2016初三图形的相似和比例线段(提高打印版

1．线段的比的 定义
如果选用同一长度单位量得两条线段a 、b 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a :b=m :n ，或写成a m
b
n
=． 2.比例的性质
（1）
合比性质如果
，
； （2
）分比性质如果，a b c d b d
--=；
（3
）更比性质如果
，a b c d
=.
（4）等比性质定理 如果...a c e n
b d f m
====，
则
......a a c e n b b d f m
++++=++++
★★★★★★★
上海戴氏教育
2015-2016初三数学培优
第307期
第11课：图形的相似和比例线段
2015年7月20日星期一
辅导老师： 姚老师电话：
★ ★★★★★★
图形的相似和比例线段--知识讲解（提高）
【要点梳理】
要点一、比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么
就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成a m
b n
．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．
要点二、相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
要点三、相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相
等，我们就说它们是相似多边形． P1 15.【解析】根据矩形相似的性质找出相应的解析式求解.
设原矩形的长为x，宽为y，则剩下矩形的长为y，宽为x-y
由题意，得
令则，
.又，
∴原矩形的长与宽之比为
.
P14
三、解答题
2
湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》 姚老师电话： 初三，比例“一对一”，“一对四” 2015.7.第201期
13.【解析】∵
a b c d
k b c d a c d a b d a b c ====++++++++ ∴
+1=+1=+1=+1=+1++++++++c a b c d
k b c d a c d a b d a b ∴
++++++++++++====+1++++++++c
a b c d a b c d a b c d a b c d
k b c d a c d a b d a b 则分两种情况：（1）+++=0a b c d ，即+1=0k ,=-1k
(2)++=++=++=++b c d a c d a b d a b c ,即===,a b c d 1
=3
k 则
所以当=-1k ，过点（-1,2）时，=-+1y x
当1=3k ，过点（-1,2）时，17=+33
y x .
14.【解析】∵矩形MFGN 与矩形ABCD 相似
当时，S 有最大值，为.
P13
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【典型例题】 类型一、比例线段 例题1. （1）求证：如果
，那么
.
【思路点拨】这是比例的合比性质，利用等式的性质得到证明. 【答案与解析】 ∵
，
在等式两边同加上1，
∴
， ∴
．
【总结升华】比例有合比性质如果
，
；
分比性质如果，a b c d
b d --=； 更比性质如果
，a b c d
=. （2）已知线段a 、b 、c 、d ，满足a
c b
d = ，求证：a c a
b d b
+=+. 【答案】证明：设a c b d
==k ∴=,=a bk c dk
∴+=+=(b+d)a c bk dk k ∴
+c (+)===b+d +a k b d a
k b d b
P2
类型二、相似图形
例题2.（1）如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？
【答案与解析】从我们日常生活的直观经验中可以得出结论.两个四边形对应边成比例，这两个四边形不一定相似，如下图，边长是6的正方形和边长是2的菱形，它们对应边之比都是3，但它们形状并不一样，因而也不相似.
【总结升华】多边形的相似要满足两个条件：（1）对应角相等，（2）对应边的比相等.
（2）下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）
【答案】A P3
8.【答案】【解析】提示：△A′B′C′已知两边之比为1：，在△ABC 中找出两边、，它们长度之比也为1︰，根据相
似三角形对应边的对应关系，求出相似比.
9.【答案】
【解析】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以
AD EF
EF BC
=,即
EF=
所以AE AD
BE EF
===
10.【答案】
74
;.
45
11.【答案】1:3;1:2;1:2;2:1;1:3.
12.【答案】③
P12 【答案与解析】
1.【答案】B【解析】图上距离︰实际距离=1：1 000 000.
4
湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》 姚老师电话： 初三，比例“一对一”，“一对四” 2015.7.第201期
2.【答案】B
3．【答案】C 【解析】 设△DEF 的另两边的长分别为xcm ，ycm ，
因为△ABC 与△DEF 相似，所以有下列几种情况： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得
；所以选C.
4．【答案】A
【解析】 相似比AB ︰A 1B 1=，A 1B 1︰A 2B 2=，计算出AB ︰A 2B 2. 5．【答案】A 【解析】只有两个正方形和正五边形相似. 6．【答案】B 二、填空题
7.【答案】40.【解析】提示：两地图形状相同，是相似形，所以 它 们对应边的比相等
P11
类型三、相似多边形 例题 3.（1） 已知四边
形
与四边
形
相似，
且
.
四边形的周长为26.
求四边形
的各边长.
【答案与解析】∵四边
形
与四边
形相似，
且
.
又∵四边形
的周长为26
即四边
形
的四边长为
：
.
【总结升华】多边形相似周长比等于相似比. （2）等腰梯
形
与等腰梯
形相似
，
，
求
出
的长及梯
形
各角的度数.
【答案】∵等腰梯形与等腰梯形相似
P4
例题4. 某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，
你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.
【思路点拨】四边形相似要满足角对应相等，边对应成比例.
【答案与解析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米，
将两个矩形的长与宽分别相比，得
长的比为
，
而宽的比为，
很明显，
所以做不到.
【总结升华】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时
增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似.
因为
.
P5
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点
M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与
矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S
有最大值？最大值是多少？
15. 从一个矩形中剪去一个尽可能大的正方形，如图所示，若剩下
的矩形与原矩形相似，
求原矩形的长与宽的比.
P10
12. 用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为
原来的10倍，下列结论①放大后的∠B是原来∠B的10倍；
6
湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》姚老师电话：初三，比例“一对一”，“一对四” 2015.7.第201期
②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，
则正确的有 .
三．综合题
13.如果
a b c d
k
b c d a c d a b d a b c
====
++++++++
，一次函数y kx m
=+
经过点（-1,2），
求此一次函数解析式.
P9 考点集训图形的相似和比例线段（提高）一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为( )
A．3 km B．30 km C．300 km D．3 000 km
2. 已知线段a、b、c、d满足=
ab cd把它改写成比例式，其中错误的是（）
A.::
b c d a
= B.::
a b c d
= C.::
c b a d
= D.::
a c d b
=
3. 已知△ABC的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm，△DEF的一边长
为4cm，当△DEF的另两边的长是下列哪一组时，这两个
三角形相似( )
A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm
P6
4.△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( )
A ．
B ．
C ．或
D ．
5.下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形.其中一定相似的有（）
A. 2组
B. 3组
C. 4组
D. 5组
6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的三角架，只有长30cm，50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）做为其他两边，则不同的截法有（）
A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
P7
二. 填空题
7. 小明有一张的地图，他想绘制一幅较小的地图，若新
地图宽为30cm，则新地图长为_________cm.
8. △ABC 的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分
别为1和，且△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′
的第三边长为____________
9．如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则______.
AE
BE
10.已知若
-3
=,=____;
4
x y x
y y
则若5-4=0,
x y则x:y=___.
11.如图：AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________,
AC:CD=__________,CD:DE=________.
P8
8。