高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(等差数列)练习(附答案)

高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（等差数列）练习
一、单选题
1．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
11111231111
,0.5,,DD CC BB AA
k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）
A ．0.75
B ．0.8
C ．0.85
D ．0.9
2．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．（2021ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若
12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
4．（2021ꞏ北京ꞏ统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =
A ．64
B ．96
C ．128
D ．160
5．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A ．3699块
B ．3474块
C ．3402块
D ．3339块
6．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，
1
1a d
≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n N *∈，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6
B ．2b 4=b 2+b 6
C ．2
4
28a a a = D ．2428b b b =
7．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-
B ． 310n a n =-
C ．228n S n n =-
D ．2
122
n S n n =
- 8．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =
A ．12-
B ．10-
C ．10
D ．12
二、填空题
9．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．
10．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．
11．
（2020ꞏ海南ꞏ高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为________．
12．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则10
5
S S =___________. 13．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.
三、解答题
14．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差
为1
3
的等差数列． (1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：
12111
2n
a a a +++< ． 15．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221n
n S n a n
+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；
(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．
16．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．
(1)证明：11a b =；
(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．
17．（2022ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *
∈N ．
(1)若423260S a a -+=，求n S ；
(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．
18．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．
(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；
(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；
(3)求211(1)n
k
k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．
19．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知
21
2n n
S b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．
20．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若
35244,a S a a S ==．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．
21．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3
n
n na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2
n
n S T <
． 22．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①
数列{}n a 是等差数列：②
数列是等差数列；③213a a =．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
23．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨
+⎩为奇数为偶数 （1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.
24．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=
，且数列
是等差数列，证明：{}n
a 是等差数列.
25．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（II ）记2*
1
,n n n
c b b n N =+∈，
（i ）证明{}2
2n n c c -是等比数列；
（ii
）证明)*n
k n N =<∈ 26．（2020ꞏ天津ꞏ统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，
()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()
2*
21n n n S S S n ++<∈N ；
（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()2
1132,,,.n n
n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪
⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．
27．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.
28．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
29．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知数列{an }和{bn }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.
（1）证明：{an +bn }是等比数列，{an –bn }是等差数列； （2）求{an }和{bn }的通项公式.
30．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{an }的通项公式；
（2）若a 1>0，求使得Sn ≥an 的n 的取值范围．
31．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.
参考答案
1．D
【要点分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.
【过程详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且1111
1111
0.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，
所以
30.530.3
0.7254
k +-=，故30.9k =，
故选：D
2．C
【要点分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【过程详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，
若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-
，取1011a N d ⎡⎤
=-+⎢⎥⎣⎦
，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-
，且k a
k k d
->， 当1k a n k d ⎡
⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.
所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.
所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.
3．C
【要点分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值．
【过程详解】若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为
，
则
，
，
所以11n ≤. 对于，，
取数列
各项为
(1,2,10)n =⋯，1125a =,
则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=， 所以n 的最大值为11． 故选：C ．
4．C
【要点分析】设等差数列{}n a 公差为d ，求得48d =-，得到3192a =，结合党旗长与宽之比都相等和1192b =，列出方程，即可求解.
【过程详解】由题意，五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，设公差为d ， 因为1288a =，596=a ，可得5196288
48513
a a d --=
==--， 可得3288(31)(48)192a =+-⨯-=， 又由长与宽之比都相等，且1192b =，可得3
113
a a
b b =，所以3131192192=128288a b b a ⋅⨯==.
故选：C.
5．C
【要点分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，
设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .
【过程详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，
则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即
3(927)2(918)2(918)(99)
7292222
n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)
34022
n S S +⨯===.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
6．D
【要点分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【过程详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；
对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+，
∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+．
∴
()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．
根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得
()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；
对于C ，()()()()2
2
24
281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2
4
28a a a =，C 正确； 对于D ，()()22
2
224
78111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，
()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．
当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即2
4280b b b ->；
当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以2
4280b b b ->，D 不正
确． 故选：D.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
7．A
【要点分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)
1002
S -+=
=-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，2455415
0,5250522
S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．
【过程详解】由题知，41514430
245
d S a a a d ⎧
=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．
【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 8．B
【过程详解】要点分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.
过程详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得3243
3(32)224222
d d d ⨯⨯⨯+
⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.
名师点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果. 9．2
【要点分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.
【过程详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2. 10．25
【要点分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.
