2022-2023学年人教版八年级数学上册第十三章轴对称专题测评练习题(含答案详解)

人教版八年级数学上册第十三章轴对称专题测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、给出下列命题，正确的有（）个①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）
A．2条B．4条C．6条D．8条
3、一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是
（）
A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里
4、如图，ABC中，∠BCA=90°，∠ABC=22.5°，将ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点
A′，连接BA′，过点A作AH⊥BA′于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是
（）
A．A′C =A′H B．2AC=EB C．AE=EH D．AE=A′H
5、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）
A．750米B．1000米C．1500米D．2000米
6、如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
7、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为( )
A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm
8、下列三角形中，等腰三角形的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9、等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是（）
A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°
10、将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D，折痕为EF．已知
3,4
AB AC BC
===，若以点B、D、F为顶点的三角形与ABC相似，那么CF的长度是
（）
A．2 B．12
7
或2 C．
12
7
D．
12
5
或2 第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是_____．
2、在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D 为AB 边上一点，若△ACD 是等腰三角形，则∠BCD 的度数为_____．
3、如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AC 为边，作ACD ∆，满足AD AC =，E 为BC 上一点，连接AE ，12
BAE CAD ∠=∠，连接DE ．下列结论中正确的是________（填序号）
①AC DE ⊥；②ADE ACB ∠=∠；③若//CD AB ，则AE AD ⊥；④2DE CE BE =+．
4、将一副直角三角板如图摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D ．已知∠A =∠EDF =90°，
AB =AC ．∠E =30°，∠BCE =40°，则∠CDF =_____．
5、如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ．若y 轴上有一点P （不与点C 重合），能使△AEP 是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P 的坐标为____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
(1)求证:AE=2CE;
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.
2、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB 与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．
(1)试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
(2)将四边形ABCD向下平移5个单位长度，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′.
3、如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是AB 、AC 边上的点，BD CE =，ABE ACD ∠=∠，BE 与CD 相交于点F ，求证：ABC ∆是等腰三角形．
4、在①AD AE =，②BAE CAD ∠=∠这两个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，请完成问题的解答．
问题：如图，ABC 中，AB AC =，点D ，E 在边BC 上（不与点B ，C 重合）连结AD ，AE ．若______，求证：BD CE =．
5、如图，在平面直角坐标系中，已知线段AB ；
（1）请在y 轴上找到点C ，使△ABC 的周长最小，画出△ABC ，并写出点C 的坐标；
（2）作出△ABC 关于y 轴对称的△A 'B 'C '；
（3）连接BB '，AA '．求四边形AA 'B 'B 的面积．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【详解】
解：①等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故本选项错误；
②等腰三角形两腰上的高相等，本选项正确；
③等腰三角形最小边不一定底边，故本选项错误；
④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，本选项正确；
⑤等腰三角形可以是钝角三角形，故本选项错误，
故选B
2、B
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．
【详解】
解：如图，
因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，
所以此图形的对称轴有4条．
故选：B．
【考点】
本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
3、C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB 即可．
【详解】
解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，
∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，
∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，
∴BC=30海里，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选C.
【考点】
本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．
4、B
【解析】
【分析】
证明BHE AHA '∆≅，即可得出正确答案．
【详解】
证明：∵∠BCA =90°，∠ABC =22.5°
∴67.5BAC ∠=︒，
∵ABC 沿直线BC 折叠，得到点A 的对称点A ′，连接BA ′，
∴ABC A BC '∆≅∆，
∴AC CA '=，
∵∠BCA =90°，
∴2AA AC '=，
∵ABC A BC '∆≅∆
∴22.5ABC A BC '∠=∠=︒，即：22.5HBE ∠=︒，
∴45ABH ∠=︒，
∵AH ⊥BA′，
∴ABH ∆是等腰直角三角形，
