B ．28π+
C ．83π+
D ．8
23
π+
8．若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）
A ．7?k <
B ．6?k <
C ．9?k <
D ．8?k <
9．要得到函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos 23g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象（ ）
A ．向左平移2π
个单位长度 B ．向右平移
2π
个单位长度 C ．向左平移4
π
个单位长度
D ．向右平移4
π
个单位长度
10．过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为60︒的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，则 MN =（ ）
A B C D ．
11．已知342018120181a +=+，4520181
20181
b +=+则a ，b 之间的大小关系是（ ）
A ．a b >
B ．a b <
C ．a b =
D ．无法比较
12．已知集合{}*2,n P x x n ==∈N ，{}
*2,1Q x x n n ==-∈N ，将P
Q 的所有元素从小到
大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得1000n S <成立的n 的最大值为（ ） A ．9
B ．32
C ．35
D ．61
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知=a 2=b ，若()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是_________．
14．设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则23z x y =-的最小值是_________．
15．已知双曲线()2
2
210x y m m
-=>的上支交抛物线24y x =于A ，B 两点，双曲线的渐近线
在第一象限与抛物线交于点C ，F 为抛物线的焦点，且
115
FA FB FC
+=，则m =_______． 16．如图，图形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，
F ，
G ，
H ，为圆O 上的点，ABE △，BCF △，CDG △，ADH △分别以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，
沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △，BCF △，CDG △，ADH △，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的
侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤．
17．（12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC △外接圆的半径，S 为ABC △
的面积，222a c b +-=． （1）求sin C ；
（2
）若a b -=ABC △的周长．
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是边长为2的菱形，60
ABC
∠=︒，PAB
△为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上．
（1）当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；
（2）是否存在点M，使二面角M EC D
--的大小为60︒，若存在，求出PM
PD
的值；若不
存在，请说明理由．
19．（12分）中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。

在中国海军加快建设的大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员。

为此中国海军在全国9省9所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员。

2017年4月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有10000名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收50名学员。

培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动”），这批海航班学员在10月参加活动的次数统计如图所示：
（1）从海航班学员中任选2名学员，他们10月参加活动次数恰好相等的概率；
（2）从海航班学员中任选2名学员，用X表示这两学员10月参加活动次数之差绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望．
20．（12分）已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>过点()0,1-
，离心率e =．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠，求m 的值．
21．（12分）已知函数()()1
ln 12
m f x x m R x =+-∈的两个零点为1x ，()212x x x <． （1）求实数m 的取值范围； （2）求证：12112e
x x +>．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，已知直线1l ：()cos sin x t t y t αα=⎧⎨⎩
=为参数，
2l ：()cos 4sin 4x t t y t ααπ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭π⎛⎫
=+ ⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎭⎪⎝为参数，其中30,4απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴， 取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=． （1）写出1l ，2l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设1l ，2l 分别与曲线C 交于点A ，B （非坐标原点），求AB 的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()225f x x =+-． （1）解不等式：()1f x x ≥-；
