储油罐的变位识别与罐容表标定-主体

1 问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

附图给出了生产实际所用的储油罐的形状示意图及储油罐尺寸、罐体纵向倾斜变位的示意图以及罐体横向偏转变位的截面示意图。

附件1和2给出了实验所需要的数据。

根据上述所述，求解下列问题：
问题一：为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.1°的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

问题二：对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

2 模型的假设
(1)不考虑储油罐内外温度的变化；
(2)油位探针的压力传感器在最下端；
(3)出油管等管的体积忽略不计；
(4)储油罐在进油后没有其他外在的抽油，即进油后的总量与刚开始出油时等量；
(5)忽略油罐内总油量由于非进出油因素引起的总油量的变化
(6)油罐里的油质均匀
(7) 在较短时间内纵向和横向倾角可认为不变
(8)假设附件中给定的数据真实可靠；
3 符号说明
a=0.89 小椭圆型罐体截面椭圆的长半轴
b=0.6 小椭圆型罐体截面椭圆的短半轴
α纵向倾斜角度
β横向偏转角度
L 小椭圆型罐体长度
h 对于小椭圆形罐体中油量探针所探测到的油面高度，对于实际储油罐中油量探针
所探测到的油面高度所转换成在以圆形球心为原点所建立的坐标体系下的坐标
高度值
H 只考虑纵向倾斜α时实际储油罐中油量探针所探测到的油面高度，以及考虑横向
倾斜β时，实际储油罐中过油探子的正横截面的实际油面高度
h0
考虑横向倾斜β时罐容表的读数
V 小椭圆型罐体或实际储油罐中油量体积
r 球冠横截面圆半径
R 球冠半径
实际储油罐纵向倾斜时下部球冠体中油量体积
V
1
实际储油罐中部圆柱体油量体积
V
2
实际储油罐纵向倾斜时上部球冠体中油量体积
V
3
H1 实际储油罐纵向倾斜时下部球冠体中与中部想接截面的实际油高
H2 实际储油罐纵向倾斜时上部球冠体中与中部想接截面的实际油高
S1油罐体的底面积
l 2 油罐体最左侧到油位探针之间的距离
l1摊位指针到油罐体最右侧的距离
4 问题分析
4.1 问题一的分析
问题一要求我们建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响. 首先我们了解到罐容表能够反映出罐内油位高度h 与储油量V 之间的关系. 对与问题一，我们需要从罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位这两大情况去分析，从而得到罐体变位后对罐容表的影响.
由题意可知，上底面和下底面均相等且均为椭圆的一部分，首先考虑罐体无变位的情况并建立起罐体无变位积分模型. 利用该模型对椭圆的方程求定积分,再将所得到的底面积与已知的卧式油罐体平行于地面的高L 相乘，即得到了油罐体中的储油量V . 从而我们得出罐体无变位的情况下罐内油位高度h 与储油量V 对应的函数关系式.
为了验证我们所建模型的准确性，我们将附表1中的罐内油位高度代入罐体无变位的情况下罐内油位高度h与储油量V的对应函数关系式中，得到对应油位高度下的储油量. 同时，我们对模型所计算得到的储油量与实验测量所得的储油量进行比较，分析发现两者之间存在着一定的误差. 为了更好地分析误差，我们用MATLAB绘制出了两者之间的误差值与油位高度之间的曲线. 经过分析，我们发现所得的罐内油位高度h和储油量V 之间的关系式未考虑油位探针、进油管和出油管的体积对油位高度和储油量的影响.
经过修正，我们得到罐内油位高度h 与油位探针、进油管和出油管三个管子的总体积之间的关系式.接着我们考虑倾斜角为α=4.10的纵向变位的情况，建立罐体纵向变位积分模型. 在所建立的模型中，我们分析发现，随着油位高度的不同，其体积表达式也是不同的. 因此，我们需要从五个不同油位高度分析其体积的表达式. 五种不同的油位高度情况如下图所示：1）h=0 ，2）0＜h＜l1tanα，3）l1tanα＜h＜2b-l2tanα ，4）2b-l2tanα＜h＜2b，5）h＞2b .
图 1 五种情况示意图
然后建立空间直角坐标系，我们从油罐体左侧分析问题，将与地面平行的方向设为z 轴，椭圆的短半轴所在的轴为x 轴，椭圆的长半轴所在的轴为y 轴. 我们分别对这五种情况进行讨论，先对椭圆方程求积分得到曲面面积，再对曲面面积求积分，得到储油量V 与油位高度h 的函数关系式. 我们结合罐体无变位情况下罐内油位高度h 与油位探针、进油管和出油管三个管子的总体积之间的关系式，得到修正后五种情况下储油量V与油位高度h 的关系式，再将附表1中的罐内油
位高度代入这五种情况下修正后的关系式中，得到对应油位高度下的储油量，再与实验测量的储油量进行比较，并对其进行误差分析，最后在合理的误差范围内得到罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值.
4.2 问题二的分析
问题二要求对于实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，并根据实际检测数据确定变位参数。

