高三数学一轮 知能突破系列13 平面解析几何

《三年模拟+两年高考+名师解析》 2014年高三数学一轮单元知能全
掌握系列之13.平面解析几何
一、选择题。

1 1．（2013.北京海淀二模）双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线2
4y x =的焦
点.设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（ ）
A B ．1C ．1
D ．2+
B
抛物线的焦点为(1,0)，即2(1,0)F ,所以双曲线中1c =。

双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，
（不妨设在第一象限）若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则抛物线的准线过双曲线的左焦点。

所以21222AF F F c ===,所以(1)2A x --=,即1A x =，所以244A A y x ==,解得
2A y =，即(1,2)A .又(1,2)A 在双曲线上，所以122AF AF a -=,即
2222a ===，所以1a =，即双曲线的离心率
1
c e a =
==。

选B. 2.（2013.北京朝阳区二模）若双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线与抛物线2
2
y x =+相切，则此双曲线的离心率等于
A ． 2
B ．3
C
D ．9
B
双曲线的渐近线为b y x a =±
，不妨取b y x a =，代入抛物线得22b
x x a
=+，即220b x x a -+=，要使渐近线与抛物线22y x =+相切，则2()80b
a
∆=-=，即228b a =，
又22228b c a a =-=，所以22
9c a =，所以2
9,3e e ==。

所以此双曲线的离心率是3，选B.
二、填空题
3.椭圆的焦点坐标为(，所以双曲线的顶点为(，即a =
e =
，
所以
26
3
c
e
a
==
，解得22
c=，所以225
b c a
=-=。

所以双曲线的焦点坐标为
(22,0),(22,0)
-。

双曲线的渐近线方程为
515
3
b
y x x x
a
=±=±=±。

42．（2013.北京东城高三二）过抛物线24
y x焦点的直线交抛物线于A,B两点,若10
AB=,
则AB的中点P到y轴的距离等于___.
4
抛物线24
y x
=的焦点（1，0），准线为l：1
x=-，设AB的中点为 E，过A、E、B 分别作
准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，EF交纵轴于点H，如图所示：则由EF为直角梯形的中位
线知5
22
AC BD AB
EF
+
===，所以1514
EH EF
=-=-=,即则B的中点到y轴的距离
等于4．.
3 5．（2013.浙江数学（理））如图,
2
1
,F
F是椭圆1
4
:2
2
1
=
+y
x
C与双曲线
2
C的公共焦点,B
A,
分别是
1
C,
2
C在第二、四象限的公共点.若四边形
2
1
BF
AF为矩形,则
2
C的离心率是
（）O x
y
A
B
F1
F2
A ．2
B ．3
C ．
2
3 D ．
2
6 D
设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，因为点A 为椭圆C 1：+y 2
=1上的点，
所以2a=4，b=1，c=；
所以|AF 1|+|AF 2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF 1BF 2为矩形， 所以
+
=
，即x 2+y 2=（2c ）2
=
=12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C 2的实轴长为2a ，焦距为2c ，
则2a=，|AF 2|﹣|AF 1|=y ﹣x=2，2c=2=2，
所以双曲线C 2的离心率e==
=
．故选D ．
4 6．（2013.天津数学（理））已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线
22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的3则p = （ ）
A ．1
B ．
3
2
C ．2
D ．3
C
双曲线的渐近线为b y x a =±
，抛物线的准线方程为2p x =-。

当2
p
x =-时，()22b p pb y a a =±⨯-=±，所以三角形△AOB 的面积为123222
pb p a ⨯⨯⨯=243a p =
，又双曲线的离心率为2，所以
2c
a
=，即22222,4c a c a a b ===+，即223a b =，所以3b a =，即2434343a a
p b a
=
==，所以2p =，选C.。