∴BH AH =，45ABH BAH ∠=∠=︒，
∴67.54522.5A AH '∠=︒-︒=︒,
在BHE ∆和AHA '∆中，
∵HBE A AH BH AH BHE AHA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩
'， ∴BE AA '=,
∴2BE AC =,
故B 选项正确，
故选；B ．
【考点】
本题考查了折叠、等腰三角形、等腰直角三角形、三角形全等，解决本题的关键是证明全等，得出线段BE AA '=．
5、B
【解析】
【详解】
解：作A 的对称点A '，连接A 'B 交CD 于P ，
A P AP ∴'=，
∴AP +PB=A P BP A B ''+=，此时值最小，
在BDP A CP '和中，
A CP BDP AC BD A PC BPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠'⎩
', 'A CP BDP ∴≅，
CP DP ∴=，
∵点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，
∴A 'B =AP +PB=1000米
6、C
【解析】
【分析】
过P 作BC 的平行线交AC 于F ，通过AAS 证明PFD ≌QCD ，得FD CD =，再由APF 是等边三角形，即可得出12
DE AC =
． 【详解】
解：过P 作BC 的平行线交AC 于F ，
Q FPD ∴∠=∠， ABC 是等边三角形，
60APF B ∴∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，
APF ∴△是等边三角形，
AP PF ∴=，
∵CQ ＝PA ，
∴PF CQ =
在PFD 中和QCD 中，
FPD Q PDF QDC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， PFD ∴≌()QCD AAS ，
FD CD ∴=，
PE AC ⊥于E ，APF 是等边三角形，
AE EF ∴=，
=AE DC EF FD ED ∴+=+，
12
DE AC ∴=， 4AC =，
2DE ∴=，
故选：C ．
【考点】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7、C
【分析】
根据图形翻折变换的性质得出AD=BD，故AC+（CD+AD）=AC+BC，由此即可得出结论．【详解】
∵△ADE由△BDE翻折而成，∴AD=BD．
∵AC=5cm，BC=10cm，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=15cm．
故选C．
【考点】
本题考查了翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
8、B
【解析】
【分析】
根据题图所给信息，根据边或角分析即可
【详解】
解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；故答案为：B．
【考点】
本题考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
9、C
【分析】
先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【详解】
解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°，底角为1
2（180°-80°）=50°； 当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°-80°×2=20°．
∴等腰三角形的底角为50°或80°；
故选：C ．
【考点】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
10、B
【解析】
【分析】
分两种情况：若BFD C ∠=∠或若BFD A ∠=∠，再根据相似三角形的性质解题
【详解】
∵ABC 沿EF 折叠后点C 和点D 重合，
∴FD CF =，
设CF x =，则,4FD CF x BF x ===-，
以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况：
①若BFD C ∠=∠，则BF FD BC AC =，即443x x -=，解得127x =；
②若BFD A
∠=∠，则BF FD
AB AC
=，即
4
33
x x
-
=，解得2
x=．
综上，CF的长为12
7
或2，
故选：B．
【考点】
本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题
1、35°
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD=30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
【详解】
解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=100°-30°=70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=1
2
∠CAD=
1
2
×70°=35°，
故答案为：35°．
本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
2、20°或50°
【解析】
【分析】
分以下两种情况求解：①当AC=AD时，②当CD=AD时，先求出∠ACD的度数，然后即可得出∠BCD的度数
【详解】
解：①如图1，当AC＝AD时，
（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝∠ADC＝1
2
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝20°；
②如图2，当CD＝AD时，∠ACD＝∠A＝40°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝50°，
综上可知∠BCD的度数为20°或50°，
故答案为：20°或50°．
【考点】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和，解题的关键是根据题意画出图形，并运用分类讨论的思想求解．
【解析】
【分析】
通过延长EB 至E ＇，使BE =BE ＇，连接AE '，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质依次分析，可得出正确的结论是②③④．
【详解】
解：如图，延长EB 至E ＇，使BE =BE ＇，连接AE '；
∵∠ABC =90°，
∴AB 垂直平分EE ＇，
∴AE =AE ＇,
∴∠1=∠2，∠3=∠5， ∵∠1=12
CAD ∠， ∴∠E ＇AE =2∠1=∠CAD ，
∴∠E ＇AC =∠EAD ,
又∵AD =AC ，
∴()DAE CAE SAS '∆∆≌，
∴∠5=∠4，∠ADE =∠ACB （即②正确），
∴∠3=∠4；
当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，
此时，∠AME =180°－（∠4+∠6）=90°，
当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，
此时，∠AME ≠90°，
∴①不正确；
若CD ∥AB ，
则∠7=∠BAC ，
∵AD =AC ，
∴∠7=∠ADC ，
∵∠CAD +∠7+∠ADC =180°， ∴°1
7902
CAD +=∠∠， ∴∠1+∠7=90°，
∴∠2+∠7=90°，
∴∠2+∠BAC =90°，
即∠E ＇AC =90°，
由()DAE CAE SAS '∆∆≌，
∴∠EAD =∠CAE ＇=90°，E ＇C =DE ，
∴AE ⊥AD （即③正确），DE =E ＇B +BE +CE =2BE +CE （即④正确）；
故答案为：②③④．
【考点】 本题综合考查了线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平