对于实际油罐体，由于两端具有球冠体且实际油罐体的中间部分是圆柱体而不是问题一中所用的椭圆柱体，故在计算时，需加上其两端球冠体的体积。

讨论时，我们将整体分为三个部分，前后的球冠以及中间的圆柱体部分。

对于实际油罐体的倾斜问题，由于这里既有纵向倾斜又有横向倾斜，为了简化问题，我们首先分析只有纵向倾斜的情况，然后再分析有横向偏转角度时，通过建立中间变量与油位高度的关系，最终建立油罐内储油体积与油位高度的函数表达式。

只考虑纵向倾斜时，对于实际油罐体的中间部分，仍遵循第一问中的思路，按照各处的高度不同，对整个油罐体进行积分，求出油罐体中间部分的油体积在纵向倾斜的情况下与油面的高度、纵向变位角β之间的关系。

对于两端的球冠体，我们将边缘上的倾斜的部分利用查补法做近似计算，通过解析几何知识求出两个球罐体储油体积与油位高度、纵向变位角β之间的函数关系。

利用在横向变位时测量的油面高度与实际油面高度在横向变位角一定时的一一对应关系，可以得到储油罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系，从而得出实际测量数据中相邻两高度之间的出油量及进油量计算值，与实际出油量及进油量对比，得到使两者之间的差别最小的α和β，即实际油罐的纵向变位角与横向变位角。

然后在此基础上对罐容表进行标定。

5 模型建立与求解
5.1 问题一的模型的建立与求解
此部分针对小椭圆型储油罐，分别对罐体无变化和倾斜角为α的纵向变位两种情况进行模型建立，然后与附表中所给实验数据进行对比，以此分析模型建立的准确性，并研究罐体变位后对罐容表的影响。

