精品解析：河北省衡水中学2021届高三上学期第四次调研考试文数试题解析(原卷版)

河北省衡水中学2021届高三上学期四调考试文数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.在空间中，下列命题错误的是（ ）
A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
B ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
C ．平行于同一平面的两个平面平行
D ．平行于同一直线的两个平面平行
2.设集合{}
2
20x x x P =-≤，0.53m =，则下列关系中正确的是（ ） A ．m ⊂P ≠B ．m ∈P C ．m ∉P D ．m ⊆P
3.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30，45，且A ，B 两点间的距离为60m ，则该建筑物的高度为（ ）
A ．()30303+m
B ．()30153+m
C ．()15303+m
D ．()
15153+m
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．1312π+
B ．112π+
C ．134π+
D ．14
π+ 5.已知正数组成的等比数列{}n a ，若120100a a ⋅=，那么714a a +的最小值为（ ）
A ．20
B ．25
C ．50
D ．不存在
6.设x ，y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩
，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的
取值范围为（ ）
A ．[]1,2-
B ．[]2,1-
C ．[]3,2--
D ．[]3,1-
7.若函数()y f x =的导函数为()y f x '=，且()2cos 26f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则()y f x =在[]0,π上的单调增区间为（ ）
A ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8.已知不等式422x x
a y y +-≤+
对任意实数x ，y 都成立，则常数a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 9.已知球的直径SC 4=，A ，B 是该球球面上的两点．2AB =，SC SC 45∠A =∠B =，则棱锥S C -AB 的体积为（ ）
A ．33
B ．233
C ．433
D ．533
10.已知1a =，2b =，a 与b 的夹角为3
π，那么4a b -等于（ ） A ．2B ．6C ．23D ．12
11.设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[]1,2-
B ．()1,2-
C ．[]2,1-
D ．()2,1-
12.设函数()f x 满足()()2
2x e x f x xf x x '+=，()2
28e f =，则0x >时()f x （ ） A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．既无极大值也无极小值
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的条件．（横线上填“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）
14.已知函数()()()()231log 1020x x x f x x +⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则()()101f f +-=．
15.设向量()1,2a =，21,n b a n n ⎛⎫=
⎪+⎝⎭
（n *∈N ），若//a b ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为．
16.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知函数()2
2sin3cos2
4
f x x x
π
⎛⎫
=+-
⎪
⎝⎭
，,
42
x
ππ
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
．设xα
=时()
f x取到最大值．
（1）求()
f x的最大值及α的值；
（2）在C
∆AB中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
12
π
α
A=-，且2
sin sin C sin
B=A，求b c
-的值．
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥CD
P-AB，侧面D
PA是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面CD
AB是C60
∠AB=
的菱形，M为C
P的中点．
（1）求证：C D
P⊥A；
（2）求点D到平面PAM的距离．
19.（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a的公比1
q>，
1
2
a=且
1
a，
2
a，
3
8
a-成等差数列．数列{}n b的前n项和为n S，且
28
n
S n n
=-．
（1）分别求出数列{}n a和数列{}n b的通项公式；
（2）设n
n
n
b
c
a
=，若
n
c m
≤，对于n*
∀∈N恒成立，求实数m的最小值．
20.（本题小满分12分）
如图，直三棱柱
111
C C
AB-A B中，D，E分别是AB，
1
BB的中点，
1
2
C C
2
AA=A=B=AB．
（1）证明：
1
C//
B平面
1
CD
A；
（2）求异面直线
1
C
B和
1
D
A所成角的大小；
（3）当22
AB=
1
C D
-A E的体积．
21.（本小题满分12分）
已知()ln f x x x =，()22ax g x =，直线:l ()32y k x k =--+． （1）函数()f x 在x e =处的切线与直线l 平行，求实数k 的值；
（2）若至少存在一个[]01,x e ∈使()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围；
（3）设k ∈Z ，当1x >时()f x 的图象恒在直线l 的上方，求k 的最大值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.（本小题满分10分）
如图，O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为O 上一点，C AE =A ，D E 交AB 于点F ，且24AB =BP =．
（1）求F P 的长度；
（2）若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．
23.（本小题满分10分）
已知函数()()
2log 12f x x x a =-++-．
（1）当7a =时，求函数()f x 的定义域；
（2）若关于x 的不等式()3f x ≥的解集是R ，求a 的取值范围．。