有理数的除法(3)

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有理数的乘除运算第3课时有理数除法法则课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

贰新知初探
贰新知初探
探究一：有理数除法法则
问题：观察下面的算式及计算结果，你有什么发现？
-3
商的绝对值与被除数和除数的符号及绝对值之间有何关系？从中归纳猜想出一般规律，并用自己的语言叙述规律.
贰新知初探
两个有理数相除, 同号得_正___, 异号得__负___,并把绝对值__相__除___. 0除以任何一个不等于0的数都得__0___.
叁当堂达标
叁当堂达标
1．如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧,则这两个数相除所得的商是（ A ）
A.一定是负数； B.一定是正数； C.等于0； D.以上都不是
2．一个数的 2 是- 16 ,这个数是 -8 55
3．用“<”、“>”或“=”填空
（1）（- 1 ）÷（- 1 ）÷（- 1 ） < 0
1 3
（2）（—12）÷（- 2 ）
3
（2）（-12）÷（-2）
3
；
=（-12）×（-3）
2
=18
（3）（－23）÷（－3）× 1 ；
3
（3）（-23）÷（-3）×1
3
=（-23）×（-1）×1
3
3
=23
9
叁当堂达标
5.一天,小张和小李利用温度差测量山的高度,小张在山顶测得的温度是－ 1℃,小李在山脚下测得的温度是5℃,已知该地区高度每上升100m,气温下降约0.8℃,请你帮他们算算,这座山的高度大约是多少？
贰新知初探
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
除数变为倒数作因数
也可以表示成：
1
a ÷ b = a · b (b≠0)
除号变乘号

7上有理数的除法(知识讲解)-七年级上(教师版)

