2020-2021高一数学上期中一模试卷附答案(4)

2020-2021高一数学上期中一模试卷附答案(4)
一、选择题
1．已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则A =R ð
A ．{}
12x x -<< B ．{}
12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃
D ．}{}{
|1|2x x x x ≤-⋃≥
2．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U I
A ．{1,1}-
B ．{0,1}
C ．{1,0,1}-
D ．{2,3,4}
3．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，
上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫
-<-< ⎪⎝⎭
B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫
-<-< ⎪⎝⎭
C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
4．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x
y a =及log b y x =的图象与线段OA 分
别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．
A ．1a b <<
B ．1b a <<
C ．1b a >>
D ．1a b >>
5．设0.1
359
2,ln ,log 210
a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
6．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
8．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ）
A ．偶函数，且在(0,10)是增函数
B ．奇函数，且在(0,10)是增函数
C ．偶函数，且在(0,10)是减函数
D ．奇函数，且在(0,10)是减函数
9．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）
A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B ．23
3231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．2
3332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D ．23
323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
10．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)
B ．(3,4)
C ．(5,6)
D ．(6,7)
11．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪
=⎨
⎪⎩
若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，
且12x x <3x <4x <，则31234
2
()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,0)-
C ．(0,1]
D ．[1,0)-
12．已知函数
在
上单调递减，则实数
a 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ
-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.
14．已知函数2
1,1
()()
1
a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨
->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()
y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．
15．已知函数()()2
2log f x x a =+，若()31f =，则a =________．
16．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4x
f x =，
5
()(2019)2
f f -+的值是____.
17．已知偶函数()f x 满足3
()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___
18．已知()32,,x x a
f x x x a
⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a
的取值范围是________．
19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线1
2
x =
对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．
20．若4log 3a =，则22a a -+= ．
三、解答题
21．已知幂函数2
242
()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x
g x k =-；
（1）求m 的值；
（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；
22．已知二次函数()2
f x ax bx c =++.
（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；
（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>
（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)
b x c
g x x a x +-=
<-，求函数()g x 的最大值 23．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且
210200,050()10000
6019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩
，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 24．求关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件. 25．已知函数()2
(0,)a
f x x x a R x
=+
≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；
（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围. 26．设a 为实数，函数()()2
1f x x x a x R =+-+∈．
（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；
（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[]
,a b ，如果存在()00x a x b <<，满足
()0()()
m b m a m x b a
-=
-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个
“均值点”．如函数2y x =是[]
1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数
()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}
|12A x x x =<->或，
所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
2．C
解析：C 【解析】
分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，
上是增函数，即可进行判断. 【详解】
函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.
又函数()f x 在区间(]1-∞-，
上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
-，即()()3212f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
故选：D. 【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】
由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数x
y a =，即1
313
a =，解得127a =，
把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3
2
22639b ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．A
解析：A 【解析】 试题分析：
，
，即
，
，
．
考点：函数的比较大小．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
化简cos cos a A b B =得到A B =或2
A B π
+=，再判断充分必要性.
【详解】
cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=
故22A B A B =∴=或222
A B A B π
π=-∴+=
，ABC ∆为等腰或者直角三角形.
所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】
本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2
A B π
+=是解题的关键，漏解是容易发
生的错误.
7．D
解析：D 【解析】
令235(1)x y z
k k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k
∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32
x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的
,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其
是换底公式以及0与1的对数表示.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 由100
100
x x +>⎧⎨
->⎩，得(10,10)x ∈-，
故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，
又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()(
)2
lg(10)lg(10)lg 100f x x x x
=++-=-，
因为函数2
100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，
()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，
()
()
1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知函数为偶函数，把2332
31log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，转化为同一个单调区间上，再
比较大小． 【详解】
()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛
⎫∴= ⎪⎝⎭．
22330
3
3
2
2
333log 4log 31,122
2,log 42
2--
-
-
>==>>∴>>Q ，
又()f x 在(0，+∞)单调递减，
∴()233
23log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
2332
3122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选C ．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
10．C
解析：C 【解析】
【分析】
令函数4()log 7x
f x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()lo
g 7x
f x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得
方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】
令函数4()log 7x
f x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.
∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<
∴故函数4()log 7x
f x x =+-的零点所在的区间为()5,6
∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】
零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且
()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多
少个零点.
11．C
解析：C 【解析】
作出函数函数()21,0,
|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩
的图象如图所示，
由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()3123344
22
222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵4
2
2y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴4
1
021x <-
+≤，即所求范围为(]0,1。

选C 。

点睛：解决本题的关键是正确画出函数的图象，并由图象得到
123442,1,12x x x x x +=-=<≤这一结论，并将问题化为函数在区间上的值域问题，体现
了数形结合思想在解题中的应用。

12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区
间上都是单调递减的，且当时，
，求解即可．
【详解】 若函数
在
上单调递减，则
，解得
. 故选C. 【点睛】
本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是
的最小值大于等于
的最大值． 二、填空题
13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：
解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】
根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析
可得答案． 【详解】
根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =
-+的图象，如图：
若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，
即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．
【点睛】
本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.
14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3
【解析】 【分析】
由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】
由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，
当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，
解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪
-≤⎨⎪-≠-⎩
，解得13a <?；
当1x >时，由2
()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩
，解得2a >，
综上可得：实数a 的取值范围为(]
2,3. 【点睛】
本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
15．-
7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需
解析：-7 【解析】
分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.
详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
16．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣）＝f （﹣）＝﹣f （）结合解析式求出f （）的值又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据 解析：2-
【解析】 【分析】
根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣52
）＝f （﹣12）＝﹣f （1
2），结合解
析式求出f （1
2
）的值，又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案． 【详解】
解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，
则f （﹣
52
）＝f （﹣12）＝﹣f （1
2），
f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），
又由函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则有f （1）＝f （﹣1）且f （1）＝﹣f （﹣1），故f （1）＝0，则f （2019）＝0 ，又由0＜x ＜l 时，f （x ）＝4x ，则f （12）＝1
24＝2，则f （﹣52
）＝﹣f （12）＝﹣2； 则5f f (2019)2⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭
＝﹣2； 故答案为：﹣2 【点睛】
本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．
17．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题
主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或
【解析】 【分析】
通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】
根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在
()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t
>，即22x -<-或22x ->，即0x <或
4x >.
【点睛】
本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.
18．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞
【解析】 【分析】
由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】
()()g x f x b =-Q 有两个零点，
()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，
由32x x =可得，0x =或1x =
①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意
②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意
④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意
⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点
综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】
本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
19．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称
解析：0 【解析】
试题分析：()y f x =的图像关于直线1
2
x =
对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，
(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以
(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.
考点：函数图象的中心对称和轴对称.
20．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算
【解析】 【分析】 【详解】
∵
4log 3a =，∴432a a =⇒=2
22a -+== 考点：对数的计算
三、解答题
21．(1) 0 ; (2) [0,1] 【解析】 【分析】
(1)根据幂函数的定义有2(=11)m -，求出m 的值，然后再根据单调性确定出m 的值. (2)根据函数()f x 、()g x 的单调性分别求出其值域，再由A B A ⋃=得B A ⊆，再求k 的取值范围. 【详解】
(1) 函数2
242
()(1)m
m f x m x -+=-为幂函数，
则2
(=11)m -，解得：0m =或2m =.
当0m =时，2
()f x x =在(0,)+∞上单调递增，满足条件. 当2m =时，2
()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不满足条件. 综上所述0m =.
(2)由(1)可知, 2
()f x x =,则()f x 、()g x 在[1,2]单调递增,
所以()f x 在[1,2]上的值域[1,4]A =,()g x 在[1,2]的值域[2,4]B k k =--. 因为A B A ⋃=,即B A ⊆,
所以2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≥⎧⎨≤⎩
，所以01k ≤≤.
所以实数k 的取值范围是[0,1].