【过程详解】 {}n a 是等差数列，且12a =-，262a a += 设{}n a 等差数列的公差d
根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =
根据等差数列前n 项和公式：*1(1)
,2
n n n S na d n N -=+
∈ 可得：()1010(101)
1022045252
S ⨯-=-+
=-+= ∴1025S =. 故答案为：25.
【名师点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了要点分析能力和计算能力，属于基础题. 11．232n n -
【要点分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【过程详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)
16322
n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -.
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 12．4.
【要点分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【过程详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，
所以
105S S =1111109
1010024542552
a d a a a d ⨯+
==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 13．100
【要点分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.
【过程详解】317
125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11
,2a d =⎧⎨
=⎩ 101109109
101012100.22
S a d ⨯⨯∴=+
=⨯+
⨯= 【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键． 14．(1)()12
n n n a +=
(2)见解析
【要点分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23
n n n a S +=
，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()11
213
3
n n n n n n a n a a S S --++=-=-
,进而得：1
1
1
n n a n a n -+=
-，
利用累乘法求得()12
n n n a +=
，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12
n n n a +=
；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到
121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭ ，进而证得. 【过程详解】（1）∵11a =，∴111S a ==∴,1
1
1S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是公差为1
3的等差数列，
∴()121133n n S n n a +=+-=∴,()23
n n n a S +=
, ∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，
∴
()()11213
3
n n n n n n a n a a S S --++=-=
-,
整理得：()()111n n n a n a --=+, 即
111
n n a n a n -+=-, ∴3
1211221
n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯
⨯⨯⋯⨯⨯ ()1341112212
n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--， 显然对于1n =也成立，
∴
{}n a 的通项公式()12
n n n a +=；
（2）()121
12,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
∴
12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
15．(1)证明见解析； (2)78-．
【要点分析】（1）依题意可得2
22n n S n na n +=+，根据11,1
,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩
，作差即可得到
11n n a a --=，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【过程详解】（1）因为
221n
n S n a n
+=+，即222n n S n na n +=+①， 当2n ≥时，()()()2
1121211n n S n n a n --+-=-+-②，
①
-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，
即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，
即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，
又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2
749a a a =⋅，
即()()()2
111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，
所以13n a n =-，所以()2
21125125625
12222228
n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--
⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，
又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2
749a a a =⋅，
即()()()2
111638a a a +=+⋅+，解得112a =-， 所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= . 则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
16．(1)证明见解析； (2)9．
【要点分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．
【过程详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111
111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，
112
d
b a ==
，所以原命题得证． （2）由（1）知，112
d b a ==，所以()1
111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]2
2
1,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k = ，故集合
{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．
17．(1)235(N )2n n n
S n *-=∈
(2)12d <≤
【要点分析】（1）利用等差数列通项公式及前n 项和公式化简条件，求出d ，再求n S ；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d 的范围. 【过程详解】（1）因为42312601S a a a -+==-，， 所以()()46211260d d d -+--+-++=， 所以230d d -=，又1d >， 所以3d =， 所以34n a n =-， 所以()21352
2
n n
a a n n n S +-==
， （2）因为n n a c +，14n n a c ++，215n n a c ++成等比数列， 所以()()()2
12415n n n n n n a c a c a c +++=++，
()
()()2
141115n n n nd c nd d c nd d c -+=-+-+-+++，
22(1488)0n n c d nd c d +-++=，
由已知方程22
(1488)0n n c d nd c d +-++=的判别式大于等于0，
所以()2
2148840d nd d ∆=-+-≥，
所以()()168812880d nd d nd -+-+≥对于任意的n *∈N 恒成立，
所以()()212320n d n d ----≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对于任意的n *
∈N 恒成立，
当1n =时，()()()()21232120n d n d d d ----=++≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 当2n =时，由()()2214320d d d d ----≥，可得2≤d 当3n ≥时，()()21232(3)(25)0n d n d n n ---->--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又1d > 所以12d <≤
18．(1)121,2n n n a n b -=-= (2)证明见解析
(3)1(62)489n n +-+
【要点分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n 项和的关系结合要点分析法即可得证；
（3）先求得212221212122(1)(1)k k k k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦，进而由并项求和可得
11
4n
k n k T k +==⋅∑，再结合错位相减法可得解.