专题2.25 有理数的除法（知识讲解）【学习目标】1. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；2. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；3. 培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】知识要点一、乘积是1的两个数互为倒数．特别说明： 11535-（1）“互为倒数”的两个数是互相依存的，如3的倒数是；的倒数是-； (2) 0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3) 倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4).互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．知识要点二、有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.特别说明：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．知识要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．【典型例题】类型一、有理数的除法运算 1(0)a b a b b÷=≠1.计算：（1）(36)9-÷；（2）123255⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）﹣4；（2）45．【分析】根据有理数除法法则，除以一个数等于乘上这个数的倒数，转化成有理数的乘法进行运算，即可得到答案．解：（1）(36)9(369)4-÷=-÷=-；（2）12312542552535⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点拨】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算是解决本题的关键．举一反三：【变式1】计算：（1）()186-÷；（2）()()637-÷-；（3）()19÷-；（4）()08÷-；（5）()6.50.13-÷；（6）6255⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）3-；（2）9；（3）19-；（4）0；（5）50-；（6）3．【分析】原式利用除法法则计算即可得到结果，除以一个数等于乘以这个数的倒数，两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除．解：（1）()1863-÷=-；（2）()()9637-÷-=；（3）()1199÷-=-；（4）()080÷-=；（5）()6.50.1350-÷=-；（6）62355⎛⎫⎛⎫-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点拨】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握除法运算法则是解本题的关键．【变式2】（1）51()217÷-；（2）()()1 1.5-÷-；（3）21(3)()()54-÷-÷-；（4）21(3)()()54⎡⎤-÷-÷-⎢⎥⎣⎦ 【答案】（1）53-；（2）23；（3）30-；（4）158- 【分析】（1）（2）（3）利用有理数的除法法则计算即可；（4）先计算括号内的除法，再利用有理数的除法法则计算即可．解：（1）5155()7217132÷-=-⨯=-；（2）()()11223.513=⨯-=÷-；（3）215(3)()()3430542-÷-÷-=-⨯⨯=-；（4）21(3)()()54⎡⎤-÷-÷-⎢⎥⎣⎦ 2(3)(4)5=-÷⨯ 538=-⨯ 158=-．【点拨】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：除以一个数等于乘以这个数的倒数．【变式3】计算：（1）212339⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）110.758⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭；（3）3125164⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）0(7.4)÷-．【答案】（1）67；（2）32-；（3）512；（4）0 【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的相反数进行计算即可．解：（1）218288962339393287⎛⎫⎛⎫-÷-=÷=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）19394310.75884832⎛⎫⎛⎫-÷=-÷=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）313521354525164164162112⎛⎫⎛⎫-÷-=÷=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）0(7.4)0÷-=．【点拨】本题考查了有理数的除法，熟知有理数的除法运算法则是解题的关键．类型二、有理数加减乘除混合运算2．计算： (1)()110.53 2.75742⎛⎫-+-+-+ ⎪⎝⎭； (2)411812944⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (3)()()14812849⎛⎫-÷⨯-÷- ⎪⎝⎭； (4)()215412346⎛⎫+--⨯- ⎪⎝⎭．【答案】(1)1 (2)-27 (3)-2 (4)9【分析】（1）把小数化分数，同分母相加，再计算减法即可；（2）先确定积的符号，把带分数化为假分数，计算乘法，再加法即可；（3）先确定积的符号，把带分数互为假分数，然后化除为乘，最后计算乘法即可；（4）利用乘法分配律简算，再计算乘法，最后加法即可．(1)解：()110.53 2.75742⎛⎫-+-+-+ ⎪⎝⎭， =11113272442⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， =76-，=1；(2)解：411812944⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， =4981494-⨯+⨯， =-36+9，=-27；(3)解：()()14812849⎛⎫-÷⨯-÷- ⎪⎝⎭， =9481849-÷⨯÷， =-44181998-⨯⨯⨯， =-2；(4)解：()215412346⎛⎫+--⨯- ⎪⎝⎭， =()()()2154121212346+⨯--⨯--⨯-， =48310-++，=9．【点拨】本题考查有理数加减乘除混合运算，掌握有理数加减乘除混合运算法则，先乘除，再加减，注意括号的运用是解题关键．举一反三：【变式1】计算：（1）()()()()541119-+--+--；（2）()3138.5424⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）()()7872187-÷⨯⨯-；（4）3777148168⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）-1；（2）9；（3）192；（4）12- 【分析】（1）把减法变加法，然后从左向右依次计算即可．（2）根据加法交换律、加法结合律计算即可．（3）根据乘法结合律计算即可．（4）根据乘法分配律计算即可．解：（1）()()()()541119-+--+--91119=--+1=-．（2）()3138.5424⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()3318.5442⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦09=+9=．（3）()()7872187-÷⨯⨯- ()()7872187⎡⎤⎡⎤=-÷⨯⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()824=-⨯-192=．（4）3777148168⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3778148167⎛⎫⎛⎫=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 38787814787167⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1212=-++ 12=-．【点拨】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数四则运算的运算方法、运算律及混合运算的运算顺序是解题关键．【变式2】计算（1）2531(1)1(7)768-÷-⨯⨯-；（2）115(1)363912-++⨯．【答案】（1）274-；（2）29-【分析】（1）先将带分数化为假分数，再利用有理数的乘除法法则计算即可；（2）利用乘法分配律计算即可．