5.1.1罐体无变位积分模型的建立与求解
（1）模型的建立：
根据题意，我们可知小椭圆型储油罐为两端平头的椭圆柱体，即两个底面为椭圆的柱体. 我们假设罐体无变位时储油罐的油位高度为h 、储油量为V1 . 想要知道储油罐的油位高度和储油量之间的关系式，我们可以通过立体几何中圆柱体的体积公式求得，需要指出的是，这里我们所计算的底面积
是椭圆面积的一部. 因此，我们需要利用求椭圆的面积的方法求得底面积，我们知道椭圆的标准方程式表示为：
22
22
1,
x y
a b
a b
+=≠
要想得到椭圆的标准方程式，就必须知道椭圆的长半轴长a 和椭圆的短半轴长b 的值. 小椭圆油罐截面示意图如下图所示：
图 2 小椭圆油罐截面示意图
由上图可知，椭圆的中心在原点o ，横轴x 轴为椭圆的长半轴所在的轴，竖轴y 轴为椭圆的短半轴所在的轴，根据题中所给已知数据，我们可知长轴
2a=1.78，短轴2b =1.2，因此我们得到椭圆的长半轴长a =0.89，短半轴长b=0.6 .在知道椭圆的长半轴长a 和椭圆的短半轴长b 的值后，我们得到了如下椭圆的标准方程式：
22
22
1
0.890.6
x y
+=
为了求得底面积S1,我们结合小椭圆油罐截面的示意图进行分析.
图 3 建立坐标后的小椭圆油罐截面示意图
由图可知，x 轴为横轴y 轴为竖轴，我们标出罐体无变位时储油罐的油位高度为h ，假设横轴x 轴为椭圆的长半轴所在的轴，竖轴y 轴为椭圆的短半轴所在的轴，椭圆的圆心在中心O 点. 根据椭圆的标准方程我们可以得到：
x = 因此，底面积S 1可以用微积分求得，我们固定x 轴对y 求积分，在y 轴上的
下限为-0.6上限为h-0.6，因此我们可以得到底面积S 1 的积分公式为：
10.6
0.8920.6h s --=⎰ 通过上面的表达式，我们对底面积S 1表达式运用高等数学中的微积分知
识，通过MATLB 编程可以得到S 1关于储油罐的油位高度h 的数学关系式如下所
示：
126726753arcsin 1100050035h s h π⎛⎫⎛=+-+- ⎪ ⎝⎭⎝在求得底面积S 1后，我们类似地运用圆柱体求体积的方法将底面积S 1乘以椭圆柱体的高L ，得到在罐体无变位时储油量V 1关于油位高度h 的表达式. 由于椭圆的长半轴a 、短半轴b 和椭圆柱体的高L 都是已知的，于是我们就可以得到储油量V 1与罐内油位高度h 的关系式如下：
1150.62.05 1.3arcsin 131200
h h V s L -⎛⎫=⨯=+⨯-+ ⎪⎝⎭ 因此，我们就可以得到在罐体无变位的情况下的罐容表即储油量V 1和罐
内油位高度h 的关系式，进而可以得到任意一个油位高度下的储油量. (2)罐体无变位积分模型的检验与修正
根据所建立的模型，我们得到了罐体无变位的情况下的罐容表储油量V1和罐内油位高度h 的关系式：
11
50.6
2.05 1.3arcsin1
31200
h h
V s L
-
⎛⎫
=⨯=+⨯-+
⎪
⎝⎭
为了检验我们所建立模型的精确度，我们利用题目中所给的实验数据进行了验证，将题中经实验得出的油位高度分别代入上面罐容表储油量V1 和罐内油位高度h 的关系式，于是我们得到了每一个油位高度对应下的储油量值，由于数据量较大，本文只列举了其中的27 个（其余参见附录）如下表所示：
由上表，我们得出了题中所给实验时每一个油位高度下的储油量，在该表中我们只能得到有限个不同油位高度下的储油量. 其实有了储油量V1 和罐内油位高度h 的关系式，我们可以得到每一个油位高度下的储油量，但为了与实验值进行比较，我们只需列出了上述油位高度下的储油量即可.
