最大公约数与最小公倍数应用

最大公约数与最小公倍数应用（一）
一、知识要点：
1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。

例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。

2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。

例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]=
3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

3、辗转相除法
二、热点考题：
例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

（运用性质2）
练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。

例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。

这两个自然数的和是11，求这两个自然数。

”
例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。

再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。

[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

练一练：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。

例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

习题四
1．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

2．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

3．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。

4．已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。

5．已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。

6．已知两个自然数的和为900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数。

7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？
8、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？
9、已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，求B。

10、已知A和B的最大公约数是31，且A×B＝5766，求A和B。

11、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？
家庭练习
1.拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？
2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？
3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？
4、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。

5、两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。

满足条件的自然数有哪几组？
例1 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？
分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

498-450=48，450-414=36，498-414=84。

所求数是（48，36，84）=12。

例2 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大
的可以是多少？
分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。

只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。

三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111 的约数。

因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于 1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。

所以所求数是101。

练习：
1、在1000到2000之间，能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有几个？
2、三个连续偶数，它们分别是12、14、16的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少？
3、四个连续自然数，它们分别是6、7、8、9的倍数，比它们大的这样四个自然数最小各是多少？
4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。

至少经过多少时间三人又同时从出发点出发？
5、两数的乘积是9000，它们的最大公因数是15，这个两数各是多少？
6、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30
秒。

三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
7、两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。

8、有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个
一堆分还是少1个。

这堆桔子至少有多少个？
【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸每次跳4.5米，袋鼠每次跳2.75米，它们每秒都只跳一次。

比赛途中，从起点开始，每隔12.375米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米?
【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体木块？
【例6】（1）A、B 两数的乘积是216，它们的最小公倍数是36。

A、B两数的最大公因数是多少？（2）甲乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，甲数是36，乙数是多少？
【例7】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？
练习：
1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？
2.一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？
3.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。

4．有一队同学去野炊，吃饭时，他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人一个汤碗，一共用了91个碗。

参加野炊的至少有多少同学？
带余数的除法
前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b 的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。

例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。

分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。

解：∵被除数÷除数=商…余数，
即被除数=除数×商+余数，
∴251=除数×商+41，
251-41=除数×商，
∴210=除数×商。

∵210=2×3×5×7，
∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。

例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？
解：∵被除数=除数×商+余数，
即被除数=除数×40+16。

由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，
∴（除数×40+16）+除数=877，
∴除数×41=877-16，
除数=861÷41，
除数=21，
∴被除数=21×40+16=856。

答：被除数是856，除数是21。

例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
解：十月份共有31天，每周共有7天，
∵31=7×4+3，
∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。

∴这年的10月1日是星期四。

例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？
解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），
从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.
例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。

这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五
树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：
方法1：2×70+3×21+2×15=233
233-105×2=23
符合条件的最小自然数是23。

例5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：
方法2：[3，7]+2=23
23除以5恰好余3。

所以，符合条件的最小自然数是23。

方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。

例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。

分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。

解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。

想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？
28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，
又148＜210=[5，6，7]
所以，适合条件的最小的自然数是148。

例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。

解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？
2+3×2=8。

再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？
8+[3，5]×3=53。

∴符合条件的最小的自然数是53。

归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。

解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。

例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？
解：2+[5，7]×1=37（个）
∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，
∴布袋中至少有小球37个。

例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。

分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：
15除以2余1，19除以2余1，
即15和19被2除余数相同（余数都是1）。

但是19-15能被2整除.
由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。

反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。

例9可做如下解答：
∵三个整数被N除余数相同，
∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，
∴N是21和35的公约数。

∵要求N的最大值，
∴N是21和35的最大公约数。

∵21和35的最大公约数是7，
∴N最大是7。

例6甲乙两数的乘积是2700，甲乙两数的最大公因数是15。

甲乙两数各是多少？
练习
1、一张长方形纸，长72厘米，宽48厘米，把它裁成若干个相等的小正方形而没有剩余，要正方形尽可能大，可以裁多少个正方形？
2、当商取整数时，用某数去除410余5，去除242少1，去除550余10，这个数最大是多少？
3、两个数的和是836，其中一个数的末尾是0，如果把这个0抹去就与另一个数相等，这两个数各是多少？
4、两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144，求这两个数是多少。

第13讲最大公约数与最小公倍数（二）这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。

在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法
可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。

如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么（18，12）×[18，12]
=（2×3）×（2×3×3×2）
=（2×3×3）×（2×3×2）
=18×12。

也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。

当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。

从而得出一个重要结论：
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

即，
（a，b）×[a，b]=a×b。

例1两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。

例2两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。

这两个自然数的和是11，求这两个自然数。

”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。

30=1×30=2×15=3×10=5×6，
由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。

因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是
7×5=35和7×6=42。

例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。

再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。

[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a 是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。

”
当a=60时，
b=（a，b）×[a，b]÷a
=12×120÷60=24；
当a=120时，
b=（a，b）×[a，b]÷a
=12×120÷120=12。

所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。

要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。

问：每瓶最多装多少千克？
分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。

现在的问题是三种溶液的重量不是整数。

要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。

为此，先求几个分母的最小公倍数，[6，4，9]=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80，
（150，135，80）=5。

上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。

可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装
在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。

为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。

如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。

由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：
（1）先将各个分数化为假分数；
（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；
（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；
类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。

如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。

求一组分数的最小公倍数的方法：
（1）先将各个分数化为假分数；
（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；
（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；
一个陷井。

它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？
同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为
所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/2÷6 3/10=5（次）。

黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了
练习13
1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍
数的乘积的形式。

2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。

满足
条件的自然数有哪几组？
3.求下列各组分数的最大公约数：
4.求下列各组分数的最小公倍数：
部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。

问：最少要装多少瓶？
于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。