解：（1）2531(1)1(7)768-÷-⨯⨯-91111()(7) 768=-÷-⨯⨯-9611()(7) 7118=-⨯-⨯⨯-274=-；（2）1151363912⎛⎫-++⨯⎪⎝⎭415363636 3912=-⨯+⨯+⨯48415=-++29=-．【点拨】本题考查有理数的混合计算，掌握有理数乘除法的法则以及乘法分配律是解题的关键．【变式3】计算：（1）1131()(3)(2)(5)2442---++-+．（2）94(81)(16)49-÷⨯÷-．【答案】（1）0；（2）1．【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可；（2）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可求解．解：（1）原式1131111660 2442=-++-=-=；（2）原式44181()19916=-⨯⨯⨯-=．【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算、乘除混合运算，在进行有理数的加减混合运算时，先把减法转化为加法，再运用加法运算律计算可以简化运算；在进行有理数的乘除混合运算时，先将除法转化为乘法运算，再运用乘法运算律计算可以简化运算．类型三、用简便方法运算2．简便运算：(1)3531103825656⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)75322412643⎛⎫-⨯-+-⎪⎝⎭(3)4377143⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4)2222228126777⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】(1)13-(2)4(3)569-(4)2207-【分析】（1）先去括号，然后根据有理数加法的交换律求解即可；（2）根据有理数乘法的分配律求解即可；（3）根据有理数乘法的交换律求解即可；（4）根据有理数乘法的结合律求解即可．(1)解：3531 10382 5656⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3531103825656=-++-3351108325566⎛⎫⎛⎫=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2213=-+13=-；(2)解：75322412643⎛⎫-⨯-+-⎪⎝⎭7532 2424242412643=-⨯+⨯-⨯+⨯14201816=-+-+4=；(3)解：4377143⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4147733⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4714733⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 41433⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 569=-； (4)解：2222228126777⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2281267⎛⎫=-++⨯- ⎪⎝⎭ 22107⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 2207=-．【点拨】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知相关计算法则是解题的关键．举一反三：【变式1】用简便方法计算：（1）391994020-÷；（2）2215130.34(13)0.343737-⨯-⨯+⨯--⨯．【答案】（1）119992-；（2）13.34- 解：（1）391994020-÷ 11002040⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭ 120002=-+ 119992=- （2）2215130.34(13)0.343737-⨯-⨯+⨯--⨯ 2125130.343377⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭130.34=--13.34=-【点拨】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律进行简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键．【变式2】能简算的要简算（1）122 6.6 2.5325⨯+⨯ （2）44444999999999955555++++（3）16533241787⎡⎤⎛⎫÷⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （4）513.21 3.62812⎡⎤⎛⎫⨯-+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 【答案】（1）25；（2）11110；（3）16；（4）10 【分析】（1）先把小数化为分数，然后根据乘法的结合律进行计算求解即可；（2）先把分数部分和整数部分分别相加然后得到()()()()19199199919999+++++++由此求解即可；（3）直接根据分数的混合计算法则进行求解即可；（4）先把小数化为分数，然后根据分数的混合计算法则进行求解即可．解：（1）131226232525⨯+⨯ 132=263255⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ 1=2102⨯ =25；（2）44444999999999955555++++ ()44444=999999999955555⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭=49999999999++++()()()()=19199199919999+++++++=10100100010000+++=11110；（3）16533241787⎡⎤⎛⎫÷⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1633=977⎡⎤÷+⎢⎥⎣⎦ 1696=77÷ 167=796⨯ 1=6；（4）513.21 3.62812⎡⎤⎛⎫⨯-+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1631825=58512⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 61825=5512⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭ 2425=512⨯ =10．【点拨】本题主要考查了分数与小数的混合计算，分数的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．类型四、巧用乘除“转化思想”解题4、数学老师布置了一道思考题“计算：1151236⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”．小明仔细思考了一番，用下列方法解答了这个问题．小明的解答：原式的倒数为15115(12)4106361236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-⨯-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以115112366⎛⎫⎛⎫-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正确，请说明理由．(2)计算：111324368⎛⎫⎛⎫-÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；(2)﹣113【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可；（2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值．(1)解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； (2)解：111324368⎛⎫⎛⎫-÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的倒数为1131()()36824-+÷-， 1131()()36824-+÷- ＝113()(24)368-+⨯- ＝113(24)+()(24)(24)368⨯--⨯-+⨯- ＝﹣8+4﹣9＝﹣13，则111324368⎛⎫⎛⎫-÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝﹣113 【点拨】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式1】请你认真阅读下列材料：计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法一：因为原式的倒数=211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2112(30)31065⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭203512=-+-+10=-．