高一数学第一学期期末考试试卷含答案

高一下学期期末考试试卷
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

L ．已知集合{}{
}1,31x A x x B x =<=<，则（） A. {}0A
B x x =< B. A B R = C. {}1A B x x => D. A B φ=
2．下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A . 2(),()f x x g x x =
= B. 33(),()f x x g x x ==
C. 2
()4,()22f x x g x x x =-=-⋅+ D. 2
(),()x f x x g x x
==
3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递増的函数为（ ） A. 1y x
=
B. ln y x =
C. 3y x =
D. 2y x = 4．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A ．（1）是棱台
B ．（2）是圆台 C. （3）是棱锥 D ．（4）不是棱柱 5．函数(2)
log 1x a
y +=+的图象过定点（ ）
A, (1,2) B.(1,1)- C. (2,1)- D.(2,1)
6．经过点（－1，0），且与直线x ＋2y —3＝0垂直的直线方程是（） A.2x-y+2=0 B.2x+y+2=0 C.2x-y-2=0 D.x-2y+1=0 7．在四面体P-ABC 的四个面中，是直角三角形的面至多有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
8．直线310x y -+=的倾斜角为（ ） A.
23π B. 56π C. 3π D. 6
π 9．函数2
()ln(1)f x x =+的图象大致是（ ）
10、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当(0,1]x ∈时，()21x
f x =-，则方程
2
7()log x f x -=解的个数是（ ）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7 11．若实数,x y 满足223x y +=，则2
y
x -的取值范围是 A. (
3,3 B. ((
),3
3,-∞+∞
C. 3,3⎡-⎣
D. (),33,⎡-∞+∞⎣
12．设函数()y f x =有5个零点12345,,,,x x x x x ，且对一切实数x 均满足(4)()0f x f x ++-=，则
12345x x x x x ++++=
A. 8
B. 10
C. 16
D. 20
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上． 13．给出下列平面图形：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形.则过正方体中心的截面图形可以 是 （填序号）
14．已知m R ∈，则直线1:(1)(3)40l m x m y +---=与直线2:(1)(3)l m x m y +--
0=的距离的最大值为
15．已知函数2ln (0)
()2(0)
x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩ ，则函数()()g x f x x a =+-恰好存在一个零点时，实数a 的
取值范围为 ____________．
16．圆锥AO 底面圆半径为1，母线AB 长为6，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆锥一周转到B 点，则这
条绳子最短时长度为
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分） 已知函数1()ln
1x
f x x
+=- （1） 求函数()f x 的定义域； （2） 判断函数()f x 的奇偶性
18．（本小题满分12分）
已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，,2,22AB BC AB BC PC ⊥=== （1） 求直线PA 与平面PBC 所成的角的大小； （2） 求二面角B AP C --的正弦值.
19.（本小题满分12分）
已知点P 是圆2
2
:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点 （1）求点M 的轨迹方程；
（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值.
20.（本小题满分12分）
定义在R 上的奇函数()f x 对任意实数,x y ，都有()()
(
)22
x y f x f y f ++=
. （1） 求证：函数()f x 对任意实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+ ； （2） 若0x >时()0f x <，且(1)2f =-，求()f x 在[]
3,3-上的最值
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，
E 为PC 中点
（1） 求证：//AP 平面EBD ；
（2） 若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.
(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？
22. （本小题满分12分）
已知函数()22
x
x
f x -=+的定义域为[
)0,+∞ (1) 试判断()f x 的单调性；
(2) 若()(2)2()g x f x f x =-，求()g x 在 [
)0,+∞的值域；
(3) 是否存在实数t ，使得2()g()t f x x ->有解，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.
