创界学校普通高等学校招生国统一考试数学文试题广东卷,含答案 试题

智才艺州攀枝花市创界学校2021年普通高等招生全国统一考试数学文
试题〔卷，含答案〕
本套试卷一共4页，21小题，总分值是150分。

考试用时120分钟。

本卷须知：1．〔B 〕填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处〞。

2．选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项之答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或者签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求答题之答案无效。

4．答题选做题时．请先需要用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再答题。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

在在考试完毕之后以后，将试卷和答题卡一起交回。

参考公式：锥体的体积公式V =
1
3
sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，总分值是50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．
1．假设集合A =｛0，1，2，3｝，B =｛1，2，4｝，那么集合A
B =
A ．｛0，1，2，3，4｝
B ．｛1，2，3，4｝
C ．｛1，2｝
D ．｛0｝ 2．函数，f (x )=lg (x -1)的定义域是
A ．(2，+∞)B．(1,+∞)C．[1，+∞)D．[2，+∞) 3．假设函数f(x)=3x
+3
x
-与g(x)=3
3x
x --的定义域均为R ，那么
A ．f(x)与g(x)均为偶函数
B ．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C ．f(x)与g(x)均为奇函数
D ．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数
4．数列{n a }为等比数列，n
S 是它的前n 项和．假设2a *3a =2a 1，且4a 与27a 的等差中项为
5
4
，那么5s = A ．35B ．33 C ．31D ．29
5．假设向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3，x)满足条件(8a —b )·c =30，那么x= A ．6B ．5 C ．4D ．3
6．假设圆心在x 的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，那么圆O 的方程是
A ．22(5x y +=
B ．22(5x y +=
C ．2
2(5)
5x y -+=D ．22(5)5x y ++=
7．假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是 A ．
45B ．35C ．25D ．15
8．“x
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．非充分非必要条件
D ．充要条件
9．如图1，
ABC
为正三角形，
'''
////AA BB CC ，
'''
'32
CC BB CC AB ⊥=
==平面ABC 且3AA ，那么多面体'''ABC A B C -的正视图(也称主视图)是
10．在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下： 那么d ⊗
()a c ⊕=
A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
二、填空题：本大题一一共5小题．考生答题4小题．每一小题5分，总分值是20分．
〔一〕必做题(11～13题)
11．某城缺水问题比较突出，为了制定节水管理方法，
对全居民某年的月均用水量进展了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为1x ，…，4x (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，假设1x ，2x ，
3x 4x ，分别为1，1.5，1.5，2，那么输出的结果s 为.
12．某居民2021～2021年家庭年平均收入x 〔单位：万元〕与年平均支出
Y 〔单位：万元〕的统计资料如下表所示：
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是，家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系.
13．a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，假设a =1，b =3，A +C =2B ，那么sin A =.
〔二〕选做题〔14、15题，考生只能从中选做一题〕
14．〔几何证明选讲选做题〕如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，
AB =AD =a ，CD =
2
a
，点E ，F 分别为线段AB ，CD 的中点，那么EF =. 15．〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系〔ρ，θ〕〔02θπ≤＜〕中，曲线()cos sin 1ρ
θθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为
三、解答题：本大题一一共6小题，总分值是80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．〔本小题总分值是l4分〕
设函数
()3sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期．
〔1〕求()0f ； 〔2〕求
()f x 的解析式；
〔3〕
9
4125
f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值．
17．〔本小韪总分值是12分〕
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
〔1〕由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关
〔2〕用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名 〔3〕在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率． 18.(本小题总分值是14分)
如图4，
AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为
AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面
AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB =5a .
〔1〕证明：EB
FD ⊥；
〔2〕求点B 到平面FED 的间隔. 19.〔本小题总分值是12分〕
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .
假设一个单位的午餐、晚餐的费用分别是元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 20.〔本小题总分值是14分〕 函数()f x 对任意实数x 均有()(2)f x kf x =+，其中常数k 为负数，且()f x 在区间[]0,2上有表达
式
()(2)f x x x =-.
〔1〕求
(1)f -，(2.5)f 的值；
〔2〕写出()f x 在[]3,3-上的表达式，并讨论函数()f x 在[]3,3-上的单调性； 〔3〕求出
()f x 在[]3,3-上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
21.〔本小题总分值是14分〕 曲线2n C y
nx =：，点(,)(0,0)n n n n n P x y x y >>是曲线n C 上的点(1,2n =…).
〔1〕试写出曲线n C 在点n P 处的切线n l 的方程，并求出n l 与
y 轴的交点n Q 的坐标
〔2〕假设原点(0,0)O 到n l 的间隔与线段n n P Q 的长度之比获得最大值，试求试点n P 的坐标(,n n x y )； 〔3〕设m 与k 为两个给定的不同的正整数，n x 与
n y 是满足〔2〕中条件的点n P 的坐标，
证明：
n -1,2,)=…
参考答案
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，总分值是50分. 1．A2．B3．D4．C5．C 6．D7．B8．A9．D10．A
二、填空题：本大题一一共5小题，考生答题4小题，每一小题5分，总分值是20分。