所以原式110=-，解法二：原式121111123033010306305⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-÷--÷+-÷--÷ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111112035126=-+-+=．（1）上述得出的结果不同，肯定有错误解法，你认为哪种解法是错误的？为什么？（2）根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目：113224261437⎛⎫⎛⎫-÷+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）解法二错误，因为除法没有分配律；（2）124【分析】（1）根据除法没有分配律即可识别解法二错误；（2）先求原数的倒数，再利用乘法分配律简算求出结果，然后求出其倒数求出原数即可．解：（1）解法二错误，因为除法没有分配律，他利用了除法分配率进行计算肯定出现错误．（2）因为原式的倒数为132216143742⎛⎫⎛⎫+--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1322(42)61437⎛⎫=+--⨯- ⎪⎝⎭，1322(42)(42)(42)(42)61437=⨯-+⨯--⨯--⨯-， 792812=--++，24=，所以原式124=．【点拨】本题考查除法的巧算，倒数，乘法分配律等知识，熟练掌握上述知识，灵活运用所学知识解决问题是关键．【变式2】数学老师布置了一道思考题“计算1151236⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”．小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为()15115124106361236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-⨯-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以115112366⎛⎫⎛⎫-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）请你通过计算验证小明的解法的正确性；（2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______；（3）请你运用小明的解法计算：7377184812⎛⎫⎛⎫-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）见分析；（2）这个数本身；（3）-3【分析】（1）按小明的解法计算，检查结果是否正确即可；（2）根据题意得出结论即可；（3）仿照已知的方法计算即可．解：（1）()115111121236122126⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴小明的解法的正确（2）一个非零数的倒数的倒数等于这个数本身（3）3777777821121481284812733⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-=--⨯-=-++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴73771384812⎛⎫⎛⎫-÷--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3】阅读下列材料：计算：50÷（1113412-+）．解法一：原式＝1115050503412÷-÷+÷＝50×3﹣50×4＋50×12＝550解法二：原式＝50÷（431121212-+）＝50÷212＝50×6＝300 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法是错误的，在学习正确的解法后，请你解答下列问题：（1）计算：（﹣112）÷（132261337-+-）；（2）在材料中，原式的倒数为（1113412-+）÷50，你能仿照这个做法求出（﹣112）÷（132261337-+-）的解吗？请写出具体解题过程．【答案】一；（1）91346-；（2）91346-，见详解. 【分析】（1）由题意根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案；（2）由题意根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案，注意最后要还原成倒数.解：因为没有除法分配律，故解法一错误；故答案为：一；（1）（﹣112）÷（132261337-+-） 191126364156()()12546546546546=-÷-+- 1173()12546=-÷ 1546()12173=-⨯ 91346=-；（2）213226133711⎛⎫⎛⎫÷- ⎪ ⎪+-⎝⎭-⎝⎭ ()21322613371⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭-+- ()()()()12121212132261337=⨯-+⨯--⨯--⨯- 362428137=-+-+ 9105649191=-+ 34691=-故（﹣112）÷（132261337-+-）=91346-.【点拨】本题考查有理数的除法，注意掌握有理数的除法应先算括号里面的，再算有理数的除法，同时注意没有除法分配律．类型五、有理数除法的应用5、一次体育课上，全班男生进行了百米测验，规定的达标成绩为17秒．下面是第一组6名男生的成绩记录：（正数表示超过17秒的秒数，负数表示低于17秒的秒数）(1)这个小组男生的达标率为______%；(2)求这个小组男生的平均成绩为多少秒？【说明：若不能进行整除，请保留一位小数】【答案】(1)50%(2)16.9秒【分析】（1）根据题意得：达标的有3人，然后用3除以6乘以100%，即可求解；（2）表格中的数据的和除以6，再加上17，即可求解．解：(1)根据题意得：达标的有3人，所以这个小组男生的达标率为3100%50% 6⨯=(2)这个小组男生的平均成绩为()117 1.50.801 1.20.36+-++-+-⨯16.9≈（秒）．【点拨】本题主要考查了有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．举一反三：【变式1】大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次性购买，只需要付款多少元？能节省多少元？【答案】（1）他应付钱674元；（2）王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．【分析】（1）根据780元＞500元，分两部分计算500元九折+超过部分八折计算即可；（2）先求出两次构买物品的标价，将两次物品标价求和，再按一次性购物计算500元九折+超过部分八折，再计算王阿姨两次购物付款总和-一次性付款即可．解：（1）∴李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，780元＞500元，∴他应付钱为：500×0.9+（780-500）×0.8=450+224=674元；（2）王阿姨第一次去该超市购物付款198元，该物品标价为198÷0.9=220元，第二次去该超市购物付款554元，554-450=104，450÷0.9+104÷0.8=500+130=630元，两次购物标价为220+630=850元，∴王阿姨应付钱为：500×0.9+（850-500）×0.8=450+280=730元，198+554-730=22元，王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．【点拨】本题考查商品打折问题，掌握分类计算标准和计算方法是解题关键．【变式2】某公司去年1～3月份平均每月盈利2万元，4～6月份平均每月亏损1.6万元，7～10月份平均每月亏损1.4万元，11～12月份平均每月盈利3.4万元(假设盈利为正，亏损为负)．（1）该公司去年一年是盈利还是亏损？（2）该公司去年平均每月盈利(或亏损)多少万元？【答案】（1）该公司去年一年是盈利的．（2）该公司去年平均每月盈利0.2万元．【分析】（1）把一年盈利与亏损的相加，由和为正数或是负数可得结论；（2）把一年的总盈利或总亏损除以12即可得到结论.解：（1）根据题意，得2×3＋()1.6-×3＋()1.4-×4＋3.4×2＝2.4(万元)．答：该公司去年一年是盈利的．（2）2.412=0.2÷(万元)．答：该公司去年平均每月盈利0.2万元．【点拨】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减运算，乘法运算，除法运算的实际应用，理解题意列出正确的运算式是解题的关键.。