下学期高一期末考试
数学参考答案
一、选择题：
1--5 ABCCB 6--10 AADAD 11-12 CB 二、填空题：
13．②④ 14．2 15．1,4⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
16．33 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分） 已知函数1()ln
1x f x x
+=- （3） 求函数()f x 的定义域； （4） 判断函数()f x 的奇偶性 解：（1）由
101x
x
+>-得11x -<<，∴ 函数()f x 的定义域为(1,1)- ………………………………5分 （2）(1,1)x ∈-时 11()()ln
ln ln1011x x
f x f x x x
-+-+=+==+- ()()f x f x ∴-=-
∴ 函数()f x 为奇函数 ………………………………10分
18．（本小题满分12分）
已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，
,2,22AB BC AB BC PC ⊥===
（3） 求直线PA 与平面PBC 所成的角的大小； （4） 求二面角B AP C --的正弦值. 解：（1）
PC ⊥平面ABC ，PC AB ∴⊥
又AB BC ⊥，PC BC C =
AB ∴⊥平面PBC
PA ∴在平面PBC 内的射影为PB 则APB ∠为直线PA 与平面PBC 所成的角
………………………………3分 由PC ⊥平面ABC 得PC ⊥BC
2,BC PC PB ==∴=在RT ABP ∆中，
,tan 3
AB APB PB ∠=
==0
30APB ∴∠= 所以直线PA 与平面PBC 所成的角为030………………………………6分 （2）取AC 中点D ，连接BD ，
,AB BC BD AC =∴⊥，PC ⊥平面ABC ，PC BD ∴⊥，
PC
AC C =，BD ∴⊥平面PAC ，则BD AP ⊥，
过D 作DE AP ⊥于E ，连接BE ，则AP ⊥平面BDE ，，BE AP ∴⊥ 则BED ∠为二面角B AP C --的平面角………………………………9分
2,BD AB BC ==∴=
在RT BED ∆
中，BE =
，,sin 3BD BED BE ∠=
== 所以二面角B AP C --
………………………………12分
19.（本小题满分12分）
已知点P 是圆2
2
:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点
（1）求点M 的轨迹方程；
（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值. 解：（1）设(,)M x y 为所求轨迹上任意的一点，其对应的P 点为11(,)x y ，
则22
11(3)4x y -+= ①
又M 是AP 的中点，11
322
x x y y -⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，则11232x x y y =+⎧⎨=⎩，代入①式得
2
2
1x y += ………………………………6分
（或用定义法亦可）
（2）联立方程221
20
x y x y n ⎧+=⎨-+=⎩消去y 得25410x nx n ++-=
由0∆>
得n <<
② ………………………………8分
又设1122(,),(,)E x y F x y ，则122
1245
15n x x n x x ⎧
+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
③ 由OE OF ⊥可得12120x x y y +=，而2y x n =+
1212(2)(2)0x x x n x n ∴+++=，展开得2
121252()n 0x x n x x +++=
由③式可得221452()n 055
n n
n -⨯+⨯-+=，化简得252n = ④
根据②④得n =………………………………12分
20.（本小题满分12分）
定义在R 上的奇函数()f x 对任意实数,x y ，都有()()
(
)22
x y f x f y f ++=
. （3） 求证：函数()f x 对任意实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+ ； （4） 若0x >时()0f x <，且(1)2f =-，求()f x 在[]
3,3-上的最值 （1）证明：
()()()0()(0)
(
)2222x y f x f y x y f x y f f f ++++++⎡⎤=∴=⎢⎥⎣⎦
()f(0)()()
22
f x y f x f y +++∴
=
而(0)0f = ，()()()f x y f x f y ∴+=+………………………………5分 （2）解：设12x x <，则
121121112121()()()()()()()()
f x f x f x f x x x f x f x f x x f x x -=-+-⎡⎤⎣⎦=---=-- 2121120()0()()
x x f x x f x f x ->∴-<∴>
则()f x 为R 上的减函数………………………………9分
(1)2(2)(1)(1)4f f f f =-∴=+=-，(3)(2)(1)6f f f =+=-
(3)(3)6f f -=-=
min max 3,()6,3,()6x f x x f x ∴==-=-= ………………………………12分
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，
E 为PC 中点
（3） 求证：//AP 平面EBD ；
（4） 若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.
(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？
（1）证明：连接AC 交BD 于O ，则O 为AC 中点，连接OE
E 为PC 中点，//,OE PA OE ∴⊂面EBD
∴//AP 平面EBD
………………………………4分
（2）解(Ⅰ)当点M 在线段PA 中点时，有DM ⊥平面PAB 取PA 中点M ，连接DM
CD PD ⊥ ，又//AB CD
AB PD ∴⊥ ，又AB PA ⊥ PA
PD P =，AB ∴⊥平面PAD
AB DM ∴⊥，又PAD ∆是正三角形，
,,DM PA PA
AB A ∴⊥=∴DM ⊥平面PAB ………………………8分
(Ⅱ) 当1
4
PN PB =
时，有平面DMN ⊥平面PBC 过M 作MN PB ⊥于N ，由(Ⅰ)知,DM PB MN DM M ⊥=，
PB ∴⊥平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面PBC 易得1
4
PN PB = ………………………………12分
22. （本小题满分12分）
已知函数()22
x
x
f x -=+的定义域为[
)0,+∞ (4) 试判断()f x 的单调性；
(5) 若()(2)2()g x f x f x =-，求()g x 在 [
)0,+∞的值域；
(6) 是否存在实数t ，使得2()g()t f x x ->有解，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由. 解：（1）设120x x ≤<
11221212
121()()(22)(22)(22)(1)2x x x x x x x x f x f x --+-=+-+=--
1212
1210220,102
x x x x x x +≤<∴-<-
>
12()()f x f x ∴< ，()f x ∴在[
)0,+∞单调递增………………………………4分 （2）()(2)2()g x f x f x =-
222
222(22)(22)2(22)2
x x x x x
x x
x
----=+-+=+-+-
令[)22
,2,x
x t t -+=∈+∞
2222(1)3y t t t =--=-- ，[
)2,y ∴∈-+∞ ()g x 的值域为[
)2,-+∞ ………………………………8分 （3）由2()g()t f x x ->得2222x x t ->+
而当[
)0,x ∈+∞时，22222
(22)22x x
x x --+=+-≥ 所以t 的取值范围为()2,+∞ ………………………………12分。