行线的性质等内容；要求学生能够根据已知条件通过作辅助线构造出全等三角形以及能正确运用全等三角形的性质得到角或线段之间的关系，能进行不同的边或角之间的转换，考查了学生的综合分析和数形结合的能力．
4、25°
【解析】
【分析】
先根据等边对等角算出∠ACB=∠B=45°，再根据直角三角形中两个锐角互余算出∠F=60°，最后根据外角的性质求解即可．
【详解】
解：∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ACB=∠B=45°．
∵∠EDF=90°，∠E=30°，
∴∠F=90°﹣∠E=60°．
∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，
∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．
【考点】
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及外角的性质，解题的关键是要合理的运用外角和计算的时候要细致认真．
5、
3
(0,)
4
，
3
(0,)
4
或
1
(0,)
2
【解析】【分析】
设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，5
4
），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出
方程，即可得到答案．
【详解】
∵对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，
∴AE=CE，
∵OA=1，OC=2，
∴AB=OC=2，BC=OA=1，
∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m，
∴在Rt∆BCE中，BE2+ BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，
解得：m=5
4
，
∴E（1，5
4），
设点P坐标为（0，y），
∵△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，
当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-5
4
)2，解得：y=
3
4
±，
当EP=AE，则(1-0)2+(5
4
-y)2= (1-1)2+(0-
5
4
)2，解得：y=1
2
，
∴点 P的坐标为
3
(0,)
4
，
3
(0,)
4
-，
1
(0,)
2
，
故答案是：
3
(0,)
4
，
3
(0,)
4
-，
1
(0,)
2
．
【考点】
本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．
三、解答题
1、见解析
【解析】
【分析】
（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，利用等边对等角的性质可得∠ABE=∠A；结合三角形外角的性质可得∠BEC的度数，再在Rt△BCE中结合含30°角的直角三角形的性质，即可证明第（1）问的结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到
∠ABC=60°，至此不难判断△BCD的形状
【详解】
（1）证明：连结BE，如图．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
（2）解：△BCD是等边三角形．
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点．
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD.
又∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
【考点】
此题考查了线段垂直平分线的性质、30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握30°角的直角三角形的性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键，
2、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题．
（2）将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′．
【详解】
(1)点D及四边形ABCD的另两条边如图所示．
(2)得到的四边形A′B′C′D′如图所示．
【考点】
本题考查平移变换、轴对称的性质，解题的关键是理解轴对称的意义，图形的平移实际是点在平移．
3、见解析
【分析】
先证明BDF CEF ∆∆≌，得到BF CF =，FBC FCB ∠=∠，进而得到A ABC CB =∠∠，故可求解．
【详解】
证明：在BDF ∆和CEF ∆中
()DFB EFC FBD FCE
BD CE ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩
对顶角相等 ∴()BDF CEF AAS ∆∆≌
∴BF CF =
∴FBC FCB ∠=∠
又∵ABE ACD ∠=∠
∴FBC ABE FCB ACD ∠+∠=∠+∠
即A ABC CB =∠∠
∴ABC ∆是等腰三角形．
【考点】
此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．
4、①或②
【解析】
【分析】
选择条件①，可得到ADE AED ∠=∠，根据等角的补角相等可推出ADB AEC ∠=∠，再利用AB AC =得到B C ∠=∠，则可根据“AAS ”可判断ABD ACE △≌△，从而得到BD CE =；
选择条件②，可得到BAD CAE ∠=∠，利用AB AC =得到B C ∠=∠，则可根据“ASA ”可判断ABD ACE △≌△，从而得到BD CE =．
证明：选择条件①的证明为：
∵AD AE =，
∴ADE AED ∠=∠，
∴ADB AEC ∠=∠，
又∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
在ABD △和ACE 中，
B C ADB AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ABD ACE △≌△（AAS ），
∴BD CE =；
选择条件②的证明为：
∵BAE CAD ∠=∠，
∴BAD CAE ∠=∠，
又∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
在ABD △和ACE 中，
B C AB AC
BAD CAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ABD ACE △≌△（ASA ）
=．
∴BD CE
故答案为：①或②
【考点】
本题考查了全等三角形的判定与性质∶全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．本题也考查了等腰三角形的性质、等角的补角相等的知识．
5、（1）见详解，点C的坐标为（0，4）；（2）见详解；（3）16
【解析】
【分析】
（1）作B点关于y轴的对称点B'连接AB'与y轴的交点即为C点，即可求出点C的坐标；
（2）根据网格画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'即可；
（3）根据梯形面积公式即可求四边形AA'B'B的面积．
【详解】
解：（1）所要求作△ABC 如图所示，点C的坐标为（0，4）；
（2）△A'B'C'即为所求；
（3）点A，B，A'，B'的坐标分别为：（﹣3，1）、（﹣1，5）、（3，1）、（1，5）；
∴四边形AA'B'B的面积为：
1
()4
2
S AA BB
''
=+⨯梯形
= 1
2
（2+6）×4
＝16．
【考点】
本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．。