2.3 有理数的乘除运算第3课时有理数的除法(课件)北师大版(2024)数学七年级上册

＝18×

＝16× ×
＝27

＝

☀注意对于只有除法的运算，有括号先算括号内，无括号就
从左到右算。或者可以先把所有除法都变成乘法，然后再用乘
法交换律和结合律。
新知小结
方法归纳
（1）有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的
运算律简化运算
（2）乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，

||
－1
（2）当a＜0时，＝_______；

a＞0，b＜0
（3）若a＞b，＜0则a，b的符号分别是_____________.

随堂检测
4.计算：

（1）－ ÷(－2)；

（2）－0.5÷ ×(－ )；

（3）－7÷(－ )÷(－ )。

4 1 2
解:（1）原式＝ × ＝；
2.3 有理数的乘除运算
第3课时有理数的除法
学习目标
1.理解有理数除法的法则，体会除法与乘法的关系。
2.会进行有理数的除法运算。（重点）
3.会求有理数的倒数，把有理数的除法运算转化乘法运算，体验
转化的数学思想.（难点）
知识回顾
1.有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负
数与0相乘，积为 0
④ 0×(－2)＝0，
0÷(－2)＝_ 0___。
从上面的算式，你能归纳出有理数的除法有什么特点与规律吗？
新知小结
有理数的除法法则1：
正
负
1.两个有理数相除，同号得____，异号得_____(填“正”或

(完整版)初一有理数的运算法则

一、有理数的运算顺序：有理数的混合运算法则即先算乘方或开方，再算乘法或除法，后算加法或减法。

有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后算大括号。

在遇到相同类型的运算时，应从左往右运算二、有理数的运算：1）有理数加减法：1、同号相加和取相同的符号，并把绝对值相加例如：+2+3=5 （-2）+（-3）=-52、异号相加和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值例如：+2+（-3）=-1 （-2）+3=1一个数与零相加仍得这个数，两个互为相反数相加和为零3、减去一个数等于加上这个数的相反数例如：+2-（+3）=2+（-3）=-1 （-2）-（-3）=-2+3=14、异号相减可理解为同号相加例如：+2-（-3）=2+3=5 （-2）-（+3）=-2-3=-5 补充：去括号与添括号：去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；+（4+5+6）=4+5+6 +（4-5+6）=4-5+6括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号。

-（4+5+6）=-4-5-6 -（4-5+6）=-4+5-6添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；4+5+6=4+（5+6） 4-5+6-7=（4-5+6）-7=（4-5）+6-7在“－”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。

4-5+6=4-（5-6） 4-5+6-7=4-（5-6+7）2）有理数乘法法则：1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘例如：（+2）×（+3）=6 （-2）×（-3）=6 （+2）×（-3）=-6 （-2）×（+3）=-62、任何数与零相乘都得零3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；4、几个有理数相乘，若其中有一个为零，积就为零。

有理数的除法

⑶ 0 ÷ ﹙-18
⑷ -12÷﹙-

﹚＝0
﹚÷﹙-10﹚＝ ﹣12 ×12 ×

＝ ﹣14.4
对任意不是0的有理数a，0÷a＝0﹙a≠0﹚，
0做除数没有意义，所以0不能做除数；
两数相除要先确定商的符号，再确定商的绝对值，商
的符号的确定方法与乘法积的符号的确定方法相同。
1.下列运算错误的是
﹚
Hale Waihona Puke •解： ⑴
÷﹙﹣

＝﹣﹙ ÷
＝﹣﹙

×

﹚÷﹙﹣ ﹚÷﹙﹣ ﹚

÷ ÷ ﹚
× ×
﹚
＝﹣
⑵1

÷﹙﹣ ﹚＝﹣﹙
× ﹚＝﹣
掌握有理数除法法则
利用有理数除法法则进行除法运算
学会把除法问题转化成乘法问题
谢谢
异号得负）二是确定商的绝对值(等于绝对值的商）。
②除以一个不为0的数，等于乘以这个数
的倒数。
③一般情况下，两数相除，能整除的直
接利用除法法则计算，不能整除的把除法转
化成乘法，用乘法法则计算。
例题计算：
⑴ ﹙-215 ﹚ ÷ ﹙-5 ﹚
⑵ 2

÷ ﹙-1
⑶ 0 ÷ ﹙-18
⑷ -12÷﹙-

掌握有理数除法法则
利用有理数除法法则进行除法运算
学会把除法问题转化成乘法问题

有理数的乘除(第3课时有理数的除法) 课件(共43张PPT) 沪科版(2024)七年级数学上册

情景导入
倒数的定义你还记得吗？
你能很快地说出下列各数的倒数吗?
原数
-5
9

8
7
倒数
1

5
8

9
1
7
0
2
1 1
3
3
-1
5
问题小学中你学过的除法运算法则是什么？
除法是已知两个因数的积与其中一个因数，
求另一个因数的运算.除法是乘法的逆运算.
思考
该法则对有理数也适用吗？
新知探究
1.有理数的除法
1
36 6
6 ____
12 3 4

