数学_2013-2014学年吉林省吉林市普通中学高三(上)开学数学试卷(文科)(含答案)

2013-2014学年吉林省吉林市普通中学高三（上）开学数学试卷
（文科）
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1. 设集合U ={0, l, 2, 3, 4, 5, 6}，M ={l, 3, 5}，N ={4, 5, 6}，则(∁U M)∩N =( )
A {0, 2, 4, 6}
B {4, 5, 6}
C {4, 6}
D {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. 设i 为虚数单位，则复数i−2i =( )
A 1+2i
B 1−2i
C −1−2i
D −1+2i
3. 抛物线x 2=4y 的焦点坐标是（ ）
A (2, 0)
B (0, 2)
C (1, 0)
D (0, 1)
4. f(x)=tanx +sinx +1，若f(b)=2，则f(−b)=( )
A 0
B 3
C −1
D −2
5. 如图所示的程序的输出结果为S ＝132，则判断框中应填（ ）
A i ≥10？
B i ≥11？
C i ≤11？
D i ≥12？
6. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α；
②若α // β，m ⊂α，则m // β；
③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β；
④若m // α，m // β，则α // β．
其中正确命题的序号是（ ）
A ①③
B ①②
C ③④
D ②③
7. 直线x +y =5和圆O:x 2+y 2−4y =0的位置关系是（ ）
A 相离
B 相切
C 相交不过圆心
D 相交过圆心
8. 已知向量a →=(cosθ, sinθ)，向量b →=(√3,1)，且a →⊥b →，则tanθ的值是（
）
A √33
B −√33
C −√3
D √3
9. 如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）
A 34+6√5
B 6+6√5+4√3
C 6+6√3+4√13
D 17+6√5
10. 已知数列{a n }，a n =−2n 2+λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）
A (−∞, 3]
B (−∞, 4]
C (−∞, 5)
D (−∞, 6)
11. 已知双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0, b >0)的右焦点F ，直线x =a 2
c 与其渐近线交于A ，B 两点，
且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A (√3，+∞)
B (1,√3)
C (√2，+∞)
D (1,√2)
12. 设函数f(x)={−x +a,x <12log 2x ，x ≥12
的最小值为−1，则实数a 的取值范围是（ ） A [12，+∞) B (−12，+∞) C (−∞,−12) D [−1, +∞)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝3，B ＝60∘．则b ＝________．
14. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0
x +2y −2≥02x +y −7≤0
，则z =x +y 的最大值是________．
15. 边长是2√2的正三角形ABC 内接于体积是4√3π的球O ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为________．
16. 下列说法：
①“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”；
②函数y =sin(2x +π3)的最小正周期是π； ③“在△ABC 中，若sinA >sinB ，则A >B”的逆命题是真命题；
④“m =−1”是“直线mx +(2m −1)y +1=0和直线3x +my +2=0垂直”的充要条件； 其中正确的说法是________（只填序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在锐角△ABC 中，√3sinA =cosA +1
(I)求角A 的大小
(II)求cos2B +4cosAsinB 的取值范围．
18. 公差不为零的等差数列{a n }中，a 3=7，又a 2，a 4，a 9成等比数列．
（1）求数列{a n }的通项公式．
（2）设b n =2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
19. 我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如表：分组频数频率
（1）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的
坐标系中画出频率分布直方图；
（2）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（3）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不
超过30分的概率．
20. 在四棱锥V−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三
角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（1）如果P为线段VC的中点，求证：VA // 平面PBD；
（2）如果正方形ABCD的边长为2，求三棱锥A−VBD的体积．
21. 已知椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)右顶点到右焦点的距离为√3−1，短轴长为2√2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为3√3
2
