河北省张家口市2019-2020学年中考数学模拟试题含解析

河北省张家口市2019-2020学年中考数学模拟试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，二次函数y=ax 1+bx+c （a≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=1，且OA=OC ．则下列结论：①abc ＞0；②9a+3b+c ＞0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 1+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣
1
a
；⑤抛物线上有两点P （x 1，y 1）和Q （x 1，y 1），若x 1＜1＜x 1，且x 1+x 1＞4，则y 1＞y 1．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
2．在﹣3，0，4，6这四个数中，最大的数是（ ） A ．﹣3
B ．0
C ．4
D ．6
3．给出下列各数式，①2?--（） ②2-- ③2 2- ④
2
2-（） 计算结果为负数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4．下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6
B ．（a 2）3＝a 6
C ．a 6﹣a 2＝a 4
D ．a 5+a 5＝a 10
5．下列各点中，在二次函数2y x =-的图象上的是（ ） A ．()1,1
B ．()2,2-
C ．()2,4
D ．()2,4--
6．下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列现象，能说明“线动成面”的是（ ） A ．天空划过一道流星
B ．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹
C ．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线
D ．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 8．下列运算正确的是（ ） A ．x•x 4=x 5
B ．x 6÷x 3=x 2
C ．3x 2﹣x 2=3
D ．（2x 2）3=6x 6
9．为丰富学生课外活动，某校积极开展社团活动，开设的体育社团有：A ：篮球，B ：排球，C ：足球，D ：羽毛球，E ：乒乓球．学生可根据自己的爱好选择一项，李老师对八年级同学选择体育社团情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图），则以下结论不正确的是（ ）
A ．选科目E 的有5人
B ．选科目A 的扇形圆心角是120°
C ．选科目
D 的人数占体育社团人数的
1
5
D ．据此估计全校1000名八年级同学，选择科目B 的有140人
10．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（） A ．3y x =
B ．3y x
=
C ．1y x
=-
D ．2y x =
11．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是（ ） A ．27
B ．36
C ．27或36
D ．18
12．计算（－18）÷9的值是( ) A ．-9
B ．-27
C ．-2
D ．2
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交»AB 于点E ，以点O 为圆心，
OC 的长为半径作»CD
交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积为 .
14．已知方程2390x x m -+=的一个根为1，则m 的值为__________. 15．若二次函数y ＝－x 2－4x ＋k 的最大值是9，则k ＝______．
16．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D 是BC 的中点，点E 在BA 的延长线上，连接ED ，若AE=2，则DE 的长为_____．
17．抛物线 221y x =-的顶点坐标是________． 18．已知函数y=
1
x
-1，给出一下结论： ①y 的值随x 的增大而减小
②此函数的图形与x 轴的交点为（1，0） ③当x>0时，y 的值随x 的增大而越来越接近-1 ④当x≤
1
2
时，y 的取值范围是y≥1 以上结论正确的是_________（填序号）
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为BC 边上的点，AB=BD ，反比例函数()0k y k x =
≠在第一象限内的图象经过点D （m ，2）和AB 边上的点E （n ，2
3
）． （1）求m 、n 的值和反比例函数的表达式．
（2）将矩形OABC 的一角折叠，使点O 与点D 重合，折痕分别与x 轴，y 轴正半轴交于点F ，G ，求线段FG 的长．
20．（6分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 本（用含x 的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 21．（6分）已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是B 点，且抛物线与y 轴的交点是C 点，求△ABC 的面积． 22．（8分）x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与
12x≤2－3
2
x 都成立？ 23．（8分）如图，在平行四边形ABCD 中，24BC AB ==，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点． （1）求证：ABE ∆≌CDF ∆；
（2）当AE CE =时，求四边形AECF 的面积．