25 5 5
4
12 5

5
25 3 ____
72 9 8
1
72 8
9 ____
观察与发现：
互为倒数
1
8 4 8
.
16
（5）原式 = 0 .
2
（6）原式 =
.
15
4.填空：
（1）（-5）+（ 6 ）=1
1
（3）（-5）×（− ）=1
5
（2）（-5）-（ -6 ）=1
（2）（-5）÷（ -5 ）=1
5.计算：
1
−
5
4
1
× − ÷ −2
7
3
7
5
4
1
5
4
15
0
0÷(－6)=____,
零除以任何非零数得零
概念归纳
有理数的除法法则1
1.两数相除，同号得
正，异号得

有理数的除法教案

有理数的除法教案有理数的除法教案1从实际生活引入，体现数学知识源于生活及数学的现实意义。

强调0不能作除数。

（举例强化已导出的法则）学生自主探究有理数的除法运算转化为学生一致的乘法运算学生归纳导出法则（一）：除以一个数等于乘以这个数的倒数小组合作交流探究发现结果教师强调（1）除法法则与乘法法则相近，只是“乘”“除”二字不同，很容易记。

（2）此法则是有理数的除法运算的又一种方法。

学生自己观察回忆，进行自主学习和合作交流，得出有理数的除法法则（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

0除以任何不等于0的数都得0）激发学生学习的积极性和主动性满足学生的表现欲和探究欲）强化练习课本例2计算：（1）（－）÷（-6）÷（－）（2）（－）÷（－）学生试着独立完成有理数的除法法则的灵活应用，并渗透了除法、分数、比可互相转化。

反馈矫正课本69—70页第1、2、3题学生独立完成并小组互评巩固法则，调动学生积极性归纳小节1、学习内容：倒数的概念及求法；有理数的除法（二）、通过本节的学习，你有哪些体会？请与同学交流。

同学之间进行交流，小结本节内容培养了学生总结问题的`能力作业布置必做题：课本70页第1，3，4题选做题：若ab≠0，则可能的取值是__综合考查，学以致用。

不同的学生得到不同的发展板书设计2.9有理数的除法例1计算:练习处：例2计算：教学反思：《有理数的除法》一课是传统内容，在设计理念上，我努力体现“以学生为主”的思想，从学生已有的知识经验出发，展开教学，使学生自然进入状态，一切都很顺畅，达到了课前设计的构想。

在教学中，突出了学生在教学学习过程的主体地位，突出了探索式学习方式，让学生经历了观察、实践、猜测、推理、交流、反思等活力，既应用了基本概念、基础知识又锻炼了学生能力。

在这节课中，本人认为也有不足之处，由于学生的层次各异，在总结问题时，中等以下和学习有困难的学生明显信心不足，要注意和他们交流、帮助他们把复杂的问题化为简单的问题。

有理数的乘除法知识点(含例题)

1．有理数的乘法（1）有理数的乘法法则：两个数相乘，同号得__________，异号得__________，并把__________相乘；任何数与0相乘，都得__________；（2）倒数的定义：乘积为__________的两个数互为倒数．注意：①__________没有倒数；②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母__________即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为__________，再把分子、分母颠倒位置；③正数的倒数是__________，负数的倒数是__________；（即求一个数的倒数，不改变这个数的__________）④倒数等于它本身的数有__________个，分别是__________，注意不包括0．（3）有理数乘法的运算律：乘法交换律：两个数相乘，交换__________，积相等，即__________．乘法结合律：三个数__________，先把前两个数__________，或者先把后两个数__________，积相等，即（ab）c=__________．分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数__________，再把积__________，即a(b+c)=__________．（4）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．（5）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（6）任何数同1相乘仍得原数，任何数同–1相乘得原数的相反数．2．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个__________的数，等于乘这个数的__________．即a b÷= __________．（2）从有理数除法法则，容易得出：两个数相除，同号得__________，异号得__________，并把__________相除．0除以任何一个__________的数，都得__________．3．有理数的乘除混合运算（1）因为乘法与除法是同一级运算，应按__________的顺序运算．（2）结果的符号由算式中__________的个数决定，负因数的个数是__________时结果为正，负因数个数是__________时结果为负．（3）化成乘法后，应先约分再相乘．（4）有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． K 知识参考答案：1．（1）正，负，绝对值，0（2）1，0，颠倒位置，假分数，正数，负数，符号，两，1和–1（3）因数的位置，ab =ba ，相乘，相乘，相乘，a （bc ），相乘，相加，ab +bc2．（1）不等于0，倒数，1a b（b ≠0）（2）正，负，绝对值，不等于0，0 3．（1）从左到右（2）负因数，偶数，奇数一、有理数的乘法【例1】计算3×（–1）×（–31）=__________．【答案】1【解析】3×（–1）×（–31）=3×1×31=1．【名师点睛】先根据有理数乘法的符号法则判断符号，再把绝对值相乘即可得到结果．二、有理数的乘法运算律乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．表达式：ab=ba ．乘法结合律：三个数相乘，先把其中的两个数相乘，积相等．表达式：（ab ）c=a（bc ）．乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．表达式：a（b+c）=ab+ac．【例2】（–0.25）×（–79）×4×（–18）．【答案】–14【解析】原式=–（14×79×4×18）=–（14×4×79×18）=–14．【名师点睛】①几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0．②通过灵活运用乘法的运算律，可以使计算过程简单化．三、有理数的除法1．除以一个数等于乘以这个数的倒数．2．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．3．0除以任何一个不等于0的数，都得0．【例3】两个有理数的商是正数，那么这两个数一定A．都是负数B．都是正数C．至少一个是正数D．两数同号【答案】D【解析】根据有理数的除法法则，可得，两个有理数的商是正数，那么这两个数一定同号，故选D．【名师点睛】在进行除法运算时，若能整除，则根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”进行计算；若不能整除，则根据“除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数”进行计算；除法算式中的小数常化成分数，带分数常化成假分数，以利于转化为乘法时约分；0不能作除数（即分母）．四、有理数的加减乘除四则运算有理数的加减乘除四则运算：在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，应先算括号里面的．在同级别运算中，要按从左到右的顺序来计算，并能合理运用运算律，简化运算．【例4】下面是某同学计算(−)÷(−+−)的过程：解：(−)÷(−+−)=(−)÷+(−)÷(−)+(−)÷+(−)÷(−)=(−)×+×10−×6+×=(−)+−+=．细心的你能否看出上述解法错在哪里吗？请给出正确解法．【答案】见解析．【名师点睛】此题是有理数的混合运算，运算过程中要正确理解和使用运算律．。

