第5章 平稳时间序列模型的建立

ˆ 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况 ˆk 或 当 kk 下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数 在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？
1. 自相关函数截尾的判定
若k序列在m步后截尾，即若k>m,应有k=0，此时k的估计 量渐近于正态分布。即：
m 1 ˆ k ~ N (0, (1 2 l2 )) N l 1
ˆ1 ˆ0 ˆ2 ˆ0ˆ2 ˆ12 ˆ1 ˆ2 2 2 2 ˆ0 ˆ1 ˆ0 ˆ12
3 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 0 1 1 2 0 2 ˆa 0 2 ˆ12 ˆ0
具体建模时，只需要在ARMA模型中加入一个截距 项，和回归模型是一样的。如果事先未对序列进行零均 值化，即使该截距项可能不显著，也不要把它从模型中 删去。因为这个不显著性可能和自回归系数的取值有关。
2. 序列减去样本均值得到零均值的序列。
样本均值只是总体均值的一个估计，可能存在误差，因此我们有 必要利用样本均值对总体均值是否为0进行检验-即零均值检验。（这 个也称为模型的预处理） 设平稳过程{Xt}的均值为，给定序列X1,…,XN, 要检验=0，就需 要构造检验统计量或求参数的置信区间。可以从考虑样本均值出发
1 0.0634 249
统计一下2阶之后落在-0.0634*2到0.0634*2之间的偏自相关函 数有几个？适合用AR(2)模型拟合吗？进一步适合用AR(1)模 型拟合吗？
第三节 参数估计
一、矩估计
原则：以样本数字特征作为总体相应数字特征的估计，以样本数字 特征的函数作为总体相应数字特征的相应函数的估计
1 ˆ 或P k N
2 ˆ 或P k N
ˆ ) 68.3% (1 2 l 1
m 2 l
ˆ ) 95.5% (1 2 l 1
m 2 l
因此，判断一个序列的k序列是否在m步后截尾，具体做法如下： 1.
•移动平均模型MA(m)的参数估计
2 0 (1 12 m ) 2 k 0 2 k ( k k 11 m mk ) 1 k m 0 k m
上述方程为非线性方程，通常要用特定的数值计算方 法求解。下面我们只考虑MA(1)模型的直接解法。
若n值比较大才满足条件，可认为偏自相关函数拖尾，用MA模型或 ARMA模型可能更好。
• 若序列的自相关和偏自相关函数都拖尾，则序列是ARMA模型。 • 若序列自相关函数和偏自相关函数无以上特征，而是出现缓 慢衰减或周期性衰减情况，则说明序列不是平稳的。
例5.1 下图是一磨轮剖面资料的数据图，共250个。试对该序 列建立合适的时间序列模型。
•自回归模型AR(n)的参数估计：采用Yule-Walker方程
n n 1 1 1 0 2 1 n n 2 2 1 1 2 2 n 0 n 1 n 1 2 n 2
•自回归移动平均模型ARMA(n,m)的参数矩估计： 将模型分成两个部分，先对AR部分应用Yule-Walker方 程，估计出AR部分的参数；然后把参数代入计算得到剩 余序列，对剩余序列应用MA模型的参数估计方法。 具体如下:
(1). 当k>m时，考虑Yule-Walker方程的解
2.
若某一个k比较大，而其后的k都很小且接近于0，则可以此k作为 模型的阶m，计算上面的置信区间。
如果m之后的k落在该区间的频率超过68.3%(或95.5%)，则认为序 列适合用MA(m)或更低阶的模型拟合。否则提高m继续计算，一直 到满足条件为止。 若m值比较大才满足条件，可认为自相关函数拖尾，用AR模型或 ARMA模型可能更好。
3.
2. 偏自相关函数截尾的判定
若kk序列在n步后截尾，即若k>n,应有kk =0，此时kk的估计量渐近 于正态分布。即：
ˆ P kk
1 ˆ kk ~ N (0, ) N 1 2 ˆ 68.3%; P kk 95.5% N N
ˆ1 2 ˆ ˆ1 , ˆ12 ˆa ˆ 0 1 ˆ 0
AR(2)模型：
ˆ 1 ˆ0 ˆ1 ˆ1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 0 2
1
所以
1 ˆ0 ˆ1 ˆ1 2 ˆ0 ˆ12 ˆ1 ˆ0 ˆ2
观察序列图及样本自相关函数和偏自相关函数图，发现2阶之 后值都比较小，假设m=2，则有
2 1 1 ˆ l2 ) (1 2 1 2*0.6152 2*0.2382 0.0867 249 249 l 1
统计一下2阶之后落在-0.0867*2到0.0867*2之间的自相关函数 有几个？适合用MA(2)模型拟合吗？ 再观察偏自相关函数，发现2阶之后值都比较小，假设n=2，则有
第一节 模型识别
平稳零均值序列的自相关函数和偏自相关函数的统计特性
模型 自相关函数 偏自相关函数
AR(n) 拖尾 截尾
MA(m) 截尾 拖尾
ARMA(n,m) 拖尾 拖尾
可依据上述性质初步确定模型的类型。
选择模型的困难
因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论 ˆ 或 截尾的完美情况，本应截尾的 ˆ k 仍会呈现出小值振 kk 荡的情况。
X
X1 N
XN
若白噪声序列服从正态分布，则有
X ~ N (, D( X ))
所以参数的置信度为1-的置信区间为
X u / 2 D( X )
而
1 D( X ) N2
i j 1
Cov( X
N
i
X j)
1 N 2 i j N i j 1
1 2 N
第5章 平稳时间序列模型的建立
在第3章中所建立的ARMA模型，都是针对零 均值平稳序列考虑的。但实际问题中并非如此。 如果序列是平稳的，而均值不为0，我们可以通过 以下两种方法建模。
1. 模型中包含常数项。
假定过程的理论均值为，则模型可以描述为：
Xt 1 Xt 1
0 1 1 2 2 ... n n
2 a
或把其中的γ改为ρ亦可。
但是在上述方程组中，自协方差函数是未知的，因此需要用样本自协方 差函数来估计， 所以可得到
ˆγ ˆn ˆ n
和
2 ˆ0 ˆT γ ˆa ˆn
求解上述的方程，即可得到参数和σa2的估计 注. 如果满足一定的条件，上述的自协方差函数矩阵是可逆的。 对于AR(1)模型，参数的矩估计为：
m
令 则上式变为
k k a 1 k m 0 a
2 02 12 m 0 0 0 k 1 k 1 mk m k 0 k 1
m
令 fk fk ( 0 1 记
1. 直接解法 对于MA(1)模型，自协方差函数满足：
2 a (1 12 ) k 0 k 2 a (1 ) k 1
变换得：
1 1 2 1 1 4 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 2 a a ? 1
经过重排可得到
0 2 a 2 1 12 m k ( ) 1 k 1 mk m k 2 a m m 2 a
给定m+1个参数的一组初值，然后进行迭代，直到取到满意的精度为止。 该方法得到的参数拟合出的模型可以满足可逆性条件。
Lag Acf Pacf
1 0.615 0.615
2 0.238 -0.225
3 0.042 0.002
4 -0.051 -0.051
5 -0.065 0.008
6 0.031 0.126
7 0.079 -0.022
8 0.106 0.066
9 0.058 -0.07
10 -0.081 -0.144
因此，判断一个序列是否可用AR模型来拟合，具体做法如下： 若某一个kk比较大，而其后的都很小且接近于0，则可以此时的k作 为模型的阶n，计算上面的置信区间。
如果n之后的kk值落在该区间的频率超过68.3% (或95.5%) ，则认为 序列适合用AR(n)或更低阶的模型拟合。否则提高n继续计算，一直 到满足条件为止。
对于MA(2)模型及更高阶的模型，参数的解析解更难表示出来。
2. 线性迭代法 如果MA(m)模型的阶数已知，则可用下述方法来估计其中的参数。 已知
2 2 a (1 12 m ) k 0 k 2 a ( k 1 k 1 mk m ) 1 k m
f 0 m
则
σ(i 1) σ(i) F1 (i)f (i)
最后用样本自协方差函数代替总体自协方差函数即可得到参数的估计。
该方法的优点： （1）收敛速度较快； （2）比线性迭代法精度要高一些。 该方法的缺点： （1）估计出的参数拟合出来的模型不能保证具有可逆性； （2）该算法强烈依赖于初始值的选择。