，求直线AB的方程．
22. 已知x＝1是f(x)=2x+b
x
+lnx的一个极值点
(Ⅰ)求b的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调减区间；
(Ⅲ)设g(x)＝f(x)−3
x
，试问过点(2, 5)可作多少条直线与曲线y＝g(x)相切？请说明理由．
2013-2014学年吉林省吉林市普通中学高三（上）开学数学试卷
（文科）答案
1. C
2. A
3. D
4. A
5. B
6. D
7. A
8. C
9. A
10. D
11. D
12. A
13. √7
14. 5
15. 4√33
16. ①②③
17. 解：(1)由题意：√3sinA −cosA =2sin(A −π6)=1，即sin(A −π6)=12， ∵ 0<A <π2，∴ −π6<A −π6<π3， ∴ A −π6=π6，即A =π3； (2)由(1)知：cosA =12， ∴ cos2B +4cosAsinB =1−2sin 2B +2sinB =−2(sinB −12)2+32， ∵ △ABC 为锐角三角形．
∴ B +C =
2π3，即C =2π3−B <π2， ∴ π6<B <π2，
∴ 12<sinB <1，
∴ 1<cos2B +2sinB <32，
则cos2B +4cosAsinB 的取值范围为(1, 32)．
18. 解：（1）设数列的公差为d，则
∵ a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．∴ (7+d)2=(7−d)(7+6d)
∴ d2=3d
∵ d≠0
∴ d=3
∴ a n=7+(n−3)×3=3n−2
即a n=3n−2；
（2）∵ b n=2a n，∴ b n=23n−2
∴ b n+1
b n =23n+1
23n−2
=8
∴ 数列{b n}是等比数列，
∵ b1=2a1=2
∴ 数列{b n}的前n项和S n=2(8n−1)
7
．
19. 解：（1）由频率分布表，得总数M=3
0.03
=100，…所以m=100−(3+3+37+15)=42，…
得第四组的频率n=42
100
=0.42，
N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1．…
所求的频率分布直方图如右图所示…
（2）由题意，90分以上的人分别在第五组和第六组，
它们的频率之和为0.42+0.15=0.57，
∴ 全区90分以上学生估计为0.57×600=342人．…
（3）设考试成绩在(0, 30]内的3人分别为A、B、C；
考试成绩在(30, 60]内的3人分别为a、b、c，
从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：
(A, B)，(A, C)，(A, a)，(A, b)，(A, c)，
(B, C)，(B, a)，(B, b)，(B, c)，(C, a)，
(C, b)，(C, c)，(a, b)，(a, c)，(b, c)
共有15个．…
设抽取的2人的分数均不大于30分的事件为事件D．
则事件D含有3个结果：(A, B)，(A, C)，(B, C)…
∴ 被选中2人分数不超过30分的概率为P(D)=315=15． … 20. 解：（1）连结AC 与BD 交于点O ，连结OP ，
因为ABCD 是正方形，所以OA =OC ，又因为PV =PC
所以OP // VA ，又因为PO ⊂面PBD ，所以VA // 平面PBD ．--------
（2）在平的面VAD 内，过点V 作VH ⊥AD ，因为平面VAD ⊥底面ABCD ，所以VH ⊥面ABCD ．
所以V A−VBD =V V−ABD =13S △ABD ⋅VH =13×12×22×√32×2=2√33
．------ 21. 解：（1）由题意，{a −c =√3−1b =√2
a 2=
b 2+
c 2
，解得a =√3，c =1． ∴ 椭圆方程为x 2
3+y 2
2=1−−−−−−−−−−−−
（2）当直线AB 与x 轴垂直时，|AB|=√3，不符合题意故舍掉；-----------
当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：y =k(x +1)，
代入消去y 得：(2+3k 2)x 2+6k 2x +(3k 2−6)=0．
设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=
−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2−−−−−−−−−−− 所以|AB|=4√3(k 2+1)2+3k 2
，------------ ∵ 线段AB 的长为
3√32， ∴ 4√3(k 2+1)
2+3k 2=3√32
∴ k 2=2
∴ k =±√2，------------
所以直线AB 的方程为：√2x −y +√2=0或√2x +y +√2=0．---------
22. （1）∵ x ＝1是f(x)=2x +b
x +lnx 的一个极值点， f′(x)＝2−b
x 2+1
x
， ∴ f′(1)＝0，即2−b +1＝0，
∴ b ＝3，经检验，适合题意，
∴ b ＝3．
(II)由f′(x)＝2−3x 2+1x <0，
得2x 2+x−3
x 2<0，∴ −3
2<x <1，
又∵ x >0（定义域），
∴ 函数的单调减区间为(0, 1]．
(III)g(x)＝f(x)−3x =2x +lnx ， 设过点(2, 5)与曲线g(x)的切线的切点坐标为(x 0, y 0)， ∴ y 0
−5
x 0−2=g ′(x 0)， 即2x 0+lnx 0−5＝(2+1
x 0)(x 0−2)， ∴ lnx 0+2x 0−5＝(2+1
x 0)(x 0−2)， ∴ lnx 0+2
x 0−2＝0，
令ℎ(x)＝lnx +2x
−2， ℎ(x)=1x −2x 2=0，∴ x ＝2．
∴ ℎ(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增， ∵ ℎ(12)＝2−ln2>0，ℎ(2)＝ln2−1<0，ℎ(e 2)=2e 2>0， ∴ ℎ(x)与x 轴有两个交点，
∴ 过点(2, 5)可作2条直线与曲线y ＝g(x)相切．。