弹性力学-第3章 4 简支梁受均布荷载

1 2
f ( y)x2
f1yx
f2y
（2）Φ必须满足相容方程，据此求待定函数
4
4 4
2
0
x 4
x 2y 2 y 4
代入应力函数后得到：
d 4 f y x2 d 4 f1y x d 4 f2 y 2 d 2 f y 0
2dy 4
dy 4
dy 4
dy 2
方程为x的二次方程(最多只有两个根)，要求全梁 范围内无论x取何值均成立(无数个根)，只有x的各 次幂的系数均为零：
A y 5 B y 4 Hy3 Ky 2 10 6
（b）
（3）根据（2—23）求出应力分量{；
x
2 y 2
x2 2
(6 Ay
2B)
x(6Ey
2F)
2 Ay 3 2By 2 6Hy 2K
（c）
y
2 x 2
Ay 3
By 2
Cy
D
（d）
xy
2
xy
x
3Ay 2
2By
c
L(3Ay2 c) (3Ey2 2Fy G) dy qL
2
以上两个等式两端相加得到：
h
2 h
(3Ey2
2Fy G)
dy
0
2
E
h
3
Gh
0
2
结合前页等式和上式得到：
E h 3 Gh 0 2
h2 (3E G) 0
4
E0 G0
注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件
§3-4 简支梁受均布荷载
q
h
qL
0
2
x
h 2
qL
L
L
y
矩形截面简支梁，体力不计，求应力分量
逆解法框图
选择应力函数Φ
满足4 0吗? NO
YES
求应力分量
NO
满足几何边界条件？
YES
结论
半逆解法框图 由边界条件选择某
应力的函数式
积分求函数Φ
NO
满足4 0吗?
YES
求应力分量
NO
满足边界条件吗?
YES
d 4 f y x2 d 4 f1y x d 4 f2 y 2 d 2 f y 0
2dy 4
dy 4
dy 4
dy 2
二次项系数
d
4 f y
dy4
0
一次项系数
d
4 f1
dy4
y
0
零次项
d
4 f2
dy4
y
2
d
2 f y
dy2
0
由（1）、（2）式：
f ( y) Ay3 By2 Cy D
a）考察上边界（主边界）
y
h 2
q
y yh q
2
h
0
2
h 2
L
L
y
h3 A h2 B h C D q 8 42
x
xy y h 0 2
x(3 Ah2 Bh c) 0 4
(3E h 2 2Fh G) 0 4
y
2 x 2
Ay3
By2
Cy
D
xy x 3Ay2 2By c (3Ey2 2Fy G)
x
s
m xy
s
fx
xy s m y s f y
a）考察下边界（主边界）
q
h
0
2
h 2
h y
2
下边界：
y yh 0 2
h3 A h2 B h C D 0
x8
42
L
y
xy yh 0 2
L
x(3 Ah2 Bh c) 0 4
(3E h 2 2Fh G) 0 4
结论
q
h
上、下边界(主要边界)的边界条件：
0
2
h
x
y y h 0 y y h q
2
2
2
L
L
y
由于q沿x轴不变化，与x无关，故可假设
y f ( y) 也与x无关
则 y
2
x 2
f ( y)
x
f ( y)x
f1 y
1 2
f ( y)x2
f1 yx
f2 y
（a）
其中：f ( y), f1y, f2 y 为待定函数
x y
对于对称性问题
• 教材中采用对称性来考虑问题也是可以的。 • 对称性包括：几何形状、应力和位移边界条件3方面 • 对称性是基于：原因对称则结果必然对称。
两端积分：
h
2 h
Ydy
qL
2
h
2 h xy
xL dy
qL
2
h
2 h xy
xL dy
qL
2
两端x=L处的积分边界条件
xy x 3Ay2 c (3Ey2 2Fy G)
x L :
h
2 h
L(3Ay2
c) (3Ey2
2Fy G) dy qL
2
x L:
h
2 h
f1( y) Ey3 Fy 2 Gy (常数项)
1 2
f ( y)x2
f1yx
f2y
（1） （2） （3）
由（3）式（x的零次幂项）：
d
4 f2
dy4
y
2
d
2f
dy2
y
12
Ay
4B
f2 ( y)
A 10
y5
B 6
y4
Hy 3
Ky 2
(一次项) (常数项)
故：(x, y) x 2 Ay3 By2 cy D 2 x Ey3 Fy2 Gy
上下边界结果汇总
h3
h2
h
A B C D 0
8
42
h3 A h2 B h C D q 8 42
x(3 Ah2 Bh c) 0 4
x(3 Ah2 Bh c) 0 4
h2 (3E 2Fh G) 0
4 (3E h 2 2Fh G) 0
4
B0
F 0
(3E h 2 2Fh G) 0 4
y0
y0
与材力的结果比较
材力解
x
M I
y
y 0
xy
QS I
*
v
|x0
y0
5qL4 24 EI
u |xL 0y0弹力附加项（修正项）q
y h
4
y2 h2
3 5
q 1 y (1 2 y )2 2 h h
5qL4 24 EI
3h 2 5L2
(4 5
2
)
qL
EI
材力 q
弹力
q
材力不考虑 这个应力
注意到材力的表达方式：
I 1 h3, S* h2 y2
12
82
M q (L2 x2 ),Q qL 2
应力分量：
x
M I
y
q
y h
4
y2 h2
3 5
y
q 2
1
y h
(1
2 y )2 h
xy
QS * I
（3—6）
5）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件，
可确定位移分量 u |xL 0 v |x L 0
两端x=L处的积分边界条件
x s m xy s f x
xy s m y s f y
q
左边界(假设分布为Y,m＝0)：
l xy xL Y l xy xL Y
h
0
2
x 代入两端的l
qL
h 2
qL
xy y h Y 2
L
L
y
xy y h Y 2
(3Ey 2 2Fy G)
（e）
上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只 要选择适当的系数A、B…K常数，使所有边界条 件满足，则（c） 、 （d）、（e）为正确解答。
y
2 x 2
Ay3
By2
Cy
D
xy x 3Ay2 2By c (3Ey2 2Fy G)
x s m xy s f x xy s m y s f y