线性空间习题解答

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线性代数学习指导第四章线性空间

第五章线性空间一、内容提要⒈ 线性空间定义1 设V 是一个非空集合,P 是一个数域. 若在V 中定义的加法和数乘运算对集合V 封闭,且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V 为数域P 上的线性空间.线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量.设V 是数域P 上的线性空间, W 是V 的非空子集, 若W 对于V 的加法和数乘运算也构成数域P 上的线性空间, 则称W 为线性空间V 的一个线性子空间, 简称子空间. ⒉ 基、维数和坐标定义2 若线性空间V 中有n 个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V 是n 维线性空间,称V 中n 个线性无关的向量为V 的一组基,n 称为V 的维数,记作dim V = n ．注向量组12,,,n ααα是V 的一组基⇔12,,,n ααα是V 中的n 个线性无关向量且V中的任一向量α可由12,,,n ααα线性表示.向量组12,,,s ααα生成的空间L (12,,,s ααα)的一组基就是12,,,s ααα的一个极大无关组, 其维数就是向量组12,,,s ααα的秩.定义3 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, α 为V 中的任一向量, 若1122n n x x x αααα=+++则称数12,,,n x x x 为向量α 在基12,,,n ααα下的坐标, 记作 12(,,,)n x x x .向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式.定义4 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 且（12,,,n βββ）=（12,,,n ααα）C (1)称C 为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵,（1）式称为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的基变换公式．定理1 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 由基12,,,nααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C = n n ij c ⨯)( ,即（12,,,n βββ）=（12,,,n ααα）C若向量α 在这两组基下的坐标分别为 ()n x x x ,,,21 与 ()n y y y ,,,21 , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y C x x x 2121 ⒊ 线性空间同构定义5 设V 与W 都是数域P 上的线性空间,如果由V 到W 有一个双射（一一对应）σ, 且σ具有如下性质：,,(1) ()()()(2) ()()V k Pk k αβσαβσασβσασα∀∈∈+=+= 则称线性空间V 与W 同构,并称σ为由V 到W 的同构映射.注数域P 上任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同.定理2 设线性空间V 与W 同构,σ是由线性空间V 到W 的同构映射, 则V 中向量12,,,s ααα线性相关的充要条件是它们的像12(),(),,()s σασασα线性相关.⒋ 向量的内积、长度、距离、夹角定义6 设V 是实数域R 上的线性空间, 如果在V 上定义了一个二元实函数, 称为内积, 记作(,)αβ, 且它具有以下性质: ,αβγ,是V 中任意向量,k 是任意实数(1) (,)(,)(2) (,)(,)(3) (,)(,)(,)k k αββααβαβαβγαγβγ==+=+ (4) (,)0,ααα≥=当且仅当θ时,（α,α）= 0这个定义了内积的线性空间V 称为欧几里得空间,简称欧氏空间.当n R 的向量为列向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=. 当n R 的向量为行向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=., , ,V αααα设是欧氏空间中任一向量称非负实数（）为向量的长度或模,α记作即,ααα=（）向量αα是单位向量, 将非零向量α化为单位向量称为将向量α单位化．βα-称为向量α 与β的距离,记作(,)d αβ, 即(,)d αβ=αβ-.柯西-布捏柯夫斯基不等式: (,)αβαβ≤⋅ , 当且仅当α 与β 线性相关时, 等号成立.定义7 设α,β 为欧氏空间V 中的非零向量, 定义α ,β 的夹角ω为(),arccosαβωαβ=⋅ （ 0 ≤ ω ≤ π）若(,)αβ= 0, 则称α与β正交（或垂直）, 记作βα⊥ ．5.向量组的正交化一组两两正交的非零向量组称为正交向量组. 正交向量组一定线性无关. 定义8 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, 若12,,,n ααα两两正交且都为单位向量, 则称它为V 的一个标准正交基.向量组12,,,n ααα是n 维欧氏空间V 中的一组标准正交基的充要条件是()01ij i ji j αα≠⎧=⎨=⎩,,, ,1,2,,i j n =.任何一组线性无关的向量组12,,,m ααα都可用Schmidt(施密特)正交化方法化为正交向量组12,,,m βββ, 且12,,,m βββ与12,,,m ααα等价.取 11αβ=, ()()1222111βαβαβββ=-,,,()()()()()()121121112211,,,,,,i i i i i i i i i βαβαβαβαβββββββββ----=----（i = 3 , 4 , …, m ）将向量组1β ,2β ,… ,m β 中的每个向量单位化, 令iii ββη=（i = 1 , 2 , … , m ）则得到一个与原向量组12,,,m ααα等价的标准正交向量组1η,2η,… ,m η.6. 正交矩阵定义9 设Q 为n 阶实矩阵, 若TQ Q = E , 则称Q 为正交矩阵. 正交矩阵的性质：（1）若Q 为正交阵，则 Q = 1 或－1 ；（2）若Q 为正交阵，则Q 可逆，且 1-Q=T Q ；（3）若P ，Q 都是n 阶正交矩阵，则P Q 也是n 阶正交矩阵；（4）n 阶实矩阵Q 为正交矩阵的充要条件是Q 的列（行）向量组是n R 的标准正交基.二、重点难点1. 判定集合是否构成线性空间.2. 线性空间的基、维数, 向量在基下的坐标等概念以及过渡矩阵、基变换与坐标变换公式.3. 欧式空间以及内积的概念和运算性质, 用内积运算进行证明.4. 用施密特正交化方法将线性无关的向量组正交化.5. 正交矩阵的概念及其性质.三、学习要求1. 了解线性空间、子空间的概念, 理解向量空间的基和维数, 会求向量关于基的坐标,熟悉坐标变换公式.2. 了解线性空间同构的概念.3. 了解向量的内积、长度、距离、夹角、正交等概念, 掌握内积运算的性质.4. 理解标准正交基的概念, 掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.5. 掌握正交矩阵的概念及其性质.四、典型题分析例1 全体n 维实向量集合V , 对于通常的向量加法和如下定义的数乘运算,,k V k R ααα=∈∈其中是否构成实数域上的线性空间.解设,, k l R α∈是集合V 中的非零向量.因为()2k l k l ααααααα+=+=+=而,所以()k l k l ααα+≠+, 故此集合不构成实数域上的线性空间.注检验集合是否构成线性空间的方法:如果所定义的加法和数乘运算是通常意义下的加法和数乘运算, 则它们满足线性运算的八条运算规则, 因此只需检验集合对运算的封闭性. 如果所定义的加法和数乘运算不是通常意义下的加法数乘运算, 则不仅要检验集合对运算的封闭性, 还要仔细检验加法和数乘运算是否满足八条线性运算规律. 例2 求向量空间(){1212,,,0,,1,2,,,n n i V x x x x x x x R i n =+++=∈=}2n ≥的基和维数.分析先找出向量空间V 的一组基, 即找出一组线性无关的向量, 使得V 中任一向量可由这组向量线性表示.解在向量空间V 中取1n -个向量1(1,1,0,0,,0)α=-, 2(1,0,1,0,,0)α=-,,1(1,0,0,,0,1)n α-=-, 显然121,,,n ααα-线性无关.