24．（10分）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC 中，点O 在线段BC 上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO ：CO=1：3，求AB 的长．
经过社团成员讨论发现，过点B 作BD ∥AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB= °，AB= ．请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥AD ，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°，BO ：OD=1：3，求DC 的长．
25．（10分）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
26．（12分）如图，▱ABCD 中，点E ，F 分别是BC 和AD 边上的点，AE 垂直平分BF ，交BF 于点P ，连接EF ，PD ．求证：平行四边形ABEF 是菱形；若AB ＝4，AD ＝6，∠ABC ＝60°，求tan ∠ADP 的值．
27．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠C是直角，点A在直线MN上，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．
（1）如图1，当C，B两点均在直线MN的上方时，
①直接写出线段AE，BF与CE的数量关系．
②猜测线段AF，BF与CE的数量关系，不必写出证明过程．
（2）将等腰直角△ABC绕着点A顺时针旋转至图2位置时，线段AF，BF与CE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程．
（3）将等腰直角△ABC绕着点A继续旋转至图3位置时，BF与AC交于点G，若AF=3，BF=7，直接写出FG的长度．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
【分析】
根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】
解：由抛物线的开口可知：a ＜0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ＜0，由抛物线的对称轴可知：2b
a
-＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；
令x=3，y ＞0，∴9a+3b+c ＞0，故②正确； ∵OA=OC ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确； ∵对称轴为直线x=1，∴﹣
2b
a
=1，∴b=﹣4a ． ∵OA=OC=﹣c ，∴当x=﹣c 时，y=0，∴ac 1﹣bc+c=0，∴ac ﹣b+1=0，∴ac+4a+1=0，∴c=41
a a
+-，∴设关于x 的方程ax 1+bx+c=0（a≠0）有一个根为x ，∴x ﹣c=4，∴x=c+4=1
a
-，故④正确； ∵x 1＜1＜x 1，∴P 、Q 两点分布在对称轴的两侧， ∵1﹣x 1﹣（x 1﹣1）=1﹣x 1﹣x 1+1=4﹣（x 1+x 1）＜0，
即x 1到对称轴的距离小于x 1到对称轴的距离，∴y 1＞y 1，故⑤正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 1+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．本题属于中等题型． 2．C 【解析】
试题分析：根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小．因此，
在﹣3，0，1这四个数中，﹣3＜0＜1，最大的数是1．故选C ． 3．B 【解析】
∵①(2)2--=；②22--=-；③224-=-；④2(2)4-=； ∴上述各式中计算结果为负数的有2个. 故选B. 4．B 【解析】 【分析】
根据同底数幂乘法、幂的乘方的运算性质计算后利用排除法求解． 【详解】
A 、a 2•a 3=a 5，错误；
B 、（a 2）3=a 6，正确；
C 、不是同类项，不能合并，错误；
D 、a 5+a 5=2a 5，错误； 故选B ． 【点睛】
本题综合考查了整式运算的多个考点，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错． 5．D 【解析】 【分析】
将各选项的点逐一代入即可判断． 【详解】
解：当x=1时，y=-1，故点()1,1不在二次函数2
y x =-的图象； 当x=2时，y=-4，故点()2,2-和点()2,4不在二次函数2
y x =-的图象；
当x=-2时，y=-4，故点()2,4--在二次函数2
y x =-的图象；
故答案为：D ． 【点睛】
本题考查了判断一个点是否在二次函数图象上，解题的关键是将点代入函数解析式． 6．C 【解析】 【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】
A ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
C ．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D ．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误． 故选C ． 【点睛】
掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
7．B
【解析】
【分析】
本题是一道关于点、线、面、体的题目，回忆点、线、面、体的知识；
【详解】
解：∵A、天空划过一道流星说明“点动成线”，
∴故本选项错误.
∵B、汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹说明“线动成面”，
∴故本选项正确.
∵C、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，
∴故本选项错误.
∵D、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹说明“面动成体”，
∴故本选项错误.
故选B.