在每一个确定油位高度下，我们将实验所得储油量与通过模型建立所得到的储油量进行比较，从数据上显示，我们得到的储油量与实验所得值有点差异. 借助MATLAB计算，我们得到如下所示的绝对误差和相对误差表，由于数据量较大，本文仅以前25个数据为例，其余请参见附录.
由上表，我们得到了在相同油位高度下，模型建立所得出来的储油量与实验所测出来的储油量的绝对误差和相对误差. 其中模型求解出来的储油量的绝对误差随着油位高度的增加而增大，而得到的相对误差基本在3.4%~3.5%之间.
为了更为直观的显示所建立的模型与实验值的差距，我们首先通过实验数据（累计储油量和油位高度，初始值位262L），借助MATLAB 进行三次拟合，得到了一条罐
容表储油量V1和罐内油位高度h 的曲线.然后，将我们建立的模型得出的表达式也通过MATLAB 绘图，同样得到了一条罐容表储油量V1和罐内油位高度h的曲线，通过比较能看出实验值与模型求解得到的值有所差异. 具体图如下所示：
图 4 实际测量值与理论计算值的曲线图
由上图，我们看出实际测量值与理论计算值在油位高度较小时基本在一条曲线上，但是随着油位高度的增大，模型理论计算值与实际测量值偏离程度越来越大，即绝对误差越来越大.
根据上述绝对误差和相对误差表及两条曲线，经计算，我们发现所建立的模型的绝对误差较大，绝对误差基本控制在3.4%~3.5%之间. 于是我们又对模型进行了误差分析.之所以同一个油位高度下，模型得到的储油量与题中所给的实验值有偏差，我们分析得到，原因有二：一是我们在建立模型时，忽略了油罐内部油位探针、出油管和进油管的体积，使得模型得到储油量大于实际实验值；二是在实验过程中由于测量不够准确也存在一定误差. 前者是产生实验值与模型所得值偏差的主要原因，而后者只是次要原因，因此不予考虑后者的影响.
针对上述产生误差的主要来源，我们对其进行深入分析，根据每一个油位高度下实验值与计算所得值的差值，我们通过MATLAB 绘制出了如下所示的误差图.
图 5 储油量误差与油位高度的关系图
由上图，我们可以看出随着油位高度的增大，绝对误差也随之增大. 我们还可以看出，误差增长速度基本符合曲线关系. 再结合具体题目，我们分析得到，油位探针、出油管与进油管的总体积对储油量的影响，从理论上讲也是呈曲线型的. 因为，随着油位高度的增高，油位探针、出油管及进油管被油覆盖的体积也越大，即在模型计算过程中，对储油量的影响也就越大，也就说产生的误差是随着油位高度的增高呈曲线式增大. 综合上述分析，我们得到实际数据分析与理论分析相符合，即定性地分析出油位高度越大，其对储油量所造成的误差也就越大.
在此基础上，我们又从定量的角度分析油位高度与误差之间的关系. 通过图5，我们用MATLAB 进行三次拟合，得到油位探针、出油管与进油管的高度d 与误差之间的关系表达式：
W (误差)=f(d)=84.077d3+150.74d2+58.162d-1.7251 因此我们需要对无变位模型进行修正，得到修正后的储油量与油位高度之间的表达式为：
v1*=v1 -f( d)
则我们可以得到修正后储油量与油位高度之间的最终表达式为：
32
84.077150.7458.162 1.7251
d d d
-++-
通过上述表达式，
我们就可以得到每一个油位高度下的储油量，进而得到一张关于储油量V1和罐内油位高度h的罐容表.
5.1.2 罐体纵向变位积分模型的建立与求解
I 模型建立
考虑油罐纵向倾角为α时对罐容表的影响。

