北京四中九年级上册数学图形的位似—知识讲解

图形的位似--知识讲解
【学习目标】
1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将
一个图形放大或缩小；
2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.
【要点梳理】
要点一、位似多边形
1.位似多边形定义:
如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
要点诠释：
位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
要点诠释：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
要点二、坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.
【典型例题】
类型一、位似多边形
1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.
A. B. C. D.
【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．
【答案】D
【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；
而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．
故选D．
【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
举一反三
【变式】在小孔成像问题中，根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O 到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的（）.
A. 3倍
B.21
C.3
1 D.不知AB 的长度，无法判断 【答案】C 2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.
【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比 为1.5.
画法是：
1．在平面上任取一点O.
2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.
3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.
4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.
这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE
＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.
【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.
举一反三
【变式】在已知三角形内求作内接正方形．
【答案与解析】
作法：
（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；
（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；
（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；
（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；
A 1
B 1
C 1
D 1
E 1 A B D
E
∴四边形DEFG 即为所求．
类型二、坐标系中的位似图形
3.（2014巴中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点坐标分别为A （﹣2，
4），B （﹣2，1），C （﹣5，2）．
（1）请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1．
（2）将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，请画出△A 2B 2C 2．
（3）求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积比，即111222
A B C A B C S S ∆∆
=： （不写解答过程，直接写出结果）．
【思路点拨】
（1）根据关于x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得出各点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案．
【答案与解析】
解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求；
（2）如图所示：△A 2B 2C 2即为所求；
（3）∵将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A 2，B 2，C 2， ∴△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为：1：2，
∴111222
A B C A B C S S ∆∆=：1：4． 故答案为：1：4． G F F'B C G'
【总结升华】此题主要考查了位似变换以及轴对对称变换，得出对应点位置是解题关键．
4. 如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的4
1，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标.
【答案与解析】
因为矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 是位似图形，面积比为1：4，所以它
们的位似比为1：2. 连接OB ，
（1）分别取线段OA 、OB 、OC 的中点A ′、B ′、C ′，连接O A ′、A ′B ′、B ′C ′、 C ′O ，矩形OA ′B ′C ′就是所求的图形.
A ′，
B ′，
C ′三点的坐标分别为A ′（3，0），B ′（3，2），C ′（0，2）.
（2）分别在线段OA ，OB ，OC 的反向延长线上截取O A ″、O B ″、O C ″，使OA ″=21OA ，OB ″=21OB ，O C ″=2
1OC ，连接 A ″B ″、B ″C ″，则矩形O A ″B ″C ″为所求. A ″、B ″、C ″三点的坐标分别为A ″（-3，0），B ″（-3，-2），C ″（0，-2）.
【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.
举一反三：
【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？
【答案】
解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.。