运筹学考试分析之层次分析法

运筹学考试分析之层次分析法
李斌
层次分析法主要是应用线性代数中一致性矩阵的特殊性质，根据各种方案的相对重要性构造判断矩阵，利用特征值来求解优先权数。

理论部分参考线性代数，考试分析直接从案例逐步分析。

例如，讲义P10-6案例分析：
第一步：建立模型
AHP的比较准则一般应控制在9个以内，因为判断矩阵的相对重要程度用1～9表示，超过9个比较准则不仅难以表示和计算，同时也很难保证矩阵的一致性。

第二步：构造比较矩阵
通过以上模型能够构造出1+5=6个判断矩阵。

其中，各准则对总目标的5阶判断矩阵一个，各方案对各准则的3阶判断矩阵共5个。

一般来说，二级AHP总共可以构造m+1个判断矩阵（m=准则个数）。

其中总目标的判断矩阵为m阶，其他各方案判断矩阵为n阶（n=方案个数）。

第三步：计算准则对总目标的优先权数，并做一致性检验
1）简单来说，应用方根法求优先权数可总结为：一乘二方根，三加四归一一乘：求矩阵每一行的乘积得Mi；
二方根：对每个Mi求m次方根得βi；
三加：将所有βi相加求和；
四归一：用每个βi除以所有βi的和得αi；
组合所有αi得到向量α即可以作为优先权数。

2）求最大特征根λ：
其中(Bα)i就是总目标判断矩阵B的每一行与向量α对应相乘，然后除以向量α中的单个数值αi，对所有这些结果求和后除以阶数m得到λ的值。

3）一致性检验
根据C.I.的公式，由λ和m可以求出C.I.，然后查表得出R.I.，二者相除得出一致性判据C.R.，当C.R.<0.1时，可以认为判断矩阵具有满意的一致性。

本例中对于总目标判断矩阵B求得一致性判据C.R.=0.046<0.1，说明总目标判断矩阵满足一致性条件。

否则，需要修改总目标判断矩阵后重新计算C.R.直至具有满意的一致性为止。

第四步；在总目标判断矩阵B满足一致性的前提下，重复第三步的方法分别求出各个方案判断矩阵的特征值λi并做一致性检验。

如果方案判断矩阵出现不一致的情况，则需要调整相应的判断矩阵直至所有的方案判断矩阵都具有满意的一致性为止。

第五步：求出各方案对总目标的优先权数，选取优先权数最大者为最佳方案。

以上纯属个人观点，如有错误之处欢迎斧正，希望对大家有所帮助。