高一数学同步课件(北师大版2019必修第二册)4.1同角三角函数的基本关系(课件)
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例7：求证：−=+.
证明：由sin2θ+cos2θ=1有
− +−
=
−
−
(−)
=(−) (+)
−
=
，
α
M O
1x
课文精讲
➢ 由一个三角函数值求其他三角函数值
由角α的某一个三角函数值，利用sin2a+
cos2a=1和tanα=这两个关系式，可以求出
其他三角数值.
典型例题
例1：已知sina=
，且角α的终边在第二象限，
求和tanα的值.
解：由式sin2a+cos2a=1有
例3：已知tan =m(m≠0)，求和cosα的值.
解：从而cos2a= + .
因为tan=m≠0，即角的终边不在x轴、
y轴上，
典型例题
例3：已知tan =m(m≠0)，求和cosα的值.
解：所以cosα=
+
-
当是第一、第四
象限角
+
当是第二、第三
例4：已知 - cosα =- ，π＜α＜ π，求
tan的值.
解：由已知条件sin2a+cos2a=1有
-cosα=-
sin2a+cos2a=1
消去cosa，得25sin2a+5-12=0.
解方程，得= 或=- .
典型例题
➢ 综合应用
例4：已知 - cosα =- ，π＜α＜ π ，求
tan的值.
解：因为π＜＜ π， ＜0，所以
=− .
代入已知条件，得cosα =- .
典型例题
➢ 综合应用
例4：已知 - cosα =- ，π＜α＜ π，求
tan的值.
解：于是由tanα=有
+
−(+)(−)
=
(−)
−(−)
= (−)
−
=(−)=0.
于是− −
所以原式成立.
典型例题
➢ 综合应用
− −
呢？
−
典型例题
➢ 综合应用
证明恒等式，既可以利用恒等式的“左式
减右式为零”进行证明，也可以证明恒等式的
左式、右式分别等于同一个式子.
典型例题
➢ 综合应用
+
(cos
例6：求证：−=
≠0).
证明：由cos ≠0，知≠1，所以1- ≠0.
+
典型例题
➢ 综合应用
− −
sinα=
=
，
tanα= = ÷ − =− .
典型例题
例2：已知 =−
，求和tanα的值.
解：当的终边在第三象限时， ＜0，
sinα= −
=−
，
tanα= = − ÷ − = .
如图，任意角α的终边与单位圆的交点P
的坐标是(cos α ，sin α)，点P到坐标原点O的
距离为1，所以
sin2a+cos2a=1
y
P(cos α ，sin α)
α
M O
1x
课文精讲
➢ 基本关系式
另外，由正切函数的定义，有
tanα=
这两个关系式是同角三角函数的基
y
本关系式.
P(cos α ，sin α)
.
−
解：因为tanα==3，所以≠0.
+ + +
有−= =−=2.
−
典型例题
➢ 综合应用
思考交流
本例的解法比较巧妙，并不需要求得
+ +
和 的值，但如果题目换成
tanα== −
÷ −
=.
典型例题
➢ 综合应用
求三角函数值的时候，通常是利用同角三
角函数的基本关系和已知条件把问题归结为:
解正弦(或余弦)函数值的一个一元二次方程，
或者解正弦函数和余弦函数值的二元方程组.
典型例题
➢ 综合应用
例5：已知tanα=3，求
+
象限角
注意：利用平方关系求三角函数
值时，应根据角的终边所在的
象限确定所求三角函数值的符号.
典型例题
例3：已知tan =m(m≠0)，求和cosα的值.
解：=cosα tan
当是第一、第四
+ 象限角
=
当是第二、第三
−
+ 象限角
典型例题
➢ 综合应用
2
2
cos a=1-sin a=1=
.
又角α的终边在第二象限，cosa＜0，所
以cosa=-.
典型例题
例1：已知sina=
，且角α的终边在第二象限，
求和tanα的值.
解：tanα= =÷ − =- .
典型例题
例2：已知 =−
，求和tanα的值.
解：由式sin2a+cos2a=1有
sin2a=1-cos2a=1
−
= .
因为 =− ＜0，所以角的终边在第
二或第三象限.
典型例题
例2：已知 =−
，求和tanα的值.
解：当的终边在第二象限时， ＞0，
同角三角函数的基
本关系
授课教师：
故知新
测量和自选建模
作业的汇报交流
合作交流
学习目标
1.借助单位圆，理解同角三角函数值的基本关系
式，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角
函数值的方法；（重点）
2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、
化简三角式或证明三角恒等式.（难点）
课文精讲
➢ 基本关系式
典型例题
例3：已知tan =m(m≠0)，求和cosα的值.
解：由sin2a+cos2a=1和tanα= 这两个关系式，
有
sin2a+cos2a=1 ①
=m.②
由②式得sin2a=m2cos2a.③
将③式代入①式得m2cos2a+cos2a=1.
