误差理论与平差基础误差椭圆PPT课件

x
E
y O
F
（椭圆与曲线关系）
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（任意方向位差）
1）误差椭圆作图的方法
X
Y
E
F
cos sin
,
(为参数）
P
P’
P‘’
τ
O
F ❖可见，P点的轨迹就是误差椭圆！ ❖思考：向径OP是不是第O2P6页方/共向3的8页位差？
P（X’，Y’） X’=Ecosτ Y’=Fsinτ
2）按误差椭圆来求任意方向的位差
Qxy
sin
2)
从上公式可看出：
➢任意方向位差的大小与方向φ有关。 ➢上式是一个用X、Y方向上的位差表示的任意方向上的位差。 ➢x、y方向分别是φ等于0度、90度等时的特殊形式。
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➢若使位差达到极值，则应使：
dQ 0
d
dQ d
d d
(Qxx cos2 Qyy sin2 Qxy sin 2 )
P
∆P
P2
A
∆u ∆S
P1 S
β ∆β
B
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u
S
u
S
P
ΔP
P’’
ΔU
Δβ
ΔS P’
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3）按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求
➢不难看出：
P2 (x)2 (y)2
➢由方差定义，可得：
2 P
2 x
2 y
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❖由上讨论可的如下结论
✓点位方差大小不受坐标系的影响；
说明：任意方向ψ指以E轴为起算的方向！（与φ不同。）
E
∆F
P’
ψ
∆E
∆P
P P’’ ∆ψ P’’’
F
➢由上图，可得：
cos E sin F
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➢即：
cos E sin F
cos
sin
E F
➢由协因数传播律得：
Q QEE cos2 QFF sin2 QEF sin 2
因为：
（E cos sin F sin cos）2 0
故：
OD2 E2 cos2 F 2 sin2
即： OD=σψ
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❖总结：
1）误差曲线是误差椭圆的垂足曲线；
2）即：先作ψ方向线，在垂直于该方向上作椭圆的切线， 则垂足与原点的连线长度就是ψ方向上的位差σψ。
3）在实践中，常以误差椭圆来表示待定点的点位误差、 若在控制网上按一定比例尺绘出待定点的误差椭圆，则
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➢由下图可得：
X
pp pp
cosx siny
cos
sin
x y
∆Y
φ
∆X
∆P
φ ∆φ
P’’ P
P’ P’’’
方位角=φ 方位角=φ
O
Y
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➢因为：
pp pp
cosx siny cos
sin
x y
➢按协因数传播律有：
Q cos sin
➢以E、F表示的任意方向上的位差公式：
2
ˆ（02 QEE
cos2
QFF
sin2
）
=E2 cos2 F 2 sin2
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7.2 误差曲线与误差椭圆
由公式
2
=E2
cos2
F
2
sin2
可以看出：
➢以不同的ψ和σψ为极坐标的点的轨迹为一闭合曲线； ➢这一曲线上的点至中心的连线就是连线方向的位差。
2 P
Байду номын сангаас
2 x
2 y
回顾条件平差、间接平差的计算纵、横坐标方差过程。
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2）按纵向、横向上的位差来求
X A
P″ ∆u
∆P
P′
∆S
P
➢显然，有：
P2 S 2 u2
Y
➢由中误差的定义可得：
2 P
2 s
2 u
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关于纵向、横向误差：
➢∆U为纵向误差、∆S为横向误差。∆P为点位真误差。 ➢各是由什么影响而来的？ ➢点位精度与测角、测边精度的关系怎样？
Qxˆ Qxˆyˆ cos
Qxˆyˆ
Qyˆ
sin
Q Qxx cos2 Qyy sin2 Qxy sin 2
➢则，任意方向位差公式：
2
Q 2
0
2 0
(Qxx
cos2
Qyy
sin2
Qxy
sin
2
)
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7.1.3 位差的极值和极值方向
2
2 0
(Qxx
cos2
Qyy
sin2
➢待定点的估值位置偏离其真实位置的距离P，简称为“真位 差”。
X
∆Y P‘（估）
∆X ∆P P（真）
O
➢显然有：
A
Y
P2 x2 y2 (其中：x x xˆ, y y yˆ)
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➢点 位 误 差 的 定 义 :
E(x2 ) E (x xˆ)2 E
xˆ E xˆ2
tan E
QEE Qxx Qxy
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➢根据椭圆三个参数，即可绘制相对误差椭圆。
➢值得注意的是：
误差椭圆是以待定点为极来绘制的；而相对误差椭圆则是 以两个待定点连线的中点为极来绘制的！
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例：某控制网误差椭圆图。
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例：Ｐ１、Ｐ２点误差椭圆以及两点相对误差椭圆图。
2Qxx cos sin 2Qyy sin cos 2Qxy cos 2
Qxx sin 2 Qyy sin 2 2Qxy cos 2
(Qxx Qyy ) sin 2 2Qxy cos 2
0
✓设φ0为位差的极值方向，则有：
tg 20
2Qxy Qxx Qyy
tg(20
1800 )
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✓不同的坐标系，其位差分量大小是不同的；
✓
点
位
位
差
可由
任
意
两个互
相垂P2
直的方x2
向
上
2
的y 坐标
方
差
来求得
。
2 s
2 u
故，点位误差计算公式为：
2
2 90
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7.1.2 任意方向φ的位差