【过程详解】（1）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，则11(1),n n n a n d b q -=+-=，
由22331a b a b -=-=可得2
11
2121
d q d q d q +-=⎧⇒==⎨+-=⎩（0d q ==舍去）， 所以1
21,2n n n a n b -=-=；
（2）证明：因为120,n n b b +=≠所以要证1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=-， 即证111()2n n n n n n n S a b S b S b ++++=⋅-，即证1112n n n n S a S S ++++=-， 即证11n n n a S S ++=-，
而11n n n a S S ++=-显然成立，所以1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=⋅-⋅；
（3）因为212221212122(1)(1)k k
k k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦
2221(4143)2[41(41)]224k k k k k k k k --=-+-⨯++--⨯=⋅，
所以211
(1)n k k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑2122212121221
[((1))((1))]n
k k
k k k k k k k a a b a a b ---+==--+--∑
1
24n
k k k ==⋅∑，
设124n
k n k T k ==⋅∑
所以2324446424n
n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，
则2341
244446424n n n T +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=，
作差得()2
3
4
1
124(14)324444424
2414
n n
n n n T n n ++⨯--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⨯-
()126483
n n +--=
， 所以1(62)48
9
n n n T +-+=，
所以211
(1)n
k
k k k k a a b +=⎡⎤--=⎣⎦
∑1
(62)489n n +-+. 19．（1）证明见解析；（2）()
3,121
,21n n a n n n ⎧
=⎪⎪
=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【要点分析】（1）由已知212n n S b +=得221n n
n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得13
2b =,由题意得12
12222212121
n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系
111221n n n n b b b b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;
（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得
()3,121
,21n n a n n n ⎧
=⎪⎪
=⎨⎪-≥+⎪⎩
. 【过程详解】（1）[方法一]： 由已知
212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12
n b ≠,
取1n =,由11S b =得132
b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积， 所以
12
12222212121
n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以
112
1121222212121
n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---， 所以
111221n n n n
b b
b b +++=-,
由于10n b +≠ 所以
12121
n n b b +=
-，即11
2
n n b b +-=,其中*n ∈N 所以数列{}n b 是以13
2
b =为首项，以1
2
d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】：
由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅ n n n b S S S S S ①
于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥ n n b S S S S n ． ② 由①②得1
n
n n b S b -=． ③
又
21
2n n
S b +=， ④ 由③④得112
n n b b --=
． 令1n =，由11S b =，得132
b =． 所以数列{}n b 是以32
为首项，1
2为公差的等差数列． [方法三]：
由212n n S b
+=，得22=-n
n n S b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠． 又因为111--=⋅⋅=⋅ n n n n n b S S S S b ，所以11
22
-=
=-n n n n b b S S ，所以
()1111
(2)2222212
---=
-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．
在
212n n S b +=中，当1n =时，1132
==b S ． 故数列{}n b 是以
32
为首项，1
2为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法
由已知212n n
S b
+=，得221n n n b S b =-，13
2b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，1
2
为公差的等差数列，且1
12
n b n =
+． 下面用数学归纳法证明． 当1n =时显然成立．
假设当n k =时成立，即121,21
+=+=+k k k b k S k ． 那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 331
(1)1222k k k k ++⋅
==+++． 综上，猜想对任意的n ∈N 都成立． 即数列{}n b 是以32
为首项，1
2为公差的等差数列． （2）
由（1）可得，数列{}n b 是以13
2
b =为首项，以1
2
d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=
+-⨯=+, 22211n n n b n S b n
+==-+,
当n =1时，1132
a S ==
, 当n ≥2时,()
1211
11n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121
,21n n a n n n ⎧
=⎪⎪
=⎨⎪-≥+⎪⎩
. 【整体点评】（1）方法一从
21
2n n
S b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的
递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从n b 的定义，替换相除得到1n n n b S b -=，再结合212n n S b +=得到112
n n b b --=，从而证
得结论，为最优解；
方法三由
212n n S b +=，得22
=-n n n S b S ，由n b 的定义得11
22-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列1
12
n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到1
12
n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；
20．(1)26n a n =-；(2)7.
【要点分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.
【过程详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，
设等差数列的公差为d ，从而有：()()2
2433a a a d a d d =-+=-，
()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，
从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.
(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252
n n n S n n n -=⨯-+
⨯=-，
则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.
【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
21．（1）11
()3
n n a -=，3n n
n b =
；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.
