3.1.2瞬时变化率.ppt

第二章《变化率与导数》
1
回顾小结:
1 平均变化率的定义:
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2] 区间上的平均变化率为:
f (x2 ) f (x1) x2 x1
y B(x2,f(x2))
A(x1,f(x1)) x2-x1
0
=△x
f(x2)-f(x1) =△y
x
f (x2 ) f (x1) y
49.049
5
5.001
0.001
0.049
49.0049
5
5.0001
0.0001
0.0049 49.00049
5
…
…
…
…5
s
t0/s
t1/s
时间的改变 路程的改变
t
量
量
平均速度
（Δt）/s （Δs ）/m （m/s）
5
5.1
0.1
4.95
49.5
5
5.01
0.01
0.49
49.049
0.070ห้องสมุดไป่ตู้
0.70
2
2.01
0.01
0.0071
0.71
2
2.001
0.001
0.00071
0.71
2
2.0001
0.0001
0.000071
0.71
2
…
…
…
…
8
长度x的改变 质量y的改变
x0
x1
量
（Δx）/m
量 （Δs ）/kg
平均线密度 （kg/m）
2
2.1
0.1
0.070
0.70
2
2.01
0.01
而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于在x0点的
瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一
点处变化的快慢。
13
可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度
s(6) s(5) 176.4 122.5 53.9 （m/s）
65
1
我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。为了提高
精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s这段时间内
的平均速度
4
s(5.1) 5.1
s(5) 5
127.45 122.5 0.1
x2 x1
x
2 平均变化率的几何意义：
曲线 y f (x)上两点 (x1, f (x1))、(x2, f (x2 )连) 线的斜率.
2
求函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的平均变化率.
答案：是0
y
A O x1
C1 C3
B C2
x2 x
平均变化率的缺点: 它不能具体说明
函数在这一段区间上 的变化情况.
在第6h时, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.12
归纳总结:
对于一般的函数，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若
设Δx= x1－x０， y f (x1 ) f (x0 )
则函数的平均变化率是
y f (x1 ) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
x
x1 x0
x
49.5（m/s）。
用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。如果时间间隔 进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球 在t=5s这个时刻的瞬时速度。
s
t0/s
t1/s
时间的改变 路程的改变
量
量
平均速t 度
（Δt）/s （Δs ）/m （m/s）
5
5.1
0.1
4.95
49.5
5
5.01
0.01
0.49
运动49m。
6
例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m。
x（单位：m）表示OX这段棒长，y （单位：kg）表示OX这
段棒的质量，它们满足以下函数关系：
y f (x) 2 x 估计该合金棒在x=2m处的线密度。
分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度， 就是这段合金棒的平均线密度。
0.0071
0.71
2
2.001
0.001
0.00071
0.71
2
2.0001
0.0001
0.000071
0.71
2
…
…
…
…
可以看出，当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋于 0.71kg/m，因此，可以认为合金棒在x0=2m处的线密 度为0.71kg/m。。
线密度为0.71kg/m的物理意义是:
如果有1m长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg
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（二）、探究新课
例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s（ 单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为 s 1 gt 2
2
，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。(g 9.8m / s 2 )
分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式
s s(t1 ) s(t0 )
t
t1 t0
(2)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
x
（3） Δx
0时, y x
瞬时变化率
11
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要
对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
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y f (x) 2 x 估计该合金棒在x=2m处的
线密度。
分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就 是这段合金棒的平均线密度。
解：我们可以计算出相应的平均线密度得到下表
y
长度x的改变 质量y的改变
x
x0
x1
量
（Δx）/m
量 （Δs ）/kg
平均线密度 （kg/m）
2
2.1
0.1
点处变化的快慢。
Δx
x1
0时, x0时,
y
瞬时变化率
x
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
瞬时变化率10
Δx
0时, y x
瞬时变化率
求函数在x0处的瞬时变化率的三个步骤：
(1)给出自变量在x0处的一个变化量Δx
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0 );
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
y x
f (2 x) f (2) x
4x (x)2 7x x 3 x
所以, 当 x 0时,
y 3 x
即：在第2h原油温度的瞬时变化率分别为–3.
实际意义：
在第2h时, 原油温度大约以3 C / h的速率下降;
5
5.001
0.001
0.049
49.0049
5
5.0001
0.0001
0.0049 49.00049
5
…
…
…
…
可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于 49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬时速度为
49m/s。 瞬时速度为49m/s的物理意义是，
如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将要
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归纳总结:
对于一般的函数，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若
设Δx= x1－x０，y f (x1 ) f (x0 )
则函数的平均变化率是
y f (x1 ) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
x
x1 x0
x
而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于在点的
瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一