2020-2021学年北京师大附属实验中学九年级(上)月考数学试卷(12月份)

2020-2021学年北京师大附属实验中学九年级（上）月考数学试
卷（12月份）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．二次函数y ＝﹣（x +1）2﹣2的顶点坐标为（ ）
A ．（﹣1，2）
B ．（1，﹣2）
C ．（﹣1，﹣2）
D ．（1，2）
2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，则sin B 的值是（ ）
A ．54
B ．53
C ．45
D ．35 3．对于函数y =
m−4x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞4 B ．m ＜4 C ．m ＞﹣4 D ．m ＜﹣4
4．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠ABC ＝35°，则∠AOC 的度数为（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．60°
D ．70°
5．如图，在平面直角坐标系中，以P （4，6）为位似中心，把△ABC 缩小得到△DEF ，若变换后，点A 、B 的对应点分别为点D 、E ，则点C 的对应点F 的坐标应为（ ）
A ．（4，2）
B ．（4，4）
C ．（4，5）
D ．（5，4）
6．如图，等边△ABC 的边长为6，内切⊙O 切BC 边于D 点，则图中阴影部分的周长为（ ）
A ．√3π3
B ．73√3π
C ．√3π3+2√3
D ．2√3
7．某小区2019年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2021年屋顶绿化面积要达到2880平方米．若设屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意所列方程是（ ）
A ．2000（1+2x ）2＝2880
B ．2000（1﹣x ）2＝2880
C ．2000（1+x ）2＝2880
D ．2000x 2＝2880
8．如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx +c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），则关于x 的不等式ax 2﹣bx ﹣c ≥0的解集为（ ）
A ．﹣2≤x ≤1
B ．x ≤﹣2，或x ≥1
C ．1≤x ≤4
D ．x ≤1，或x ≥4
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．已知α为锐角，且2sin （α﹣10°）=√3，则a 等于 ．
10．如图，小东用长为3.2米的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿和旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与旗杆相距22米，则旗杆的高为 米．
11．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 ．
12．请你任写一个顶点在x轴上（不在原点）的抛物线的解析式．
13．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为．
14．正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为．15．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．
16．如图，知A、B两点的坐标分别为（2√3，0），（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为．
三、解答题（本题共52分，第17题5分，第18题6分，第19，20，21，22题每小题5分，第23，24，25题每小题5分）
17．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
18．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y＜0．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=m
x的图象与一次函数y2＝kx+b的图
象交于点A（﹣4，﹣1）和点B（1，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）观察图象，当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）如果点C与点A关于y轴对称，求△ABC的面积．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，过点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA＝∠ABC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．
21．某文具店购进一批纪念册，每本进价为2千元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于2千元且不高于2.8千元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（千元）之间满足一次函数关系：当销售单价为2.2千元时，销售量为36本；当销售单价为2.4千元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w千元，将该纪念册销售单价定为
多少千元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少千元？
22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AC边的中点，BC＝13，AD＝12，sin B=4 5．
（1）求线段CD的长；
（2）求tan2∠ADE的值．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）．（1）当a＝1时，
①抛物线G的对称轴为x＝；
②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是；
（2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．24．已知△OAB和△ODC有公共顶点O，∠OBA＝∠OCD＝30°，∠OAB＝∠ODC＝60°，连接AD，BC，取AD的中点M并连接OM．
（1）如图1，若点D位于线段OA上，则BC
OM
=．（直接写出答案）（2）如图2，若点D位于线段OB上，
①不添加其它字母和连线，直接写出图中除△AOB∽△DOC外的另一组相似三角形；
②猜想OM与BC的位置关系，并证明你的结论；
（3）当点D运动到图3所示位置时，线段OM，BC之间的数量关系和位置关系是否发生变化？并证明你的结论．
25．在平面直角坐标系xOy中，若将点P沿x轴折叠得到点P1，再将点P1绕点R顺时针
旋转90°得到点P′，则称点P′是点关于x轴﹣点R的折旋点．
例如：点Q（0，1）关于x轴﹣点O的折旋点是点Q′（﹣1，0）．
（1）如图1，点A（0，﹣1）．
①若点B是点A关于x轴﹣点C（√3，0）的折旋点，则点B的坐标为；
②若点D（﹣4，1）是点A关于x轴﹣点E的折旋点，则点E的坐标为；
（2）如图2，⊙O的半径为2．若⊙O上存在点M，使得点M′是点M关于x轴﹣点S （4，0）的折旋点，且点M′在直线y＝x+b上，求b的取值范围；
（3）F（0，t）是y轴上的动点，⊙F的半径为2，若⊙F上存在点N，使得点N′是点
N关于x轴﹣点S（4，0）的折旋点，且点N′在直线y=√3
3x上，直接写出t的取值范围．。