由题目所给出的在α= 4.1°时的实际测量结果，以及油罐形状的分析，我们考虑油罐储油量与浮标所测定的高度间关系的五种不同情况。

(1) 浮标显示是0时，但由于纵向倾斜角的存在，油罐内实际油量并不为零，
且整体液面成三角形
图 6 情况一
由几何知识计算得：当h1=0时，V≤1.6743L
(2) 油罐中有少量油，且正面示意图是三角形，即油罐内的油量的平面低于
虚线
图7 情况二
分析可知当0 <h1≤ 2.05 tan αm,即0 < h1≤146.9458mm时：
tan
10.4
tan
1
10.4
tan arcsin(
tan)]
2
z
b
h
h
ab
V
z b dz
b
α
α
α
απ
-
+
=
+
=
⎰⎰⎰
-+
⎰
(
10.4
tan
1(
tan
1
10.4
tan arcsin(
10.4
tan
tan
z=
tan
1
0.4)
tan
1
0.4)(arcsin()
tan tan
tan)]
2
h
z
b
h
ab
h
z b ub b
u
b
V
h
h ub b
ab u d
V
z b dz
b
α
α
α
α
α
α
α
αα
απ
+
=
=
-
=
+
+
+
-+
=
=++
+
+++
-+
⎰
⎰⎰⎰
⎰
令，则
）
10.4tan2
3
10.4tan
3
arcsin du
tan
1
3
arcsin u arcsin
10.4tan10.4t
arcsin arcsin
h b
b
h b
b
ab
u
C
du u u c
h b h
udu
b
α
α
α
α
+-
+-
+
=+
=
=-
=+
+-+
=
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
（）
利用公式
故
再利用公式
2
10.4tan
h13
1=0.4
tan tan
an
1
V
h b
b
ab
b
b
α
αα
α
+-
++
-
+
-
⎰
代入知
(3) 油尚未完全覆盖油罐的任意一个底面,即油量的液面低于所示虚线:
此时满足2.05tanα<h1≤1.2-0.4tanα,即146.9458<h1≤1171.3276时：
重复（2）计算过程利用公式代入即可
(4) 油罐内油完全覆盖油罐的一个底面，如图：
即1.2-0.4tanα<h1≤1.2m,即1171.3276mm<h1≤1200mm时：
1
0.4tan0.4tan( 2.45)tan
tan
0 2.45
1
h
z b z
b b
Vααα
α
+-+-
--
--=-
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
图8 情况三
图9情况四
1.2
tan
tan
1.21
1(0.4)
tan
1.2(
2.05)tan11.2
tan
1.2
2.05
tan
z b
b
h
ab
z h
h b
Vα
α
πα
α
α
α
-
-
-
=-+
-+-
-
+--
⎰⎰⎰
-⎰⎰⎰
重复（2）计算过程利用公式代入即可
(5)浮标测得的油位高度显示油罐为满，然而实际上并没有满,如图
图 10情况五
即当h1=1.2m时，4012.747 < V≤4110.146L
(6)
结论：
(
) 1
h
1
22
1
1
2.45
1
2
[(h0.4tan tan
h0.4tan tan1
arcsin]h146.9458mm
2
[(h0.4tan tan
arcsin
a
z b
b
z b
b b dz
b
a
z b
b
V
b
α
ααα
αα
π
αα
+--
+--
++≤
+--
=
+
⎰
⎰
+0.4tan
tan
，当
0<
1
2
1
1
2.45
1.2h
0.4
tan
22
1
h0.4tan tan1
] (146.9458mm h1171.3276mm)
2
[(tan
tan1
arcsin] (1171.3276mm h1200
2
z b
b dz
b
a
abL z b
b
z b
b b dz mm
b
α
αα
π
πα
απ
-
-
+--
+<≤
--
-
++<≤
⎰
，当
，当)⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
特别地，当h1=0时，V<=1.67；h1=1200mm时，4012.74<V≤4110.15
II 模型检验及改进
具体测定的罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值如下：
40 965.66 81 2703.55
图11 无变位进油拟合图像
对于油罐变位后的模型，与无变位的检验同理。

得到相对误差在1%～5%以内。

在可容许的范围内，因此我们认为此模型有效。

5.1.3 小油罐无变位和有变位比较
油罐变位后对罐容表的影响可以通过比较无变位和有变位的数学模型得出。

图12 油容量与油高度
通过对题目附录中的数据及相应的测量值比较可得，如图所示，在一定区间内，变位后相同油位高度的情况下实际储油量要比无变位的储油罐在相同油位高度下的储油量要少，且差值保持在一定值左右波动，即200L左右。

5.2 问题二的模型的建立与求解
5.2.1 问题二的模型的建立与求解
首先建立数学模型。

实际储油罐主体为圆柱体，两端为球冠体；相对于整个储油罐，球冠体的体积很小，因此假设实际储油罐在纵向倾斜时，球冠体内的油面相对于罐底假设是水平的，中间圆柱体部分的油面相对于罐底是倾斜的。

