2022-2023学年新疆乌鲁木齐十三中中考数学二模试卷+答案解析

2022-2023学年新疆乌鲁木齐十三中中考数学二模试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.的相反数是()
A.2021
B.
C.
D.
2.下列各式运算中正确的是()
A. B. C. D.
3.今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为()
A. B. C. D.
4.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩个数成绩如图所示，下列判断正确的是()
A.甲的最好成绩比乙高
B.甲的成绩比乙稳定
C.甲的成绩的中位数比乙大
D.甲的成绩的平均数比乙大
5.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到该三角形内心的是()
A. B. C. D.
6.如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是()
A. B. C. D.
7.函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()
A. B.
C. D.
8.如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着
的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为()
A. B.4 C. D.
9.二次函数是常数，的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x…012…
…t m n…
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关
于x的方程的两个根；③，其中，正确结论的是()
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.函数的自变量x的取值范围是______.
11.若一元二次方程的两根为，，则______.
12.如图，已知半圆的直径，点C在半圆上，以点A为圆心，AC为半径
画弧交AB于点D，连接若，则图中阴影部分的面积为______
结果不取近似值
13.匈牙利著名数学家爱尔特希曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，则的度数是__________.
14.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，
FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为______.
15.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动不与点A，B重合，
，点F在射线AM上，且与AD相交于点G，连接
EC、EF、则下列结论：①，②的周长为，
③；④当时，G是线段AD的中点，其中正确的结论是
______.
三、计算题：本大题共2小题，共13分。

16.计算：
17.先化简，再求值：，其中x满足
四、解答题：本题共6小题，共62分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.本小题10分
小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A 型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．
超市B型画笔单价多少元？
小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．在的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？
19.本小题10分
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且，连接
AE，
求证：≌；
连接
AF，当BD平分时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
20.本小题10分
在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间单位：小时把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，，10，7，10，7，，7，7，，；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
21.本小题10分
为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为、B、D、E在同一直线上然后，小明沿坡度：
的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
求点F到直线CE的距离结果保留根号；
若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度结果精确到米，，
22.本小题10分
如图，在中，以AC为直径的交CE于点D，连接AD，且，连接OD并延长
交AE的延长线于点P，PB与相切于点
求证：AP是的切线；
连接AB交OP于点F，求证：∽；
若，求的值．
23.本小题12分
如图，抛物线过点和点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，
求抛物线的解析式；
如图①，当时，求点D的坐标；
如图②，在的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点
点F不与点O和点B重合，连接EF，将沿EF折叠，点B的对应点为点，与
的重叠部分为，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
【解答】
解：的相反数是
故选
2.【答案】D
【解析】解：A、与不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意；
故选：
根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方运算法则进行计算，然后作出判断．
本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，理解运算法则是解题基础．
3.【答案】A
【解析】解：万，
故选：
科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，属于基础知识的考查，比较简单．
4.【答案】B
【解析】解：甲同学的成绩依次为：8、9、8、7、8，从小到大依次排列为：7、8、8、8、9，
则其中位数为8，平均数为8，方差为；
乙同学的成绩依次为：6、7、10、8、9，从小到大依次排列为：6、7、8、9、10，
则其中位数为8，平均数为8，方差为，甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，
故选：
分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．
本题考查了折线统计图，方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数．
5.【答案】D
【解析】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，
选项D中作了两个角的平分线．
，
选项D是等腰三角形，
根据等腰三角形的性质可知：顶角的平分线也是底边的高线和中线．
故选：
根据等腰三角形的性质可得顶角的平分线也是底边的高线和中线，然后利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质．解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心，等腰三角形的性质．
6.【答案】A
【解析】解：连接OB，如图，
点B是的中点，
，
故选：
连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】C
【解析】解：在函数和中，
当时，函数的图象经过第一、三象限，函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项C正确，
当时，函数的图象经过第二、四象限，函数的图象经过第一、二、三象限，故选项D错误，
故选：
根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
8.【答案】A
【解析】解：如图，连接
四边形ABCD是正方形，
，，
由题意，设，则，
，
，
解得或不合题意舍弃，
，
，
故选：
连接
AE，由题意，设，则，，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查动点问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．
9.【答案】B
【解析】解：①根据图表可知：
二次函数的图象过点，，
对称轴为直线，，
，，
函数图象的顶点在第四象限内；
