(全国)2020年高考数学(理)总复习汇编-第二章《函数》含解析

x
x
f (x) 在 R 上的最大值和 h (x) f ( x) 在
2
2
当 x, 1 时， g ( x)
x2
x 3
2
2
1 47
x
,
4 16
47
1
（当 x= 时取等号），
16
4
h ( x)
x2
3 x3
2
2
3 39 39
3
x
… （当 x 时取等号） ，
4 16 16
4
所以
47 剟a
39 ；
16 16
当 x 1 时， g ( x)
D ． [1,3]
解析 因为 f x 为奇函数，所以 f 1 f 1 1 ，于是 1剟f x 2 1 等价于
f 1 剟f x 2 f 1 ，又 f x 在 ， 单调递减，所以 1剟x 2 1，所以 1剟x 3 .故
选 D.
题型 18 函数的周期性
1.（ 2017 江苏 14）设 f x 是定义在 R 且周期为 1 的函数，在区间 0,1 上，
fx
x2, x D ．其中集合 D
xx
n1 ,n
N* ，则方程 f x
lg x 0 的解
x, x D
n
的个数是
．
解析 由题意 f x 0,1 ，所以只需要研究 x 1,10 内的根的情况．
在此范围内， x Q 且 x D 时，设 x
q , p, q
N * , p…2 ，且 p,q 互质，
p
若 lg x Q ，则由 lg x
3x 2 2x
3 x 2 , 2 3 （当 x 2 3 时取等号），
2x
3
x 2 x2
h ( x)
…2
2 （当 x=2 时取等号），
2x 2x
所以 2 3剟a 2 .
综上所述，得
47 剟a 2 ．故选 A ． 16
解法二： 分别作出函数
和y
x a 的图像，如图所示 .
2
若对于任意 x
R
，
f
x x…
a 恒成立，则满 足 x
上的偶函数，且在 (0, ) 上是增函数 . a g log2 5.1 g log 2 5.1 ， 20.8 2 ，又 4 5.1 8 ， 则 2 log 2 5.1 3 ， 所 以 0 20.8 log 2 5.1 3 ， 于 是 g 2 0.8 g log 2 5.1 g 3 ，即 b a c .故选 C.
如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除
1,0 外，其它交点均为 x D 的部分．
1
1
且当 x 1 时， lg x
x1
x ln10 x 1
1 ，所以在 x 1 附近只有一个交点， ln10
因而方程解的个数为 8 个．故填 8 ．
第三节 二次函数与幂函数
题型 19 二次函数图像及应用 —— 暂无
题型 20 二次函数 “动轴定区间 ”、 “定轴动区间 ”问题
1 为 ,.
4
y
1 y f (x )
2
11
(
,)
4 4g
1
g
O
2
g
1
x
2 y 1 f (x)
2
2.（ 2017 山东理 10）已知当 x 0,1 时，函数 y mx 1 的图像与 y
2…x
ax
1且
2
x2
x2
x
3厔
x
x a x 1 恒成立，即 a,
2
x
x 1 ，又
2
x2
?2
2 ，当且仅
2
2x
2 x 2x
x2
当
时，即 x 2时取等号，所以 a, 2 .
2x
且 a剟x2
x 3 x 1 ，则 a,
x2
x3
47
47
，即 a?
.
2
2
min 16
16
综上所述， a 的取值范围为
47 , 2 .故选 A. 16
第二章 函数
第一节 函数的概念及其表示
题型 10 映射与函数的概念 —— 暂无 题型 11 同一函数的判断 —— 暂无 题型 12 函数解析式的求法 题型 13 函数定义域的求解 题型 14 函数值域的求解
第二节 函数的基本性质 —— 奇偶性、单调性、周期性
题型 15 函数的奇偶性
题型 16 函数的单调性
n
从而 10m
q ，则 10n p
(0,1) ，可设 lg x
n , m,n
N * , m…2 ，且 m, n 互质 .
m
m
q ，此时左边为整数， 右Biblioteka 为非整数， 矛盾， 因此 lg x p
Q，
于是 lg x 不可能与 x D 内的部分对应相等，
所以只需要考虑 lg x 与每个周期内 x D 部分的交点 .