【点睛】
本题考查幂函数的概念，函数值域和根据集合的包含关系求参数的范围,属于基础题. 22．（1）{}
13x x ≤≤；（2）（ⅰ）1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞；（ⅱ）2-. 【解析】
【分析】
（1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组()432421b a c
a
f a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩求解即可；
（2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得012a b
a c
a ⎧
⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，则20cx bx a ++>可化为
2210x x -->，再解此不等式即可；
（ⅱ）由（ⅰ）得()g x =4
(1)(
)21x x
⎡⎤--++⎢⎥-⎣
⎦
，再利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，得解. 【详解】
（1）由题意可得()4
32421
b a
c a
f a b c ⎧-=⎪⎪
⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩
，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，()2
43f x x x ∴=-+，
解不等式()0f x ≤，即2430x x -+≤，即()()130x x --≤，解得13x ≤≤， 因此，不等式()0f x ≤的解集为{}
13x x ≤≤；
（2）（ⅰ）由题意可知012a b a
c
a
⎧
⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以20cx bx a ++>可化为210c b
x x a a ++<，
即2210x x -++<，得2210x x -->，解得2
1
x <-或1x > 所求不等式的解集为1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞.
（ⅱ）由（ⅰ）可知22(1)(1)2()(1)(1)b x c a x a g x a x a x +-++==--=23
1
x x +=-
2(1)2(1)4
1
x x x -+-+=
-=4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦ , 因为1,x <所以10x ->，所以4(1)()41x x
-+≥-，当且仅当4
11x x -=-时即1x =-时取
等号 , 所以4(1)(
)41x x ⎡
⎤-+≤-⎢⎥-⎣⎦，4(1)()221x x ⎡
⎤-≤-++≤-⎢⎥-⎣⎦
所以当1x =-时，()max 2g x =- . 【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题.
23．（1）()2104003000,05010000
6000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨--+≥⎪
⎩
；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元. 【解析】 【分析】
（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；
（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可. 【详解】
解：（1）由已知有当050x <<时，
()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-
当50x ≥时，()1000010000
600(6019000)30006000L x x x x x x
=-+
--=--+， 即()2104003000,050
10000
6000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨--+≥⎪⎩
， （2）当050x <<时，()2
2
10400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+，
当20x =时，()L x 取最大值1000， 当50x ≥时，(
)10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000
x x
=
，即100x =时取等号， 又58001000>
故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元. 【点睛】
本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题. 24．充要条件是1a ≤． 【解析】 【分析】
当0a ≠时，根据根为“1正1负”、“2负根”进行讨论，由此求得a 的范围.当0a =时，直接解出方程的根.由此求得a 的取值范围. 【详解】
①0a ≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a <；
若方程有两个负的实根，则必有102{001440
a
a a
a >-<∴≤∆=-≥＜．．
②若0a =时，可得1
2
x =-也适合题意．
综上知，若方程至少有一个负实根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x 的方程2210ax x ++=至少有一负的实根的充要条件是1a ≤． 【点睛】
本小题主要考查根据含有参数的一元二次方程根的分布求参数，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 25．（1）当
时，为偶函数，当
时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）
(16]-∞，.
【解析】 【分析】 【详解】 （1）当
时，
，
对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，
，，，
为偶函数．
当时，2
()(00)a
f x x a x x
=+
≠≠，， 取
，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，
(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数
既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）设122x x ≤<，
，
要使函数
在[2)x ∈+∞，
上为增函数，必须恒成立．
121204x x x x -<>Q
，，即
恒成立．
又，．
的取值范围是(16]-∞，
． 26．（1）；（2）
；（3）()0,2
【解析】
试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函
数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，
()22
21,2
21{3,2
x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最
小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在
()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．
试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立， 即()2
211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax =
x R ∈Q 0a ∴=
（2）当2a =时，()22
21,2
21{3,2
x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<
所以()f x 在[
)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝
，
因为
＜5，所以函数()f x 的最小值为
．
（3）因为函数()2
1g x x mx =-++是区间[]
1,1-上的平均值函数， 所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)
1(1g g g x --=
--）
而
(1)(1)
1(1g g m --=--）
，存在()01,1x ∈-，使得()0g x m = 即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解； 由21x mx m -++=得210x mx m -+-=
解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m << 故m 的取值范围是()0,2
考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．。