7.4.2 有理数的除法1--3

正异号得___, 负并把绝对值相两数相除,同号得___, 0 除 ____.0 除以任何一个不等于0的数,都得___.
12 3 (1).( 48) (8); (2).( ) ( ). 25 5 解 : (1).(48) (8) (2).( 12 ) ( 3 ) 25 5 (48 8) 12 5 ( ) ( ) 6 25 3 4 5
3 6 (2) (56) (1.4) 2 (3) (81) (36) (2 ) 3 (4) ( 1 ) 0 ( 3 ) (1 2 ) 2 5 3
计算(-4) ÷2,4 ÷(-2),(-4) ÷(-2).
联系这类具体的数的除法,你认为a,b是有理数,b≠0,下列式子是否成立?从它们可以总结什么规律? a a a (1) b b b a a ( 2) b b
例1:计算
例2：化简下列各式：
12 45 (1). ; ( 2). 3 12
12 解 : (1). 12 3 4 3 15 45 (2). 45 (12) 4 12
例3：计算：
5 5 1 1.(125 ) (5); 2. 2.5 ( ) 7 8 4 5 1 5 2. 2.5 ( ) 解 : ( 125 ) ( 5) 7 8 4 5 1 5 8 1 (125 ) 7 5 2 5 4 1 5 1 125 1 5 7 5
甲乙 -1 2 1 -1 -1 -1 2 丙 1 2 丁积分名次 2 2 -1 2 6 -1 2 1 4 3
决赛甲积分乙表丙丁
1
（2）已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的
ab 绝对值是2, 求 mcd 2004 的值. m

2.6 有理数除法(3)

教师施教提要
（启发、精讲、活动等）
再次
优化
随堂
练习
课堂
小结
达标
检测
尝试计算例6，并讨论结果．
例6计算(－)÷1÷．
解(－)÷1÷
＝(－)××10
＝－．
练习计算：
1．2×(－)÷(－2)；
2．－1×(1－)÷1；
3．[12－4×(3－10)]÷4．
4.（1）－8－32÷(－4)；
（2）－9×(－2)－15÷(－3)；
（3）2－2÷×2；
（4）－3.5÷×(－)；
（5）(－6)÷÷．
布置
作业
课堂作业课后作业
下节课预习内容
教后感
2．会进行有理数的除法运算．
教具
与课件
板
书
设
计
2.6有理数的乘法与除法（3）
教学
环节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要
（启发、精讲、活动等）
再次
优化
导
入
合
作
探
究
创设情境
某地某周每天上午8时的气温记录如下：
这周每天上午8时的平均气温为：
[(－3)＋(－3)＋(－2)＋(－3)＋0＋(－2)＋(－1)]÷7，
究
尝试计算P46例4，并讨论结果．
（1）36÷(－9)；
（2）(－48)÷(－6)；
（3）(－)÷(－).
知识储备：
乘积是1的两个数互为倒数．
如果ab＝1，那么a和b互为倒数．例如，5的倒数是；－10的倒数是－；－8和－互为倒数.
0没有倒数．
对有理数除法，一般有有理数除法法则：