说明：
1）任意方向φ指的是方位角为φ的方向！ 2）为求P点在任一方向上的位差，需先找P在φ方向上的 真误差∆φ与∆X、∆Y的函数关系； 3）真误差∆φ就是∆P在φ方向上的投影值。 4）根据投影再求该方向的位差。
解上式得到两个根，其中一个为极大方向φE，另一个为极小方向φF； 用这两个根分别带到任意方向位差的公式就会得到极大值E和极小值F！
➢也可按下式求P点位差的极大、极小值： 1 QEE 2 (Qxx Qyy K ) 1 QFF 2 (Qxx Qyy K ) K (Qxx Qyy )2 4Qx2y
Qxx Qxk xk Qxixi 2Qxk xi
Qyy Qyk yk Qyi yi 2Qyk yi
Q Q Q Q Q xy
xk yk
xk yi
xi yk
xi yi
E2
1 2
2 0
(Qxx
Qyy
(Qxx Qyy )2 4Q2xy )
➢代入误F 差2 椭12 圆02 (Q的x公x 式Qy，y 则求得 (Qxx 相Q对yy误)2 差4Q椭2圆xy )的三个参数：
• OD=Ecosτcosψ+Fsinτsinψ
• 两边平方，得：
OD2 E2 cos2 cos2 F2 sin2 sin2 2EF cos cos sin sin E2 cos2 （1 sin2） F2 sin2 （1 cos2） 2EF cos cos sin sin E2 cos2 F2 sin2 （E2 cos2 sin2 F2 sin2 cos2 2EF cos cos sin sin E2 cos2 F2 sin2 （E cos sin F sin cos）2
重点和难点
➢误差曲线与误差椭圆的联系与区别； ➢误差椭圆、相对误差椭圆三要素计算。
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7.1 点位误差
➢在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精 度； ➢待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的 大小来评定； 以下介绍点位误差的计算方法。
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7.1.1 点位误差的概念
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7.3 相对误差椭圆
✓误差椭圆描述的是该点与已知点的精度关系；
✓而待定点与待定点之间的精度关系则需用相对误差椭圆描 述。
❖思考：平面控制网中，两待定点间的相对位置是通过哪些
量表示的？
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➢两点的坐标差：
xik xk xi yik yk yi
➢坐标差的协因数：
2 x
E(y2
)
E
y
yˆ
2
E
yˆ E yˆ 2
2 y
P2 Ex(2 P2 )y2 E(x2 y2 )
E(x2 ) E(y2 )
2 x
2 y
2 P
➢
测
量
上
把
2 P
定义为“点位方差”，并把P
差，简称“点位误差” 。
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叫做点位中误
➢点位中误差的计算方法
1）按纵、横坐标方差来求：
E2
1 2
2 0
(Qxx
Qyy
K)
➢则极大、极小值为：
F2
1 2
2 0
(Qxx
Qyy
K)
K (Qxx Qyy )2 4Qx2y
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➢极大、极小方向的计算公式：
tan E
QEE Qxx Qxy
tan F
QFF Qxx Qxy
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7.1.4 以E、F表示任意方向ψ上的位差
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7.2.2 误差椭圆
误差曲线优点：
➢能直观地反映点位在任意方向上的位差； ➢能根据图找出点位在各个方向上的位差。
误差曲线缺点： 它不是一种典型曲线，故作图不方便!降低了实用价值。
又：它形状与以E、F为长短半轴的椭圆很相似，故常用该 椭圆来近似代替误差曲线。
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➢ 误差椭圆与误差曲线的关系如下图； ➢ 任意方向的点位误差：M OD。 P为切点，D为垂点。
本章教学内容
7.1 点位误差 7.2 误差曲线与误差椭圆 7.3 相对误差椭圆
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第7章 误差椭圆
本章学习的目的和要求
➢了解点位误差概念； ➢掌握任意方向位差、位差极值和极值方向的计算； ➢掌握误差椭圆三要素计算公式; ➢熟悉误差曲线与误差椭圆的关系，并掌握误差椭圆的应用。 ➢了解相对误差椭圆概念。
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本章内容小节
1、点位误差概念、点位误差以及任意方向位差的计算公式； 2、误差椭圆以及相对误差椭圆的计算； 3、误差曲线与误差椭圆关系； 4、误差椭圆的用途。
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中南大学信息物理工程学院
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感谢您的观看！
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➢故，将这条曲线称为“误差曲线”，见下图。
x
E
O
E
y
c
F
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7.2.1 误差曲线 1、误差曲线定义
1）直观：把各方向的位差清楚地图解出来了； 2）任意方向ψ上的向径0P就是该方向的位差σψ。 3）图形是关于E轴和F轴对称的。
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2、误差曲线图的用途
B
A ❖图解点位点位中误差、任意方向上的位差等。
➢其方法是：自椭圆作ψ方向的正交切线CD，C为切点，D 为垂点，则σψ=OD。（注意：σψ≠OP）
C
ψ
O
PD
F
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3）证明上图：σψ=OD
ψ
P(x,y)
Y
p
Ψ
Xτ
CD
ψ
O
OD=OC+CD=xcosψ+ysinψ
OD=Ecosτcosψ+Fsinτsinψ(p是椭圆上的一点）
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