【过程详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，
所以21369a a a =+，所以2
11169a q a a q =+，
即29610q q -+=，解得13q =，所以1
1()3n n a -=，
所以33
n n n na n
b =
=. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
211213333n n n n n
T --=++++ ，
012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ n n S ， 230121123
111112333323333n n n
n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 012
111
012222333
---
++++ 1
1
1233---+n n n n ．
设0121
1111
01212222Γ3333--
----
=++++ n n n ， ⑧
则1231111
012112222Γ33333
-
----=++++ n n n
． ⑨
由⑧-⑨得1121113
3
1211111
3322Γ13233332
313
--⎛⎫--
- ⎪⎛⎫⎝⎭
=-++++-=-+
- ⎪⎝⎭- n n n n n n n ． 所以2
11
3
12Γ432323----
=-
-
=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n n
S n n n T ． 故2
n
n S T <
． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得1
1(1)
313(1)12313
n n n S ⨯-
=
=--， 211213333n n n n n
T --=++++ ，①
231112133333
n n n n n
T +-=++++ ，②
①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1113
3(11323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n
n T =--⋅， 所以2n n S T -=3
131(1(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2
n
n S T <
. [方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知13⎛⎫
= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n
n c n ，且1+=-n n n b c c ，即
1
111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
n
n
n n n n ，
通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以3
312
43n
n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
则12113314423n
n n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫
=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，下同方法二．
[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=
- n n x x f x x x x x x
，
由于()()()()()()122
1'111'11(1)'1(1)1n n n n n
x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12
1
2
1(1)()123(1)+-+-+=++++='- n n
n nx n x f x x x nx
x ．
又1
111333-⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭n n n b n n ，
所以2
1
12311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
1
2111(1)11133333113n n
n n f +⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪
⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫
- ⎪⎝⎭
'
1
3113311(1)4334423n n
n
n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣
⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
n
n c n ，使1+=-n n n b c c ，求得
n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 22．证明过程见解析
【要点分析】选①②作条件证明③,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②
选②③作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【过程详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式
(0)an b a =+>，则()2
n S an b =+， 当1n =时，()2
11a S a b ==+；
当2n ≥时，()()2
2
1n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；
因为{}n a 也是等差数列，所以()()2
22a b a a a b +=-+，解得0b =；
所以()221n a a n =-，2
1a a =，故22133a a a ==.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列{}n a 的公差为d
，等差数列的公差为1d ，
1(1)n d =-，将1(1)
2
n n n S na d -=+
1(1)n d -，
化简得(
))
2
2222
11111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+
⎪⎝
⎭对于n +∀∈N 恒成立．
则有212
11112,240,
d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨-=
，解得112d d a ==．所以213a a =．
选①③作条件证明②：
因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()
21112
n n n S na d n a -=+
=
=，
)1n +=
所以是等差数列. 选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
(0)an b a =+>，则()2
n S an b =+， 当1n =时，()2
11a S a b ==+；
当2n ≥时，()()2
2
1n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；
因为213a a =，所以()()2
323a a b a b +=+，解得0b =或43
a b =-
； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2
-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}
n a 为等差数列； 当43
a b =-
4
=3an b an a =+-
03a =-<不合题意，舍去.
综上可知{}n a 为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为213a a =
=
=
也为等差数列，所以公差
1d ==
(
)11n d =-=，故21n S n a =，当2n ≥时，()()2
21111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为
()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n
的一次函数，直接设出
(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1
,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，
进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写
出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S
进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n
的一次函数，直接设出
(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数
1d ==
的通项公式，利用11,1
,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.
23．（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300.
【要点分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和. 【过程详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+， 所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===，
所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是122,5,31n b b b n ===-．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=． 由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知， 数列从第一项起，
若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以*
23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．
[方法三]：累加法
由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22n
n n a a a n +-==++∈N ．
所以1
1213(1)11222
b a a -==++=+=，
32
2433223(1)3(1)11212352222
b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，
则222121222111
()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++ 12(1)131n n n =+-+=-⨯．
所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-． （2）[方法一]：奇偶分类讨论
20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++
1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++
110()10
2103002
b b +⨯=⨯
-=． [方法二]：分组求和
由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+， 所以2122123n n n a a a +-=+=+．
所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列{}n a 的前20项和为：
201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++ 109109
1013102330022
⨯⨯=⨯+
⨯+⨯+⨯=． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
24．证明见解析.
的公差d ，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证.