（2）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围．
【参考答案】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．【答案】C
【解析】∵集合{}0,1,2,3,4A =---，集合{
}{212B x x x x =<=-<<， ∴{}0,1,2,3A
B =---，故选
C ．
2．【答案】B
【解析】∵1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，∴21i z =-， ∴()()121i 1i 2z z =+⋅-=，故选B ． 3．【答案】C
13=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =，
∴内切圆的面积为24r π=π，
∴豆子落在其内切圆外部的概率是42111
15
5122
P ππ
=-
=-
⨯⨯，故选C ． 4．【答案】B
【解析】∵等差数列{}n a 的前11项和1188S =，∴()
1111111882
a a S +==，∴11116a a +=，
根据等差数列性质：3911116a a a a +=+=，故选B ． 5．【答案】B
【解析】由()()6f x f x +=，可得6T =，
又()3y f x =+为偶函数，()f x 的图像关于3x =对称， ∴()()3.5 2.5f f =，()()4.5 1.5f f -=，()()12.50.5f f =．
又()f x 在()0,3内单调递减，∴()()()3.5 4.512.5f f f <-<．故选B ． 6．【答案】
B
【解析】∵()512x +展开式的通项公式为()15
C 2r
r
r T x +=⋅， ∴()()5
212x x -+展开式中，含2x 项的系数为()2
2
1552C 2C 270⨯⋅-⋅=，故选B ．
7．【答案】C
【解析】该几何体是由半个圆柱（该圆柱的底面圆半径是1，高是2）与一个四棱锥（该棱
柱的底面面积等于224⨯=，高是2）拼接而成，其体积等于2118
12222233
⨯π⨯⨯+⨯⨯⨯π+＝，
故选C ． 8．【答案】D
【解析】根据程序框图，运行结果如下： S k 第一次循环 2
l o g3 3 第二次循环 23log 3log 4⋅ 4 第三次循环 234l o g 3l o g 4l o g 5⋅⋅ 5 第四次循环 2345l o g 3l o g 4l o g 5l
o g 6⋅⋅⋅ 6 第五次循环 234
56l o g 3l o g 4l o g 5l o g 6l o g 7⋅⋅⋅⋅ 7 第六次循环 234567
2l o g 3l o g 4l o g 5l o g 6l o g 7l o g 8l o g 83
⋅⋅⋅⋅⋅== 8 故如果输出3S =，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是8k <．故选D ． 9．【答案】D
【解析】分别把两个函数解析式简化为()sin 2=sin 236f x x x π⎡π⎤⎛
⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，
函数()cos 2sin 2sin 233264g x x x x ⎡⎤πππππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，
可知只需把函数()g x 的图象向右平移4
π
个长度单位，得到函数()f x 的图象．故选D ． 10．【答案】C
【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，
∵24y x =抛物线的焦点为()1,0F ，直线AB 的倾斜角为60︒，可得直线AB
直线AB 的方程为)1y x -，
∵AF ，BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，
∴112OM y =
，212ON y =，∴121
2
MN y y =-，
将AB 方程)1y x =-代入24y x =，
240y --，1y =2y =
1
2MN =
=
，故选C ． 11．【答案】A
【解析】设()20181x f x =+，则()()
34f a f =
，()()
45f b f =
．
∴()()()
4334
4454320182018201720182017201814201812018120182018
f f a f --⨯⨯-=
===+++，
()()()
544
55542018201820172018152018120181
f f b f --⨯-=
==++，
∵552018201820181+>+，∴11a b -<-，即a b >．故选A ． 12．【答案】C
【解析】数列{}n a 的前n 项依次为：1，2，3，22，5，7，32，．
利用列举法可得：当35n =时，P
Q 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{}n a ，
∴数列{}n a 的前35项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25， ，69，2，4，8，16，32，64， ()()62722129291292292296710002
21
n S --=+
⨯+
-==<-+，
当36n =时，P
Q 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{}n a ，
∴数列{}n a 的前36项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25， ，71，2，4，8，16，32，64， ()()622130301302900126102610002
21
n S --=+
⨯+
=+=>-，
∴n 的最大值35．故选C ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】150︒
【解析】∵a 2=b ，且()+⊥a b a ，∴2cos ,0+⋅=a a b a b ，
即3,0+=a b
，解得cos ,=a b ， ∴向量a 与b 的夹角是150︒，故答案为150︒． 14．【答案】6-
【解析】由23z x y =-得233
z
y x =
-， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）： 平移直线233z y x =
-，由图象可知当直线233z y x =-过点A 时，直线233
z
y x =-截距最大， 此时z 最小，由310x x y =⎧⎨-+=⎩得3
4x y =⎧⎨=⎩
，即()3,4A ，