①正确；
②根据二次函数的对称性可知：
关于对称轴的对称点为，
即和3是关于x的方程的两个根，
②正确；
③对称轴为直线，，，
当时，与其对应的函数值，
，即，
对称轴为直线，二次函数的图象过点，
，当时，，
，
，
③错误．
故选：
①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可判断；
②根据二次函数的对称性即可判断；
③根据抛物线的对称轴确定a与b的关系式，再根据已知条件求出a的取值范围即可判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，且，
解得，且
故答案为：
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11.【答案】5
【解析】解：一元二次方程的两根为，，
，，
故答案为：
先对所求式子根据完全平方公式进行变形，再利用根与系数的关系求解．
此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，能够对所求式子利用完全平方公式进行变形是解决此题关键．
12.【答案】
【解析】解：是直径，
，
，
，
，，
，
，
扇形ACD的面积，
阴影部分的面积为
故答案为：
根据特殊角求出AC和BC，再算出的面积，根据扇形面积公式求出扇形CAD的面积，再用三角形的面积减去扇形面积即可．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，圆和扇形面积的结合，关键在于利用圆周角的性质找到直角三角形并结合扇形面积公式解出．
13.【答案】
【解析】解：这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，
，
，
，
，
，
故答案为：
本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求出
是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
四边形ABCD是正方形，
，，，
，
F分别是边AB，BC的中点，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
点G，H分别是EC，FD的中点，
连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
15.【答案】①④
【解析】解：如图1中，在BC上截取，连接
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得，则≌，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，故③错误，
的周长
，故②错误，
当时，设，则，
在中，则有，
解得，
，故④正确，
故答案为：①④．
①正确．如图1中，在BC上截取，连接证明≌即可解决问题．
②③错误．如图2中，延长AD到H，使得，则≌，再证明
≌即可解决问题．
④正确．当时，设，则，利用勾股定理构建方程可得即可解决问题．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
16.【答案】解：原式
【解析】分别运算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的化简，然后合并即可得出答案．
此题考查了实数的运算，解答本题要求我们熟练零指数幂的运算、负整数指数幂的运算及根式的化简，难度一般．
17.【答案】解：原式
，
，
，
则原式
【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由得，把
整体代入计算可得．
18.【答案】解：设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为元．
根据题意得，，
解得
经检验，是原方程的解．
答：超市B型画笔单价为5元；
由题意知，
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为，
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为
所以，y关于x的函数关系式为其中x是正整数；
当时，
解得，
，
不合题意，舍去；
当时，解得，符合题意．
答：若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买65支B型画笔．
【解析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用等知识，解题的关键是：理解题意找到等量关系列出方程；理解超市给出的优惠方案，进行分类讨论，得出函数关系式；根据函数关系式中自变量的取值范围对答案进行取舍．
设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为元．根据等量关系：第一次花60元买A型画笔的支数=第二次花100元买B型画笔的支数列出方程，求解即可；
根据超市给出的优惠方案，分与两种情况进行讨论，利用费用
=单价数量分别列出y关于x的函数关系式；
将分别代入中所求的函数解析式，根据x的范围确定答案．
19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
四边形AFCE是菱形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
≌，
，，
，
四边形AFCE是平行四边形，
，
▱AFCE是菱形．
【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，得，，可证，然后通过SAS证≌即可；
由
BD平分，得，又因为，则，有，可证出，然后证出四边形
AFCE为平行四边形即可解决问题．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，证出是解题的关键．
20.【答案】解：由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：人，
人，
补全图形如下：
人，
答：全校B档的人数为
用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，
因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，
所以
【解析】用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；
先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；
分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．
本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
21.【答案】解：过点F作于G，
依题意知，，；
四边形DFGE是矩形；
；
在中，
；
米；
点F到地面的距离为米；
斜坡CF的坡比：
中，米，
米．
在中，
米．
米
答：宣传牌的高度约为米．
【解析】过点F作于G，依题意知，，；得到四边形DEFG 是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论；
解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：为直径，
，
，
，
，
即，
是的切线；
连接DB，如图1，
和
PB都是切线，
，，，
，
≌，
，
，
，
又，
，
是直径，
，
，
，
∽；
，，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
不妨设
，则
，
，
，，
【解析】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆周角定理，切线的性质与判定，切线长定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，第小题关键在证明相似三角形．难度较大，一般为中
考压轴题．
由AC 为直径得，再由直角三角形两锐角互余和已知条件得
，进
而结出结论；
由切线长定理得
，
，进而证明
≌
，得
，得
，进而便可得
，结合AC 是直径进行等量代换可证得
∽；
证明
∽
，得
，再∽
，求得的值使得
的值．
23.【答案】解：把点
和
代入
中，
得到
，
解得，
抛物线的解析式为
如图①中，设抛物线的对称轴交
x轴于M，与OD交于点
，
顶点，，
，
，
，
，
，
，
，
直线ON的解析式为，
由，解得或，
如图②中，当时，点H在第一象限，此时G，，O重合，，，
可得
如图②中，当时，点H在对称轴右侧，可得
如图②中当时，点H在对称轴左侧，点在对称轴上，可得
综上所述，满足条件的点H的坐标为或或
【解析】利用待定系数法解决问题即可．
如图①中，设抛物线的对称轴交
x轴于M，与OD交于点解直角三角形求出等N的坐标，求出直线ON的解析式，构建方程组确定等D坐标即可．
分三种情形：如图②中，当时，点H在第一象限，此时G，，O重合．如图②中，
当时，点H在对称轴右侧．如图②中当时，点H在对称轴左侧，点在对称轴上，分别求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。