对V 中任一向量12(,,,)n x x x α=, 以121,,,,n αααα-为行构造矩阵A ,则1123110010101001ni i nA x x x x x =--===-∑, 从而121,,,,n αααα-线性相关, 又因为121,,,n ααα-线性无关, 所以α可由121,,,n ααα-线性表示.故121,,,n ααα-是V 的基, V 的维数是1n -.注这个向量空间V 就是齐次线性方程组120n x x x +++=的解空间, V 的一组基就是齐次线性方程组的一个基础解系. 例3 设12,,,n t t t 是互不相同的实数,证明向量组21(1,,,,),1,2,,n i i i i t t t i n α-==是n 维向量空间n R 中的一组基. 并求出向量()12,,,n b b b β=在这组基下的坐标.分析 12,,,n ααα是n 维向量空间n R 中的n 个向量, 只需证明12,,,n ααα线性无关即可.证令21111121222221111n n n n nnn t t t t t t A t t t ααα---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为12,,,n t t t 是互不相同的实数,所以()121111121110n T ji i j nn n n nt t t A A tt ttt≤<≤---===-≠∏⇒12,,,n ααα线性无关.所以12,,,n ααα是n 个线性无关的n 维向量, 构成n 维向量空间n R 中的一组基. 设β在基12,,,n ααα下的坐标为()12,,,n x x x , 则有1122n n x x x βααα=+++⇒β=()()121212,,,,,,n n n x x x x x x A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.因为A 可逆, 所以()112,,,n x x x A β-=. 故β在基12,,,n ααα下的坐标为1A β-.例4 设3R 中的向量α在基1231032,1,2111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标为123x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,在基123,,βββ下的坐标为123y y y ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 且11232123132y x x x y x x y x x =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩ （1）123123,,,,;βββααα求由基到基的过渡矩阵（2）求基123,,βββ. 解 (1)由题有111232123233(,,)(,,)x y x y x y ααααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112323111(,,)110102x x x βββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123111(,,)(,,)110102αααβββ--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(*),所以123123,,,,C βββααα由基到基的过渡矩阵=111110102--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 由（*）式得123(,,)βββ=123(,,)ααα1111110102---⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭123(,,)ααα=221231110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭111431342--⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭,故1231114,3,1342βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例 5 设,a b 是欧氏空间中的任意向量, 证明平行四边形法则(对角线的平方和等于四边的平方和).证设,a b 是平行四边形的两条邻边, 则a b a b +-和为两条对角线. 因为22(,)(,)a b a b a b a b a b a b ++-=+++--(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)a a a b b b a a a b b b =+++-+ 222()a b =+.所以平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和.例 6 1212,,,,(,)0i j ααββαβ=设线性无关线性无关且满足, 1,2,1,2.i j ==证明:1212,,,ααββ线性无关.证设有数1212,,,,k k λλ使得112211220k k ααλβλβ+++= (*) 上式两边分别与12,αα做内积, 由(,)0i j αβ=,1,2,1,2.i j ==得111221112222(,)(,)0(,)(,)0k k k k αααααααα+=⎧⎨+=⎩ (**) 由柯西-布捏柯夫斯基不等式及12,αα线性无关得112121122211222(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)αααααααααααααα=->.故方程组(**)只有零解120k k ==, 将其代入(*), 由已知12,ββ线性无关, 得120λλ==. 于是得1212,,,ααββ线性无关.例7 将R 3的一组基1231100,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )利用施密持正交化方法将其正交化取1110,1βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 1222111111/2(,)1101 (,)2011/2βαβαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,132333*********/22/3(,)(,)11/21012/323/2(,)(,)111/22/3βαβαβαββββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123,,βββ则是正交向量组.(2 ) 将123,,βββ单位化11122233322, 62, 3, 3T T Tβββββββββ====3121231236320, 26, 3 263βββηηηβββ⎡⎤⎡-⎡⎢⎥⎢⎢∴======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦,则123,,ηηη为R 3的一组标准正交基.例8 设m+n 阶矩阵P O A R Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中P , Q 分别是m , n 阶矩阵, O 为零矩阵.证明: 若A 为正交矩阵, 则P 和Q 也是正交矩阵且R 为零矩阵. 分析用正交矩阵的定义证证由题知TT TTT P R A OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因A 为正交矩阵, 所以 TT T T T mT TT T T n E P O P R P P R R R Q A A E R Q OQ Q R Q Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 上式最后一个等号两边比较得 T n Q Q E Q =⇒为n 阶正交矩阵.T R Q O =且Q 可逆⇒R O =.T T m P P R R E +=且R O =T m P P E ⇒=⇒P 是m 阶正交矩阵.五、习题解析习题5. 11．