11．12．13；正〔或者正的〕13．12
14．
2a .15．(1,)2
π 三、解答题：本大题一一共6小题，总分值是80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．〔本小题总分值是12分〕
解：〔1〕因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目。

所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的。

〔2〕应抽取大于40岁的观众的人数为：
273
553455
⨯=⨯=〔名〕 〔3〕用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至30岁有2名〔记为12,Y Y 〕，大于40岁有3名〔记为
123,A A A 〕，5
名
观
众
中
任
取
2
名
，
一
共
有
10
中
不
同
取
法
；
12111213212223121323,,,,,,,,,Y Y Y A Y A Y A Y A Y A Y A A A A A A A
设
A 表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有一名观众年龄为20至40岁〞，那么A 中的根本领件有HY
故所求概率为63()105
P A =
= 18．〔本小题总分值是14分〕 〔1〕证明：∵点E 为AC 的中点，且,AB BC AC =为直径
∴EB
AC ⊥
FC BED ⊥平面，且BE BED ∈平面
∴FC
BE ⊥
∵FC ∩AC=C ∴BE ⊥平面FBD ∵FD ∈平面FBD ∴EB ⊥FD
〔2〕解：∵FC BED ⊥平面，且BD BED ⊂平面
∴FC
BD ⊥ 又∵BC DC =
∴FD
FB ==
∴3
2
2
111
225332
3
F EBD
FED a V S EB a a a a -==-= ∵,EB BDF FB BDF ⊥⊂平面且平面
19．〔本小题总分值是12分〕
解：法〔一〕设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和
y 个单位，所花的费用为z 元，那么依
题意得： 2.54z
x y =+，且,x y 满足
0,0,12864,6642,61054.
x y x y x y x y ≥≥⎧⎪+≥⎪⎨
+≥⎪⎪+≥⎩即
0,0,
3216,7,3527.
x y x y x y x y ≥≥⎧⎪+≥⎪⎨
+≥⎪⎪+≥⎩
z 在可行域的四个顶点
(9,0),(4,3),(2,5),(0,8)A B C D 处的值分别是
比较之，B Z 最小，因此，应当为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求． 法〔二〕设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，那么依题意
得： 2.54z
x y =+，且,x y 满足
0,0,12864,6642,61054.x y x y x y x y ≥≥⎧⎪+≥⎪⎨
+≥⎪⎪+≥⎩即0,0,3216,7,3527.
x y x y x y x y ≥≥⎧⎪+≥⎪
⎨+≥⎪⎪+≥⎩
让目的函数表示的直线2.54x y z +=在可行域上平移，由此可知 2.54z x y =+在(4,3)B 处获得最
小值．
因此，应为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
0,()k f x <∴在[]3,1--与[]1,3上为增函数，在[]1,1-上为减函数；
〔3〕由函数
()f x 在[]3,3-上的单调性可知，
()f x 在3x =-或者1x =处获得最小值2(3)f k -=-或者(1)1f =-，而在1x =-或者3x =处获得最大值(1)f k -=-或者1(3)f k
=-
． 故有
①
1
k <-而
()
f x 在
3
x =-处获得最小值
2
(3)f k -=-，在
1
x =-处获得最大值
(1)f k -=-．
②1k
=-时，()f x 在3x =-与1x =处获得最小值(3)(1)1f f -==-，
在1x =-与3x =处获得最大值
(1)(3)1f f -==．
③10k -<
<时，()f x 在1x =处获得最小值(1)1f =-，在3x =处获得最大值1
(3)f k
=-
． 21
4n n
n x x ∴
=，即12n x n =
时，()n n n d x P Q 获得最大值14． 故所求点n P 的坐标为11
(
,)24n n ． 〔3〕由〔2〕知11
,24n n x y n n
==
，于是
1
1
1
s
s
n n ===<．
现证明
1,2,3,)s
n s =<=．
1
1
1
s
s
s
n n n ===<=∑
=++++-= 11)(s
故问题得证．。