2
2
2.（ 2017 天津理 6）已知奇函数 f (x ) 在 R 上是增函数， g (x ) xf (x) .若 a g( log 2 5.1) ，
0.8
b g (2 ) ， c g(3) ，则 a， b， c 的大小关系为（
）.
A. a b c
B. c b a
C. b a c
D. b c a
解析 因为奇函数 f ( x) 在 R 上增函数， 所以当 x 0 时， f ( x) 0 ，从而 g( x) xf ( x) 是 R
3ln t
5ln t
3y
， 5z
， ln t 0 .设 f x
ln 3
ln 5
x ，f x ln x
ln x 1 2 ，当 x 0,e 时，
ln x
f x 0 ， f x 单调递减；当 x e, 时， f x 0 ， f x 单调递增 .而
2x f 4 ln t ，
3y f 3 ln t ， 5z f 5 ln t .由 e<3<4<5，得 3 y 2x 5z .故选 D.
.又因为 3 x 是增函数，
x
1 也是增函数，所以 3
f x 在 R 上是增函数 .故选 A.
4.（2017 全国 1 理 5）函数 f x 在 , 单调递减，且为奇函数．若 f 1 1 ，则满
足 1剟f x 2 1的 x 的取值范围是（ ）.
A ． [ 2,2]
B ． [ 1,1]
C． [0,4]
, 3 上单调递减，在 3, 上单调递增，故 f x x3 不具有 M 性质；
④ y = ex f x ex x2 2 .令 g x ex x2 2 ，
则g x
ex x2 2
ex 2x
ex
2
x1 1
0 ，所以 y = ex f x
ex x2 2 在 R
上单调
递增，故 f x x2 2 具有 M 性质． 综上所述，具有 M 性质的函数的序号为①④ .
1.(2017 浙江理 5)若函数 f x x2 ax b 在区间 0，1 上的最大值是 M ，最小值是 m ，
则 M m（ ）.
A. 与 a 有关，且与 b 有关 C. 与 a 无关，且与 b 无关
B. 与 a 有关，但与 b 无关 D. 与 a 无关，但与 b 有关
解析 函数 f x x2 ax b 的图像是开口朝上且以直线 x
361 lg 3 80 ，即 x 93.28 ，
2.（ 2017 全国 1 理 11）设 x ， y ， z 为正数，且
x
2
y
3
z
5 ，则（
）.
A ． 2x 3y 5z
B ． 5z 2x 3y
C． 3y 5z 2x
D ． 3y 2x 5z
解析 设 2x 3y 5z t ，两边取对数得 x ln 2 y ln 3 z ln 5 ln t ，则 2x 2ln t ln 2
x
3.(2017 北京理 5)已知函数 f x 3x 1 ，则 f x （ ） . 3
A. 是奇函数，且在 R 上是增函数
B.是偶函数，且在 R 上是增函数
C.是奇函数，且在 R 上是减函数
D.是偶函数，且在 R 上是减函数
解析
x
x
由题知 f x 3x 1 ， f x 3 x 1
3
3
1 3x
3x
f x ，所以 f x 为奇函数
f (5) 5 a a, 5
f (4) 4 a a, 5
a 4.5
a, 4.5
f (5)
5a
， 解得
a5
a, 5
或
a, 5 ，所以 a, 4.5 ．则 a 的取值范围是
,4.5 .
解法二： 如图所示，当 a 0 时， f (t ) t a a t, 5 成立；
当 0 a, t 时， f (t) a t a 0 t, 5 成立；
2
4
与 b 无关 . 综上可得， M m 的值与 a 有关，与 b 无关 .故选 B．
题型 21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 —— 暂无 题型 22 二次函数恒成立问题
1（. 2017 天津理 8）已知函数
x ，设 a R ，若关于 x的不等式 f x … a
2
在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（
2.(2017 浙江理 17)已知 a R ，函数 f x
x 4 a a 在区间 1，4 上的最大值是 5， x
则 a 的取值范围是
.
解析 设 t
x
4
，则
f (t)
ta
a， t
4,5 .
x
解 法 一 ： 可 知 f (t) 的 最 大 值 为 max f (4), f (5) ， 即
f (4) 4 a a 5 或
）.
A.
47 ,2
16
B.
47 39 ,
16 16
C. 2 3,2
D.