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈,所以R +对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕;(2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;(4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;(7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;()(8)()().a b ab ab a b a b a b λλλλλλλλλ⊕====⊕=⊕所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为A B AB BA ⊕=-按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答否.,()A B AB BA B A BA AB AB BA ⊕=-⊕=-=--A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间. 答否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.习题1．讨论22P ⨯中1234111111,,,111111a a A A A A a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的线性相关性.解设11223344x A x A x A x A O +++=,即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 3 1 , , a a =-=或时方程组有非零解这组向量线性相关. 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中1234010011001111ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111，=，=，=，3010解设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).2212342347P ααααα⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000 解设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩.由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知3R 的两组基（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3）已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.解（1）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.（3）β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(4) 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.5．已知P [x ]4的两组基（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).解 ( 1 ) 设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101*********(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 10110111100011101110101101000011 1100110100100112100111000011113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪-⎪∴= ⎪- ⎪---⎝⎭. （2）设多项式f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 （*）因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组（*）只有零解，则f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T，所以f (x ) = 0习题证明线性方程组1234512345123453642022353056860x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪+--+=⎨⎪--+-=⎩ 的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.316421568622353043751568600000A -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1．求向量()1,1,2,3α=- 的长度. 解 22221(1)2315α=+-++.2．求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解 (,)d αβ=2222(12)(10)(01)(13)7αβ-=-+--+-+-. 3．求下列向量之间的夹角（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,,（3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，解（1）(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.（2）(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=,22222222122318,31516,αβ+++=+++=,4618πβ∴==.（3）(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=,11147α=+++, 911011β=+++=,77αβ∴=.3．设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+. 证明因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+-22(,)(,)(,)(,)(,)2(,)(,)2αγαγαγγβγβαγγβγβαγαγαγγβγβγβαγαγγβγβ=--+--+--+--=--+--+--≤-+-⋅-+-所以22()αβαγγβ-≤-+-, 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1．在4R 中，求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，，正交.解设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交, 则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即（*）. 齐次线性方程组(*)的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2．将3R 的一组基1231,2,1111ααα ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 132********1122113121020(1)()1(,)(,)2333100121(,)(,)3()()()11333123βαβαβαββββββ⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎪-⨯+⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++- ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭(2 ) 将123,,βββ单位化***123362,,036236βββ⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝则*1β,*2β,*3β为R 3的一组基标准正交基. 3．求齐次线性方程组123451235300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+-+=⎩ 的解空间的一组标准正交基.