代入目标函数23z x y =-，得23346126z =⨯-⨯=-=-． ∴目标函数23z x y =-的最小值是6-．故答案为6-．
15．【答案】1
【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，
由2
22214x y m y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩
，得22240x m x m -+=，2124x x m +=，212x x m =， 由抛物线定义可得11AF x =+，21BF x =+，31FC x =+， 由24y mx y x
=⎧⎨=⎩，得324
x m =，115FA FB FC +=，
得
1212121232115
1111
x x x x x x x x x +++==++++++， 即222425
4511m m m +=++，结合0m >解得1m =，故答案为1． 16．
3cm 【解析】
连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为()0x x >， 则2x OI =
，62
x IE =-， ∵该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，∴246222x x x ⎛⎫
⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，解得4x =，
设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，
则OC =
OP =
(
)(
2
2
2R R
=+
，解得R =
，
外接球的体积3
3
4cm 3V =π=
3cm ． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 17．【答案】（1
；（2
【解析】（1）由正弦定理得2sin a R A =，∴2sin cos R A A R =，∴sin 21A =， 又022A <<π，∴22A π=
，则4A π=．1
sin 2S ac B =
，2221sin 2a c b ac B +-=⋅，
由余弦定理可得2cos sin ac B B =
，∴tan B =， 又0B <<π，∴3B π
=
，∴(
)sin sin sin 43C A B ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
（2
）由正弦定理得
sin sin a A b B ===
，又a b -=
a b ⎧⎪⎨=⎪⎩，
∴c =
ABC △
的周长a b c ++=． 18．【答案】（1）见解析；（2）存在
1
3
PM PD =． 【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接M H ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴点H 为BD 的中点．
又∵M 为PD 的中点，
∴M H BP ∥．又∵平面BP ACM ⊄，M H ⊂平面ACM ． ∴PB ∥平面ACM ．
（2）∵ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥．
又∵PE ⊥平面ABCD ，
以E 为原点，分别以EB ，EC ，EP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -， 则()0,0,0E ，()1,0,0B
，(P
，()C
，()
D -． 假设棱PD 上存在点M ，设点M 坐标为(),,x y z ，()01PM PD λλ=≤≤，
则(
(,,x y z λ=-
，∴()()
231M λλ--，
∴)()
21EM λλ=--
，()
EC =，
设平面CEM 的法向量为(),,x y z =n ，
则)21030
EM x y z EC y λ
λ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，解得)0
21y x z λλ=⎧⎪⎨=-
⎪⎩．
令2z λ=，则)1x λ-，得))
1,0,2λλ=
-n ．
∵PE ⊥平面
ABCD ，∴平面ABCD 的法向量()0,0,1
=m ， ∴cos ,⋅=
=
⋅
n m m n n m ． ∵二面角M EC D --的大小为60︒， 12=
，即23210λλ+-=，解得1
3
λ=，或1λ=-（舍去）； ∴在棱PD 上存在点M ，当1
3
PM PD =时，二面角M EC D --的大小为60︒． 19．【答案】（1）
18
49
；（2）见解析． 【解析】（1）由频率分布表可看出：50名海航班学员中参加活动一次有10人，参加活动2次有25人，参加活动3次有15人，据此计算可得()18
49
P A =
． （2）依题意，随机变量X 的取值有0、1、2，求解相应的概率值可得 从海航班中任选2名学员，
记事件B ：“这两人中一人参加1次活动，一人参加2次活动， 事件C ：“这两人中一人参加2次活动，一人参加3次活动”， 事件D ：“这两人中一人参加1次活动，一人参加3次活动”，
∴()()36098
P X P A ===；()()()1111
10252515
2
50C C C C 501+C 98P X P B P C +====， ()()
11
1015
2
50C C 122C 98
P X P D ====， ∴随机变量X 的分布列为：
∴随机变量X 的期望5012237
989849
EX ⨯=
+=
． 20．【答案】（1）2
212
x y +=；（2）2．
【解析】（1）∵椭圆的焦点在x 轴上，过点()0,1-
，离心率e =， ∴1b =
，
c a =222a b c =+，得22a =， ∴椭圆C 的标准方程是2
212
x y +=．
（2）∵过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，∴直线l 的方程是()1y k x =-． 联立方程组()22
112
y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y ，得()
2222124220k x k x k +-+-=，
显然0∆>，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，
∴2122412k x x k +=+，2122
22
12k x x k -⋅=+，
∵x 轴平分MPN ∠，∴MPO NPO ∠=∠． ∴0MP NP k k +=， ∴
12120y y x m x m
+=--，()()12210y x m y x m -+-=， ∴()()()()1221110k x x m k x x m --+--=， ∴()()1212220k x x k km x x km ⋅-+++=，
∴()22
22
2242201212k k k k km km k k