典型例题
证明：由sin2θ+cos2θ=1有
− +−
=
−
−
(−)
=(−) (+)
−
=
，
α
M O
1x
课文精讲
➢ 由一个三角函数值求其他三角函数值
由角α的某一个三角函数值，利用sin2a+
cos2a=1和tanα=这两个关系式，可以求出
其他三角数值.
典型例题
例1：已知sina=
，且角α的终边在第二象限，
求和tanα的值.
解：由式sin2a+cos2a=1有
例3：已知tan =m(m≠0)，求和cosα的值.
解：从而cos2a= + .
因为tan=m≠0，即角的终边不在x轴、
y轴上，
典型例题
例3：已知tan =m(m≠0)，求和cosα的值.
解：所以cosα=
+
-
当是第一、第四
象限角
+
当是第二、第三
例4：已知 - cosα =- ，π＜α＜ π，求
tan的值.
解：由已知条件sin2a+cos2a=1有
-cosα=-
sin2a+cos2a=1
消去cosa，得25sin2a+5-12=0.
解方程，得= 或=- .
典型例题
➢ 综合应用
例4：已知 - cosα =- ，π＜α＜ π ，求
tan的值.
解：因为π＜＜ π， ＜0，所以
=− .
代入已知条件，得cosα =- .
典型例题
➢ 综合应用
例4：已知 - cosα =- ，π＜α＜ π，求
tan的值.
解：于是由tanα=有
+
−(+)(−)
=
(−)
−(−)
= (−)
−
=(−)=0.
于是− −
所以原式成立.
典型例题
➢ 综合应用
− −
呢？
−
典型例题
➢ 综合应用
证明恒等式，既可以利用恒等式的“左式
减右式为零”进行证明，也可以证明恒等式的
左式、右式分别等于同一个式子.
典型例题
➢ 综合应用
+
(cos
例6：求证：−=
≠0).
证明：由cos ≠0，知≠1，所以1- ≠0.
+
典型例题
➢ 综合应用
− −
sinα=
=
，
tanα= = ÷ − =− .
典型例题
例2：已知 =−
，求和tanα的值.
解：当的终边在第三象限时， ＜0，
sinα= −
=−
，
tanα= = − ÷ − = .
如图，任意角α的终边与单位圆的交点P
的坐标是(cos α ，sin α)，点P到坐标原点O的
距离为1，所以
sin2a+cos2a=1
y
P(cos α ，sin α)
α
M O
1x
课文精讲
➢ 基本关系式
另外，由正切函数的定义，有
tanα=
这两个关系式是同角三角函数的基
y
本关系式.
P(cos α ，sin α)
.
−
解：因为tanα==3，所以≠0.
+ + +
有−= =−=2.
−
典型例题
➢ 综合应用
思考交流
本例的解法比较巧妙，并不需要求得
+ +
和 的值，但如果题目换成
tanα== −
÷ −
=.
典型例题
➢ 综合应用
求三角函数值的时候，通常是利用同角三
角函数的基本关系和已知条件把问题归结为:
解正弦(或余弦)函数值的一个一元二次方程，
或者解正弦函数和余弦函数值的二元方程组.
典型例题
➢ 综合应用
例5：已知tanα=3，求
+
象限角
注意：利用平方关系求三角函数
值时，应根据角的终边所在的
象限确定所求三角函数值的符号.
典型例题
例3：已知tan =m(m≠0)，求和cosα的值.
解：=cosα tan
当是第一、第四
+ 象限角
=
当是第二、第三
−
+ 象限角
典型例题
➢ 综合应用
2
2
cos a=1-sin a=1=
.
又角α的终边在第二象限，cosa＜0，所
以cosa=-.
典型例题
例1：已知sina=
，且角α的终边在第二象限，
求和tanα的值.
解：tanα= =÷ − =- .
典型例题
例2：已知 =−
，求和tanα的值.
解：由式sin2a+cos2a=1有
sin2a=1-cos2a=1
−
= .
因为 =− ＜0，所以角的终边在第
二或第三象限.
典型例题
例2：已知 =−
，求和tanα的值.
解：当的终边在第二象限时， ＞0，
同角三角函数的基
本关系
授课教师：
故知新
测量和自选建模
作业的汇报交流
合作交流
学习目标
1.借助单位圆，理解同角三角函数值的基本关系
式，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角
函数值的方法；（重点）
2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、
化简三角式或证明三角恒等式.（难点）
课文精讲
➢ 基本关系式
典型例题
例3：已知tan =m(m≠0)，求和cosα的值.
解：由sin2a+cos2a=1和tanα= 这两个关系式，
有
sin2a+cos2a=1 ①
=m.②
由②式得sin2a=m2cos2a.③
将③式代入①式得m2cos2a+cos2a=1.
典型例题