先计算V2主体体积，可直接利用第一问结论代入a=b=1.5
图 13
利用勾股定理可以求出球冠体的半径R
222(1) 1.5,R=1.625m R R =-+即 高度为H 时油的体积V=V1+V2+V3 ①先计算V2柱体体积
i ）无变化时结果如下，底面如图：
图 14
仍然以H 表示探针探测到得油高，h 表示H-1.5，则
h
S=2⎰
2
2
1.5S 1.5arcsin 1.52
h π=+
H=h+b 代入即有
V2
2
2
1.5S= 1.5arcsin(1)1.52
H π-+（
8V S =
ii)有变位时V2仍然直接套用第一问结论，令a=b=1.5，分三种情形：
情形1
情形2
情形3
2 22
tan
22
tan
106tan
2tan tan 1.5 1.5
2[(2tan tan 1.5arcsin]
1.52
2:6tan3tan
2tan tan1
2[(2tan tan 1.5arcsin
H
H
H
H z
V H z dz
H
H z
V H z
α
α
α
αα
ααπ
αα
αα
αα
+
+
≤≤
+--=+--+
≤≤-
+--=+--
⎰
⎰
情形：
情形
2 8
2
82
22
3-H
2-0
tan
.5 1.5
]
1.52
3:3-2tan3
tan 1.5 1.5
V2=8* 1.5-[(tan 1.5arcsin]
1.52
H
dz
H
z
z dz
α
α
π
α
α
παπ
+
+
≤≤
-
-+
⎰
⎰⎰
情形
（）
iii)有变位时两侧球冠中油量的求解
（1）只存在纵向倾角
相对于整个储油罐，球冠体的体积很小，因此假设球冠体内的油面相对
于罐底是水平的。

事实上，两边的球冠相对于无变位时油量一端多一些一端少一些，因此
可以“以多补少”，这样差距更小，因此可以看作油面水平。

如图，将球冠I，III油面水平化
12tan,26tan
H H H H
αα
=+=-
计算当球冠内油面高度为H′时候球冠中油的体积坐标值 1.5
h H
='-
坐标高度为h时的球冠的横截面是小圆的一部分
小圆半径r==
球冠在这个小圆中为阴影部分，其面积为S′
如图：
11
sin,arcsin
r r
r r
θθ
--
==
2901802-2
θθπθ
⨯︒-=︒-=
（）
扇形面积
-21
=r()(arcsin)
222
r
S r r
r
πθππ
πθ
π
-
=-=-
扇
两个三角形面积和
1
S=2*r-1r-1
2
∆=
（（
S`=S()r-1
2
S r
π
θ
-∆=--
扇（
因此球冠体积积分如下：
`1.5`1.5
1.5 1.5
`[(
2
H H
V S dh dh
π
θ
--
--
==-
⎰⎰
H`
H=h+1.5V=[(
2
π
θ
-
⎰
代入即
H`=12tan,`26tan
H H H H H
αα
=+==-
分别代入
再求和计算出两部分球冠中油的体积之和为：
H+2tan6tan
00
V1+V3=
{}[(
2
H
dH ααπθ
-
+-
⎰⎰
s
……………………………
…（*）
综上所述，V=V(H)
06tan
Hα
≤≤
①：
2
tan
2
2
*[(2tan tan
2tan tan 1.5 1.5
1.5arcsin]
1.52
H
V H z
H z
dz
ααα
αα
π
+
=++--
+--
+
⎰
（）
:6tan3tan
H
αα
≤≤-
②
2 822
tan
00
2tan tan 1.5 1.5 *[(2tan tan 1.5arcsin]
1.52
H H z
V H z dz α
αα
ααπ++--
=++--+⎰⎰
（）
:3-2tan3
H
α≤≤
③
2
82
22
tan
3-H
2-0
tan
tan 1.5 1.5
V=*8 1.5-[(tan 1.5arcsin]
1.52
H z
z dz
α
α
α
παπ
+-+⨯-+
⎰⎰
（）（）
（2）考虑水平倾角
下面再对横向偏移角β进行分析研究，如图所示：
图中
h为罐容表的读数，所以真实液面高度为:
( 1.5)cos 1.5
H hβ
=-+
所以最终所得的体积关系式只需将上述体积关系式中的H
换为式
( 1.5)cos 1.5
hβ
-+，再带入下式：
H+2tan6tan
00
V1+V3={}[(
2
H
dH ααπθ
-
+-
⎰⎰
和(1)(2)(3)式中的三个式子即可得出。