39 2 3,
16
解析
解 法 一 ： 易 知 f x ≥0 ， 由 不 等 式 f (x)… x a ， 得
x f (x)剟
a f (x) ， 即
2
2
x
x
f (x) 剟a f ( x) ，只需要计算 g (x)
2
2
R 上的最小值即可，
题型 25 指（对）数函数的图像及应用 —— 暂无 题型 26 指（对）数函数的性质及应用
第五节 函数的图像及应用
题型 27 识图 (知式选图、知图选式 ) 题型 28 作函数的图像 —— 暂无 题型 29 函数图像的应用
1.（ 2017 全国 3 理 15） 设函数 f x
x 1， x, 0
2x， x
题型 17 函数的奇偶性和单调性的综合
1.（ 17 江苏 11） 已知函数 f x
x3
2 x ex
1 ex ， 其中 e 是自然对数的底数．若
f a 1 f 2a2 , 0 ，则实数 a 的取值范围是
．
解析 易知 f x 的定义域为 R .
因为 f x
3
x 2x
ex
1 ex
所以 f x 是奇函数．
x3
M 约为 3361 ，而可观测宇宙中
普通物质的原子总数
N 约为 1080 ，则下列各数中与
M 最接近的是（
N
） . （参考数据：
lg3 0.48 ）
A. 1033
B. 1053
C. 1073
D. 1093
解析
设M N
x
3361 ，两边取对数 1080
lg x
所以接近 1093 .故选 D.
lg 3361 lg10 80
x
e 在 R 上单调递增，故 f x 2
2 x 具有 M 性质；
② y = ex f x ex 3 x
x
e 在 R 上单调递减，故 f x 3
3
x
不具有
M
性质；
③ y = ex f x ex x3 ，令 g x ex x3 ，则 g x ex x3 ex 3x2 x2ex x 3 ，
所以当 x 3 时， g x 0 ；当 x 3 时， g x 0 ，所以 y = ex f x ex x3 在
当 a t 时， f (t) t a a a t a, 5 成立，即 a, 4.5 .
则 a 的取值范围是
,4.5 .
y
0
4t 5 a
3
O 112
x
2
题型 23 幂函数的图像与性质 —— 暂无
第四节 指数函数与对数函数
题型 24 指（对）数运算及指（对）数方程
1.(2017 北京理 8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
a
为对称轴的抛物线 .
2
①当 a 1或 a 0 ，即 a
2
2
2 ，或 a 0 时，函数 f x 在区间 0,1 上单调，此时
M m f 1 f 0 1 a ，故 M m 的值与 a 有关，与 b 无关；
②当 1 剟 a 1，即 2剟a 22
a
1时，函数 f x 在区间 0,
上单调递减，在
2
单调递增，
2 x ex
1 ex
f x，
又f x
3x2
2 ex
1 ex
…3x2…0 ，且
f
x
0 不恒成立，所以 f x 在 R 上单调
递增．
因为 f a 1 f 2a2 , 0 ，所以 f a 1 , f 2a2 f 2a2 ，于是
a 1, 2a 2 ，即 2a2 a 1, 0 ，解得 x
1, 1 ．故填 1, 1 ．
，则满足 f 0
x
fx 1 2
1 的 x 的取值
范围是 _________.
解析 因为 f x
x 1,x ≤ 0
2x
,x
，f x 0
1 fx
2
1 1 ，即 f x
2
1 f x .由图像变换可
作出 y f x 1 与 y 1 f x 的图像如图所示 .由图可知，满足 f x 1 1 f x 的解集
2
2
1.（ 2017 山东理 15）若函数 ex f x （ e 2.71828L 是自然对数的底数）在 f x 的定义域上
单调递增，则称函数 f x 具有 M 性质 .下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号
为
.
①f x 2x
②f x 3x
③ f x x3
④ f x x2 2
解析 ① y = ex f x ex 2 x
a ,1 上 2
且f 0
f 1 ，此时 M m f 0
f
a
a2 ，故 M m 的值与 a 有关，与 b 无
24
关；
③当 0,
a1
a
，即 1 a, 0 时，函数 f x 在区间 0, 上单调递减，在
22
2
a ,1 上 2
单调递增，
且f 0
f 1 )，此时 M m f 1 f
a 1 a a2 ，故 M m 的值与 a 有关，