江西省宜春市高安第二中学2021年高三数学理月考试题含解析

江西省宜春市高安第二中学2021年高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．
【解答】解：当a=﹣2时，l1：2x+y﹣3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；
若直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=﹣2，或a=1，不是必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．
2. 在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值是（）
A.0
B.-1
C.-2
D.2
参考答案：
C
当O为AM的中点时取最小值，注意OB+OC的几何含义；
3. 如图，已知等于（）A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】将向量转化成，向量转化成，然后化简整理即可求出所求．【解答】解：∵
∴=（）
化简整理得=﹣+
故选C．
4. 函数的定义域为( )
A．(,1) B．(,∞)C．(1,+∞) D．( ,1)(1,+∞)
参考答案：
A
略
5. 在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
6. 一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示，则该几何体
的侧面积等于
(A) (B)6 (C) ( D)2
参考答案：
B
略
7. 已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=( )
A．（1，2）B．{1，2} C．{﹣1，﹣2} D．（0，+∞）
参考答案：
B
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：集合A表示的是对数函数的定义域，令真数大于0求出A，利用交集的定义求出A∩B．解答：解：∵A={x|y=lnx}={x|x＞0}
又∵B={﹣2，﹣1，1，2}，
∴A∩B={1，2}故选B
点评：本题考查求对数函数的定义域、考查利用交集的定义求集合的交集．
8. 函数的图象大致为（）
参考答案：
C
9. 函数的部分图象可能是
参考答案：
D
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项；因为时，，所以排除选项，选D.
10. 双曲线（）的两个焦点为，若P为其上的一点，且
，则双曲线离心率的取值范围为（）
(A)(B) (C)(D)
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且
的值为
．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R ，r，高分别为H ，h ，由=，得=，由它们的侧面积
相等，得=，由此能求出．
【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，
∵=，∴=，
∵它们的侧面积相等，∴=1，∴=，∴==（）2×=．
故答案为：．
【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．
12. 已知，则=_______.
参考答案：
；
13. 直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a= ．
参考答案：
﹣7
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】直线与圆．
【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，
则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，
即a2+8a+7=0．
解得，a=﹣1或a=﹣7．
又∵5﹣3a≠8，
∴a≠﹣1．
∴a=﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5﹣3a≠8是本题的易错点．属于基础题．
14. 已知函数，对于下列命题：
①若，则；②若，则；
③，则；④．
其中正确的命题的序号是 (写出所有正确命题的序号）． 参考答案： ①②
15. 复数，则________.
参考答案：
略 16. 曲线
在点
处的切线方程为
参考答案：
略
17. 设
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则
_________.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知无穷数列的首项，.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）
记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，. 参考答案：
（Ⅰ）证明：①当时显然成立； ②假设当
时不等式成立，即
，
那么当时，，所以，
即时不等式也成立.
综合①②可知，
对任意
成立.--------------------------------5分
（Ⅱ），即，所以数列为递增数列。

------------7分
又，易知为递减数列，
所以
也为递减数列，
所以当
时，
-------------------10分
所以当
时，
------12分
当
时，
，成立；
当
时，
综上，对任意正整数，-----------------------------------------------------------------15分
19. （本小题满分13分）
在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据已往经验，潜水员
下潜的平均速度为v （米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单
位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用
氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y （升）. （1）求y 关于v 的函数关系式；
（2）若c≤v≤15(c ＞0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.
参考答案：
（1）；（2）时，总用氧量最少.
试题分析：（1）由题意，下潜用时用氧量为，返回水面用时用氧量为，二者求和即可；（2）由（1）知，利用导数研究函数的单调性可得时总用氧量最少.
（2），
令得，
在时，，函数单调递减，
在时，，函数单调递增，
∴当时，函数在上递减，在上递增，
∴此时，时总用氧量最少，
当时，在上递增，
∴此时时，总用氧量最少.
考点：1、阅读能力、建模能力及函数的解析式；2、解决实际问题的能力及利用导数求函数的最值. 【方法点睛】本题主要考查阅读能力、建模能力及函数的解析式、解决实际问题的能力及利用导数求函数的最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 构建函数模型时一定要考虑变量的实际意义，以确定函数解析式的定义域，以便准确解答.本题的解答关键是将实际问题转化为函数问题求最值.
20. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AC为半圆D的直径，D为的中点，E为BC的中点．
(I)求证：DE∥AB;(Ⅱ)求证：AC·BC =2AD·CD.
参考答案：
21. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，面，。

(Ⅰ)求证：当时，平面面；
(Ⅱ) 当时，求二面角的大小。

参考答案：
解：以为坐标原点，射线分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．………………………(1分)
设，由已知得：
，……………(2分)
(Ⅰ)当时，，，
∴, =, ，……………(3分)·=，·=，……………………(4分)
∴。

…………………………………(5分)又，∴平面
∴平面平面。

…………………………………(6分)
(Ⅱ)∵，
∴，
∴，，
设，平面，
∴·=,·=
设则…(8分)
设，平面，·=,·=，
设则
, ……(9分)∴，
∵二面角小于，…………………………(11分)
∴二面角余弦值为，
∴二面角B-PD-C大小为。

…………………………(12分)
略
22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
，过点的直线l的参数方程为为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若成等比数列，求a的值.
参考答案：
(Ⅰ)解：由得：
∴曲线C的直角坐标方程为：(a > 0) 2分
由消去参数t得直线l的普通方程为4分
(Ⅱ)解：将直线l的参数方程代入中得：
6分
设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则有8分
∵，∴
即，解得．10分。