-⋅-++=++， ∴
2
42012k km
k -+=+，∴420k km -+=，
∵0k ≠，∴2m =．
21．【答案】（1）e 0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
；（2）见解析．
【解析】（1）()22
1222m x m
f x x x x -'=-
+=
， 当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增，不可能有两个零点； 当0m >时，由()0f x '>可解得2x m >，由()0f x '<可解得02x m <<，
∴()f x 在()0,2m 上单调递减，在()2,m +∞上单调递增， ∴()()min 1
2ln 2122
m f x f m m m ==
+-， 要使得()f x 在()0,+∞上有两个零点，则11ln 21022m +-<，解得e 02
m <<， 则m 的取值范围为e 0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
．
（2）令1
t x
=
，则()1111ln 1ln 122f x m mt t x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，
由题意知方程1ln 102mt t --=有两个根，即方程ln 2
2t m t
+=有两个根，
不妨设111t x =，221t x =，令()ln 2
2t h t t
+=，
则当10,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()h t 单调递增，1,e t ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()h t 单调递减，
综上可知，121
0e
t t >>>， 要证
12112e x x +>，即证122e t t +>，即1221e e t t >->，即证()122e h t h t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭
， 令()()2e x h x h x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，下面证()x ϕ对任意的10,e x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭恒成立，
()()22
21ln 21ln e e 222e x x x h x h x x x ϕ⎛⎫
--- ⎪
--⎛⎫⎝⎭'''=+-=+ ⎪⎝⎭⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， ∵10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ln 10x -->，2
22e x x ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，
∴()2
22221ln 2ln 1ln e e 222222e e e x x x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫
------ ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭>
+=⎛⎫
⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
， 又∵10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2
2221e e 2e x x x x ⎛⎫
+- ⎪⎛⎫-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴()0x ϕ>，则()x ϕ在10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增，
∴()10e x ϕϕ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭
，故原不等式成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）见解析；（2
）
【解析】（1）1l ，2l 的极坐标方程为()1θαρ=∈R ，()24
π
θαρ=+
∈R ．
曲线C 的极坐标方程方程为4cos 0ρθ-=即得24cos 0ρρθ-=， 利用222x y ρ=+，cos x ρθ=，
得曲线C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=． （2）∵14cos ρα=，24cos 4ραπ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
∴2
22
2212
122cos 16cos cos cos 444AB ρρρρααααπ⎡ππ⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⋅ ()()22116cos cos sin cos cos sin 82αααααα⎡⎤
=+---=⎢⎥⎣⎦
，∴AB
的值为
23．【答案】（1）(]
[),82,-∞-+∞；
（2）{}3
,412
⎡⎫
-⎪⎢⎣
⎭
． 【解析】（1）由题意知，原不等式等价于
12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或1
2251x x x >⎧⎨
+-≥-⎩
， 解得8x ≤-或∅或2x ≥，
综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(]
[),82,-∞-+∞．
（2）当1m =-时，则()2251315g x x x x =+-++=+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：
当1m >-时，()37,1
2253,133,x m x g x x x m x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪
=+-+-=+--<≤⎨⎪-->⎩
，
则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．
要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，
则()()140230g m g m m ⎧-=-<⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<；
综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭
．。