m ), k 0,1,

,m
f0 0 f m 0
0
m
f0 f
m
σ
f
F
f
f m m
因而似然方程组实际上是由nm1个超越方程构成通常需要经过复杂的迭代算法才能求出未知参数的极大似然估计值优点极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供的信息因而它的估计精度高同时还具有估计的一致性渐近正态性和渐近有效性等许多优良的统计性质需要假定总体分布第二节模型的定阶自相关函数和偏自相关函数定阶法自相关函数和偏自相关函数不但可以用来进行模型的识别同样也可以用来进行ar模型和ma模型该方法对arma模型定阶较为困难
Lag
Acf Pacf
11
-0.137 0.033
12
-0.136 -0.057
13
-0.093 0.026
14
-0.012 0.032
15
0.025 -0.045
16
-0.027 -0.063
17
-0.05 0.014
18
-0.101 -0.076
19
-0.142 -0.027
20
-0.12 -0.016
3. Newton-Raphson迭代算法
即利用 x(k ) x(k 1)
f ( x ( k 1)) f ( x ( k 1))
Hale Waihona Puke 不断进行迭代， 最后当k→时，x(k)就是f(x)=0的解。 对于此问题，具体做法是：将上式改写为
2 0 a (1 a )2 ( m a )2 k a ( k a ) (1 a )( k 1 a ) ( mk a )( m a ) k 1
n X t n at 1at 1 mat m
通过整理可得：
X t 1 X t 1 n X t n 1 1 m at m n at 1at 1 m at m
0 at 1at 1
N
k ( N 1)

N 1
( N | k |) k

1 k (1 ) k N k N N

1 N
k


k
实际问题中 k未知，可用它的样本自协方差函数来代替，从而可对=0 进行检验。 如果0，则通过减去样本均值使其零均值化。 MATLAB中可用ttest命令实现零均值的检验，SPSS中选择均值的检验即可。