【点睛】
本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键.点动成线、线动成面、面动成体. 8．A
【解析】
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一计算作出判断：
A、x•x4=x5，原式计算正确，故本选项正确；
B、x6÷x3=x3，原式计算错误，故本选项错误；
C、3x2﹣x2=2x2，原式计算错误，故本选项错误；
D、（2x2）3=8x，原式计算错误，故本选项错误．
故选A．
9．B
【解析】
【分析】
A选项先求出调查的学生人数，再求选科目E的人数来判定，
B选项先求出A科目人数，再利用A科目人数
总人数
×360°判定即可，
C选项中由D的人数及总人数即可判定，
D选项利用总人数乘以样本中B人数所占比例即可判定．
【详解】
解：调查的学生人数为：12÷24%=50（人），选科目E的人数为：50×10%=5（人），故A选项正确，
选科目A的人数为50﹣（7+12+10+5）=16人，选科目A的扇形圆心角是16
50
×360°=115.2°，故B选项
错误，
选科目D的人数为10，总人数为50人，所以选科目D的人数占体育社团人数的1
5
，故C选项正确，
估计全校1000名八年级同学，选择科目B的有1000×7
5
=140人，故D选项正确；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中找到准确信息．10．B
【解析】
y=3x的图象经过一三象限过原点的直线，y随x的增大而增大，故选项A错误；
y=3
x
的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故选项B正确；
y=−1
x
的图象在二、四象限，故选项C错误；
y=x²的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误；
故选B.
11．B
【解析】
试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（3）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（3）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
试题解析：分两种情况：
（3）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，
得：33-33×3+k=0
解得:k=37
将k=37代入原方程，
得：x3-33x+37=0
解得x=3或9
3，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去；
（3）当3为底时，则其他两边相等，即△=0，
此时：344-4k=0
解得：k=3
将k=3代入原方程，
得：x3-33x+3=0
解得：x=6
3，6，6能够组成三角形，符合题意．
故k的值为3．
故选B．
考点：3．等腰三角形的性质；3．一元二次方程的解．
12．C
【解析】
【分析】
直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．
【详解】
解：（-18）÷9=-1．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．3
12
π+.
【解析】
试题解析：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE=
2
6022 3603
π
π
⨯
=，
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）
=2290290121136036032
πππ⨯⨯---⨯（
=3
243ππ-+
=12π+ 14．1
【解析】
【分析】
欲求m ，可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m 值．
【详解】
设方程的另一根为x 1，又∵x=1， ∴1113
{•1=3
x m x +＝， 解得m=1．
故答案为1．
【点睛】
本题的考点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，主要考查利用韦达定理解题．此题也可将x=1直接代入方程3x 2-9x+m=0中求出m 的值．
15．5
【解析】y=−(x−2)2+4+k ，
∵二次函数y=−x2−4x+k 的最大值是9，
∴4+k=9，解得：k=5，
故答案为：5.
16．
【解析】
【分析】
过点E 作EF ⊥BC 于F ，根据已知条件得到△BEF 是等腰直角三角形，求得BE ＝AB ＋AE ＝6，根据勾股定理得到BF ＝EF ＝
DF ＝BF−BD
，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过点E 作EF ⊥BC 于F ，
∴∠BFE ＝90°，
∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，
∴∠B ＝∠C ＝45°，BC ＝2，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∵BE ＝AB ＋AE ＝6，
∴BF ＝EF ＝2
∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝2，
∴DF ＝2，
∴DE 22DF EF ＋22(32)(2)＋5
故答案为5
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 17．（0，-1）
【解析】
∵a=2，b=0，c=-1，∴-b 2a =0，2
414ac b a
-=- ， ∴抛物线221y x =-的顶点坐标是(0，-1)，
故答案为（0，-1）.
18．②③
【解析】
（1）因为函数11y x =
-的图象有两个分支，在每个分支上y 随x 的增大而减小，所以结论①错误； （2）由
110x -=解得：1x =， ∴11y x
=-的图象与x 轴的交点为（1，0），故②中结论正确； （3）由11y x
=-可知当x>0时，y 的值随x 的增大而越来越接近-1，故③中结论正确；
（4）因为在
1
1
y
x
=-中，当=-1
x时，2
y=-，故④中结论错误；
综上所述，正确的结论是②③.