《有理数的除法》

通过实例演示如何运用有理数的除法来解决生活中的实际问题。
提供一系列的练习题，供学生练习和巩固所学知识，同时设置答疑环节，解答学生可能出现的问题和疑惑。
02 有理数除法的基本规则
同号除法
规则描述
当两个同号的有理数相除时，结果为正数。
例子
7/4 = 1.75 或 28/8 = 3.5。可以看出，当两个正数相除时，结果是正数。
• 通过与他人交流和讨论，互相帮助，共同进步，提高学习效果。
THANKS
感谢观看
03
现。
课程总结
教学方法评价
1
2
• 本课程采用了讲解、示范、练习相结合的教学方法，通过丰富的实例帮助学生理解和掌握有理数除法的规则。
3
• 教学方法针对性强，教学效果良好。
重点回顾
回顾词
基本概念回顾
• 有理数的除法定义
已知两个有理数a和b（b≠0），存在一个有理数q，使得a=bq，那么q就叫做a除以b所得的商，记作a÷b=q。
除数为零的情况
01
规则描述
任何数除以零都是没有意义的，因此这种情况下没有结果。
02
解释
在有理数除法中，除数不能为零。这是因为任何数量都不能被零次分割
。
03
注意事项
在实际计算中，如果遇到除数为零的情况，应直接判定为无法计算或者
错误。同时，在数学题目和实际应用问题中，也需要特别注意除数是否
为零，避免因此导致计算结果的偏差或错误。
计算倒数：在计算乘法时，我们需要找出除数的绝对值的倒数。倒数可以通过将1除以该数的绝对值得到。
完成了绝对值的相除后，我们得到了一个正数的结果，再结合前面确定的符号，就可以得到最终的有理数除法结果。

学案：2.3 课时3 有理数的除法

1 / 32.3 课时3 有理数的除法【学习目标】1. 熟练运用有理数的除法法则进行计算。

2. 能将除法转化成乘法。

【学习重难点】学习重点：能将除法转化成乘法。

学习难点：通过你的认真预习，你觉得这节课的难点是【预习学法指导】一、利用6分钟时间通过自己认真阅读课本，独立完成下面的问题：1、计算：（1）3×（－2）= ；（2）－3×5= ；（3）（－2）×（－5）= ；（4）－6÷（－2）= ；（5）－15÷5 = ；（6） 10÷（－5）= ；二、想一想：（1）（－18）÷6= ；（2） 5÷（－51）= ；（3）（－27）÷（－9）= ；（4） 0÷（－2）= ；观察上式，不难发现：两个有理数相除，同号，异号，并把绝对值；0除以任何一个不为0的数都得。

注意：0不能作 .三、利用2分钟时间进一步阅读课本例题，独立完成下面的题目：（1）（－24）÷（－4）（2）15÷（－51）（3）（－0.8）÷（－0.2）（4）（－8）÷（—81）÷（－100）2 / 3四、做一做：计算下列各组数的结果，并比较大小：（1）1÷（－52）（2）1×（－25）（3）0.8÷（－103）（4）0.8×（－310）；（5）（－41）÷（－601）（6）（－41）×（－60）。

小结：（1）除以一个数等于。

（2）－52的倒数，－3的倒数，－41的倒数五、利用2分钟时间进一步阅读课本例题，独立完成下面的题目：（1）（－1）÷（－1.5）（2）（－3）÷（－52）÷（－41）祝贺你已经按照导学案的要求顺利完成预习环节！请问，你只用了分钟来完成的？还有时间就继续挑战吧！运用与拓展延伸：1、7979⨯÷⨯2、求下列各数的倒数，并用“>”连接. －32,－2,21,3,－13、若a 、b 互为倒数，d c 、互为相反数，则2c+2d －3ab=3 / 3课内训练巩固1、如果两个有理数的商等于0，则（）A.两个数中有一个数为0B.两数都为0C.被除数为0，除数不为0D.被除数不为0，除数为02、下列运算错误的是（） A. 31÷(－3)=3×(－3) B.－5÷(－21)=－5×(－2) C.8－(－2)=8+2 D.0÷3=03、计算：（1）215÷（－71）（2）（－1）÷（－1.5）；（3）（－3）÷（－52）÷（－41）（4）(－3) ÷[(－51)÷(－41)].。