5.2.2求变位参数
附件2提供的数据中显示油高和显示油量容积是基于无变位时的罐容
表的，从而可利用这两列数据对模型在无变位情况下相应数据进行评估。

最小二乘法：
X [x1 , x2 ...x i ....x n ]表示出油量
H [h1 , h2 ,...h i ....h n ]表示油位高度
令I=2
1
1
min(()())
n
i i i
i
V h V h x
+
=
--
∑,则利用显示油高和进出油量这两行数
据可确定求解变位参数。

在模型中，每一个油位高度对应一个油罐储油量，
则两个油位高度间油量的差值则可以通过进出油量来确定，故取 N 组显示
高度的数据，利用相邻两个油位高度，得到相对应的 N-1 组油量差值。

将
这些数据差值与附件 2 中提供的油量差值相减，并对这些差的平方求和。

则每对应一组α，β值便存在一个和。

求变位参数即可理解为寻找使和最小
的一组的α，β值，而这可以通过枚举α，β值来确定。

通过编程实现该思
想并求得α=2.1°,β= 4.6°。

程序见附录“变位参数求解程序”。

确定变位参数后，将参数带入模型即可求得罐容表标定值，结果如下：
5.2.3．结果分析与模型检测
结果：问题二中通过对油罐的三个组成部分分别建模，得出了总体的数学模型。

并通过数学模型由附件 2 中提供的数据求出变位参数α
=2.1°,β= 4.6°。

验证：将变位参数带入数学模型，从题目附件2中随机取60 组数据进行检测，研究误差，发现大多数绝对误差在1L 范围内,个别数据误差在2L 左右。

在一定程度上验证了模型的合理性，以及结果的正确性与可靠性。

6 模型评价
1．模型优点
1).小椭圆储油罐无变位模型情况比较简单，算法容易设计，根据积分易得其具体表达式且相对来说比较精确。

2).小椭圆储油罐变位模型针对具体情况分类讨论。

3).实际储油罐模型比较实用。

在球缺部分的建模过程中，适当的运用了近似算法使复杂情况简单化，易于计算。

2．模型缺点
1).小椭圆储油罐无变位模型仅有简单的积分得来，尚未完整考虑所有情况，应用范围有限。

2).小椭圆储油罐变位模型误差有待进一步改进。

3).实际储油罐模型构造中，关于球冠部分的计算采用了近似方法，使得计算结果与实际结果存在一定误差。

在数值积分中迭代次数的限制对结果的准确性有一定影响。

7 模型改进
1. 小椭圆储油罐变位模型所得结果与实验测得结果存在误差，需结合具体情况
对模型进行适当地修正。

2. 实际储油罐模型球冠体部分由于采用了近似的方法，增加了误差的必然性。

存在改进空间，对模型忽略部分进行精确求解，减小误差。

3.在运用模型求解变位参数时采用了对参数进行枚举的方法，在运行时间以及空间上是比较浪费资源，效率不高。

可以考虑采取更高效的算法。

8 模型的推广
在储油罐进油和出油的过程中，工作人员往往忽略了温度对油位高度的影响，在现实生活中油的体积往往也受温度的影响，所以我们需要对所建立的模型进行改进，进一步考虑油位高度随温度的影响，在无变位情况下，我们引入温度变量，通过实际数据进一步了解油位高度和温度变量的关系，根据不同的情况采用不同的控制策略.
我们多建立的模型在实际中具有较高的现实意义，如今，在很多领域里都要运用到储油罐的油位高度与储油量之间的关系，如全站仪立式金属罐容积标定系统，通过计算机仿真，制定出一套较好的高度与角度的关系，而全站金属罐容标定法作为重点介绍的新方法. 通过与应用软件的有机结合，使立式金属罐容积标定的数据采集与数据处理工作效率大大提高，具有广阔的应用前景.。