分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵11113111011110100014---⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭可得齐次线性方程组的一个基础解系123100,,010004001ηηη ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法, 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将123,,βββ单位化得单位正交向量组***12311/21/311/21/33,,011/326213004001βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以*1β,*2β,*3β是解空间的一组标准正交基.3．设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明: 1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i 10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵, 所以T A A E =. 则⎩⎨⎧=≠====j i j i A A A A A A j T i j T T i j T i j i10)()()(),(αααααααα (,1,2,,)i j n = 故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基. 5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明112321233123111(22),(22),(22)333βαααβαααβααα=+-=-+=--也是V 的一组标准正交基. 证明由题知()()1231232211,,,,2123122βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭因为是一组标准正交基,且的行向量组是单位正交向量组.()1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭所以和都是正交矩阵.()123,,.βββ从而也是正交矩阵123,,βββ所以是单位正交向量组, 构成V 的一组标准正交基.习题五 (A)一、填空题1．当k 满足时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠, 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩, 故答案为1.3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解根据定义, 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x , 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算 ()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换，所以123(,,)x x x = (33,-82,154).4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 . 解因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=, 则12a =或1. 故答案为12a =. 二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111 （B ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212 （C ） (){}R x x x x x x x V i n n∈=+++=,1,,,21213(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C ）.2.331,23P A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为（）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解向量组A =123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩, 故选（A ）. 331231223311223311223123123123123,,( )() ,, ()2,23,3() ,,2 () ,2322,355R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααααααα++-+++++++++-++-3.已知是的基,则下列向量组是的基.解因 ( B )选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）, 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆，所以1223312,23,3αααααα+++线性无关.故选（B ）.33123122313122331122313122313,, () ,, () 2,2,2() ,, () 2,2,2R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααα++++++------4.已知是的基,则下列向量组（）不是的基. 解因122313 ()()()0αααααα-+---=, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C ）. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选（B ）6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k 为数）解 A, B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选（C ）.7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵选（B ）(B)1．已知4R 的两组基（Ⅰ）： 1234, αααα,,（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解（１）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. （2）设在两组基下有相同坐标的向量为α, 又设α在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为),,,(4321x x x x , 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即 1234()x x E C x x ⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 （*）齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1)η=, 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈．故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.312312313123122323133123123123123123,, ,, ,, (1),, ,, ,, ;(3) 2 ,,R R αααβββββαααββααββααββββββαααααααβββ+=+++=++=+=+-2.已知是的基,向量组满足证明是的基;(2)求由基到基的过渡矩阵求向量在基下的坐标.解 ( 1 ) 由题有123123110101(,,)011(,,)110101111βββααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⇒123123001(,,)(,,)100111222βββααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因 0011001112220≠，所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量，构成3 R 的基. (2 ) 因为123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为412341234123412341234123412002100,,,,0012002121001100,,,,003500121,,2 2R ααααββββααααββββααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=++-3.