故答案为：②③.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）y=2
x
；（2
【解析】【分析】
（1）根据题意得出
2
2
3
2
m n
m n
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，解方程即可求得m、n的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数
的解析式；
（2）设OG=x，则GD=OG=x，CG=2﹣x，根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可求得DG的长，过F点作FH⊥CB于H，易证得△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质求得FG，最后根据勾股定理即可求得．
【详解】
（1）∵D（m，2），E（n，2
3），
∴AB=BD=2，∴m=n﹣2，
∴
2
2
3
2
m n
m n
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，解得
1
3
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴D（1，2），∴k=2，
∴反比例函数的表达式为y=2
x
；
（2）设OG=x，则GD=OG=x，CG=2﹣x，在Rt△CDG中，x2=（2﹣x）2+12，
解得x=5
4
，
过F点作FH⊥CB于H，∵∠GDF=90°，
∴∠CDG+∠FDH=90°，∵∠CDG+∠CGD=90°，∴∠CGD=∠FDH，
∵∠GCD=∠FHD=90°，
∴△GCD∽△DHF，
∴DG CD
FD FH
=，即
5
1
4
2
FD
=，
∴FD=5
2
，
∴FG=
22
22
5555
24
FD GD
⎛⎫⎛⎫
+=+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何综合题，涉及了待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
20．（1）（300﹣10x）．（2）每本书应涨价5元．
【解析】
试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x 本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.
试题解析：
（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为300﹣10x．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，
整理，得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
21．（1）y＝－1
2
(x－3)2＋5（2）5
【解析】
【分析】
（1）设顶点式y=a（x-3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到B （5，3），再确定出C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】
(1)设此抛物线的表达式为y ＝a(x －3)2＋5，
将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得12a =-，
∴此抛物线的表达式为21(3) 5.2
y x =--+ (2)∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝3，
∴B(5，3)．
令x ＝0，211(3)522y x =--+=，则1(0)2
C ，， ∴△ABC 的面积11(51)3 5.22⎛⎫=
⨯-⨯-= ⎪⎝⎭ 【点睛】
考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.
22．－2，－1，0，1
【解析】
【详解】
解不等式5x ＋2＞3(x －1)得：得x ＞－2.5； 解不等式12x≤2－32
x 得x≤1.则这两个不等式解集的公共部分为 2.51x -≤＜ ， 因为x 取整数，则x 取－2，－1,0,1.
故答案为－2，－1，0，1
【点睛】
本题考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，最后确定公共的整数解（包括正整数，0，负整数）.
23．（1）见解析；（2）【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD ，BC=AD ，∠B=∠D ，求出BE=DF ，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）求出△ABE 是等边三角形，求出高AH 的长，再求出面积即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB CD =，BC AD =，B D ∠∠=，
∵点E 、F 分别是BC 、AD 的中点， ∴1
BE BC 2=，1DF AD 2
=， ∴BE DF =，
在ΔABE 和ΔCDF 中
AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔABE ≌ΔCDF （SAS ）；
（2）作AH BC ⊥于H ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC ，AD BC =，
∵点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，BC 2AB 4==，
∴1BE CE BC 22===，1DF AF AD 22
===， ∴AF //CE ，AF CE =，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵AE CE =，
∴四边形AECF 是菱形，
∴AE AF 2==，
∵AB 2=，
∴AB AE BE 2===，
即ΔABE 是等边三角形， BH HE 1==， 由勾股定理得：22AH 213=-=
∴四边形AECF 的面积是2323=．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24．（1）75；3（2）13