【过程详解】∵数列是等差数列，设公差为d ===
∴(n =+-=，()n *∈N ∴12n S a n =，()n *∈N
∴
当2n ≥时，()2
21111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=-
当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-，
∴
{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N
∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦ ∴
{}n a 是等差数列.
【名师点睛】在利用1n n n a S S -=-求通项公式时一定要讨论1n =的特殊情况.
25．（I ）21,n a n n N *
=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.
【要点分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算
可得{}n b 的通项公式；
（II ）（i ）运算可得2224n n n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；
（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅
，进而可得112n n k k k
-==<，结合错位相减法即可得证. 【过程详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以128187
82642
a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+
⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *
=+-=-∈；
设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，
所以()22
1321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），
所以114,n n n b q n N b -*==∈；
（II ）（i ）由题意，221
441n n n
n n b c b =++=，
所以2
222
4211442444n n n n n n
n c c ⎛
⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭-，
所以2
20n
n c c ≠-，且2122
2
2124424n n n n n
n c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}2
2n n c c -是等比数列；
（ii ）由题意知，()()22
122222121414242222n n
n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，
12
n n -==，
所以112
n
n k k k k -==<， 设1
012111232
2222n
n k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑， 则1231
1232
2222n n
n T =
+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122
1212222222
12
n
n n n n
n n n n T -⎛
⎫
⋅- ⎪+⎝
⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1
2
42n n n T -+=-，
所以1
112422n
n k n k k n --==+⎫
=-<⎪⎭【名师点睛】关键点名师点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为n
k =错位相减法即可得证.
26．（Ⅰ）n a n =，1
2
n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）4654
21949
n n n n +--+⨯.
【要点分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211
n k k c -=∑和21
n
k k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.
【过程详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，
又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，
从而{}n b 的通项公式为1
2n n b -=.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)
2
n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4
n n S S n n n n +=
+++，()()22
211124n S n n +=++，
从而2
211(1)(2)02
n n n S S S n n ++-=-++<，
所以2
21n n n S S S ++<.
(Ⅲ)当n 为奇数时，()1112
32(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n
-+-+--=
==-++，
当n 为偶数时，11
1
2n n n n a n c b -+-=
=， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k n
n
n
k k k c k k n --==⎛⎫=-=
- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111
211352321
444444n
n
k k
n n k k k n n c -==---==+++++∑∑
①
由①得22314111352321
444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②
由①②得2211
121
131222112144
1444444414
n n
k n n n k n n c ++=⎛⎫
- ⎪--⎝
⎭=+++-=---∑ ， 由于
11
21
1121221121156544144334444123414
n
n n n n n n n ++⎛⎫
-
⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994n
k n
k n c =+=
-⨯∑. 因此，22121114654
21949n n
n
n
k k k n
k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为4654
21949
n n n n +--+⨯.
【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
27．140里.
【要点分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.
【过程详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ， 则91260S =，147390a a a ++=. 因为1(1)
2
n n n S na d -=+
，1(1)n a a n d =+-， 所以11119(91)91260236390
a d a a d a d ⨯-⎧
+
=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，
则514100410140a a d =+=+⨯=， 所以该男子第5天走140里.
28．（1）29n a n =-；（2）2
=8n S n n -，最小值为–16．
【要点分析】（1）方法一：根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n 项和公式得n S ，根据二次函数的性质即可求出. 【过程详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列{}n a 的公差为d ，由315S =-得，()32
37152
d ⨯⨯-+
=-，解得：=2d ，所以29n a n =-．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列{}n a 通项公式为=+n a kn b ，易得+=7k b -，由315S =-，即2315a =-，即25k b +=-，解得：=2,=9k b -，所以29n a n =-． （2）[方法1]：邻项变号法 由1(1)=+
2
n n n d S na -可得2
=8n S n n -．当0n a <，即29<0n -，解得14n ≤≤，所以n S 的最小值为41=4+6=16S a d -， 所以n S 的最小值为16-． [方法2]：函数法 由题意知2122n d d S n a n ⎛⎫=
+- ⎪⎝
⎭，即2=8n S n n -()2
416n =--， 所以n S 的最小值为2
4=44?8=16S --，所以n S 的最小值为16-．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n 项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n 项和的性质，用待定系数法解方程组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n 项和公式求n S ，再利用邻项变号法求最值； 方法二：利用等差数列前n 项和公式求n S ，再根据二次函数性质求最值．
29．（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n n b n =-+．
【要点分析】(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列
{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果．。