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=43，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=43，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【详解】
解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴
1
3 OD OB
OA OC
==．
又∵AO=33，
∴OD=1
3
AO=3，
∴AD=AO+OD=43．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=43．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴BO EO BE DO AO DA
==．
∵BO：OD=1：3，
∴
1
3 EO BE
AO DA
==．
∵，
∴
∴
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC ，
∴AB=2BE ．
在Rt △AEB 中，BE 2+AE 2=AB 2，即（2+BE 2=（2BE ）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=1．
在Rt △CAD 中，AC 2+AD 2=CD 2，即82+12=CD 2，
解得：
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD 的值；（2）利用勾股定理求出BE 、CD 的长度．
25．（1）甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；（1）至少销售甲种商品1万件．
【解析】
【分析】
（1）可设甲种商品的销售单价x 元，乙种商品的销售单价y 元，根据等量关系：①1件甲种商品与3件
乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比1件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；
（1）可设销售甲种商品a 万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
【详解】
（1）设甲种商品的销售单价x 元，乙种商品的销售单价y 元，依题意有：
23321500x y x y =⎧⎨-=⎩，解得900600x y =⎧⎨=⎩
：． 答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；
（1）设销售甲种商品a 万件，依题意有：
900a+600（8﹣a ）≥5400，解得：a≥1．
答：至少销售甲种商品1万件．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
26．（1）详见解析；（2）tan∠ADP＝．
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】
（1）证明：∵AE垂直平分BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE．
∵AF∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝2，
∴PH＝，DH＝5，
∴tan∠ADP＝＝．
【点睛】
本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．
27．（1）①AE+BF =EC；②AF+BF=2CE；（2）AF﹣BF=2CE，证明见解析；（3）FG=6 5
．
【解析】
【分析】
（1）①只要证明△ACE≌△BCD（AAS），推出AE=BD，CE=CD，推出四边形CEFD为正方形，即可解决问题；
②利用①中结论即可解决问题；
（2）首先证明BF-AF=2CE．由AF=3，BF=7，推出CE=EF=2，AE=AF+EF=5，由FG∥EC，可知
FG AF
EC AE
=，由此即可解决问题；
【详解】
解：（1）证明：①如图1，过点C做CD⊥BF，交FB的延长线于点D，
∵CE⊥MN，CD⊥BF，
∴∠CEA=∠D=90°，
∵CE⊥MN，CD⊥BF，BF⊥MN，
∴四边形CEFD为矩形，
∴∠ECD=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，
即∠ACE=∠BCD，
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，
在△ACE和△BCD中，
90
ACE BCD
AEC BDC
AC BC
∠∠
⎧
⎪
∠∠︒
⎨
⎪
⎩
＝
＝＝
＝
，
∴△ACE≌△BCD（AAS），
∴AE=BD，CE=CD，
又∵四边形CEFD为矩形，
∴四边形CEFD 为正方形，
∴CE=EF=DF=CD ，
∴AE+BF=DB+BF=DF=EC ．
②由①可知：AF+BF=AE+EF+BF
=BD+EF+BF
=DF+EF
=2CE ，
（2）AF-BF=2CE
图2中，过点C 作CG ⊥BF ，交BF 延长线于点G ，
∵AC=BC
可得∠AEC=∠CGB ，
∠ACE=∠BCG ，
在△CBG 和△CAE 中，
AEC CGB ACE BCG AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△CBG ≌△CAE （AAS ），
∴AE=BG ，
∵AF=AE+EF ，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF ，
∴AF-BF=2CE ；
（3）如图3，过点C 做CD ⊥BF ，交FB 的于点D ，
∵AC=BC
可得∠AEC=∠CDB ，
∠ACE=∠BCD ，
在△CBD 和△CAE 中，
AEC CDB ACE BCD AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△CBD ≌△CAE （AAS ），
∴AE=BD ，
∵AF=AE-EF ，
∴AF=BD-CE=BF-FD-CE=BF-2CE ，
∴BF-AF=2CE ．
∵AF=3，BF=7，
∴CE=EF=2，AE=AF+EF=5，
∵FG ∥EC ， ∴
FG AF EC AE
=， ∴325
FG =， ∴FG=65． 【点睛】
本题考查几何变换综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.。