设的两组基,与=，，且由基,到基,的过渡矩阵为（）求基,；（）求向量1234,,ββββ在基,下的坐标.解 (1) 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 )11234123412341111 2(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.222123324. ()1,()12,()123[]()6914f x x x f x x x f x x x P x f x x x =++=++=++=++证明是线性空间的一组基,并求在这组基下的坐标.证明设112233()()()0t f x t f x t f x ++=,则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++= 即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组（*）只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关, 构成3[]P x 线性空间的一组基. 设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++ 则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为（1, 2, 3）. 5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A = 020010a bc ⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解要使矩阵A 为正交阵，应有 T AA E = 001002200100100010001a b a c bc ⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⇒=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222101002201001000102a ac acbc ⎛⎫++ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪++⎪⎭⇒2221120 21a ac b c ⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩①121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 6．设 α 是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T T E A αααα）（/2-=为正交矩阵. 证明因为α 是n 维非零列向量, T αα所以是非零实数.又22TTT T T T T A E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,所以22 T T T T T A A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2224444()()T T T T T TTTTTE E Eαααααααααααααααααααα=-+=-+=故A 为正交矩阵．7．设TE A αα2-=, 其中12,,,Tn a a a α=（）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明因为A E E E A TTTTTTT=-=-=-=αααααα2)(2)2(，所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=, 所以A 为正交阵.8. , , , 0.A B n A B A B =-+=设均为阶正交矩阵且证明证明因为, ,A B n 均为阶正交矩阵所以0T A A =≠且T T T T T T TA AB E A B B B A B B A BB A B B A B+=+=+=+⋅=+⋅=⋅+（）()0200T A B A B A A B A B ⇒-⋅+=⇒⋅+=⇒+=.。

高等代数第7章习题参考答案

,
即证 ,A , A ( >0)线性无关。
11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量使得A ，求证A在某组下的矩阵是。
证由上题知, ,A ,A , A 线性无关，故 ,A ,A , A 为线性空间V的一组基。又因为A A + A ，
A(A )= + A + A + A ，
……………………………
于是D 与D 为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵,故
与相似。
17.如果A可逆,证明AB与BA相似。
证因A可逆,故A 存在，从而A (AB)A=( A A)BA=BA，所以AB与BA相似。
18.如果A与B相似，C与D相似，证明：。
证由已知，可设B=X AX, D=Y CY，则 = ，
这里 = ，故与相似。
A = ( )+( ) + ，
故A基下的矩阵为。
10.设A是线性空间V上的线性变换，如果A 0,但A =0，求证：
,A , A ( >0)线性无关。
证设有线性关系，
用A 作用于上式,得
A =0(因A 对一切n 均成立)，
又因为A 0,所以 ,于是有
，
再用A 作用之,得 A =0.再由,可得 =0.同理,继续作用下去,便可得
2)[o; , ]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对的垂直投影，求A,B,AB在基 , 下的矩阵；
3)在空间P[x] 中，设变换A为，
试求A在基 = (I=1,2, ,n-1)下的矩阵A；
4)六个函数 =e cos , =e sin ， = e cos , = e sin ，
19.求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩阵为：

(完整版)第六章线性空间练习题参考答案

第六章线性空间练习题参考答案一、填空题1.已知0000,,00V a bc a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭是33R ⨯的一个子空间，则维（V ）＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈=是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++.5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，而α在基321,,εεε下的坐标是321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n -维线性空间，数域P 上n 级上三角矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级对交矩阵全体构成数域P 上n 维线性空间，数域P 上n 级数量矩阵全体构成数域P 上 1 维线性空间.二、判断题1.设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W 中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）2.已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，且维(V ）＝2. 错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)i i .3.设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解空间，V 1是AX ＝0的解空间，V 2是(A ＋B)X ＝0的解空间，则12V V V =.正确. 12V V 中的向量既满足AX ＝0，又满足(A ＋B)X ＝0，因此也满足BX ＝0，即满足0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即为V 中的向量.反之，V 中的向量既在1V 中，又在2V 中，即为12V V 中的向量.因此12V V V =.4.设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,s ααα线性表出，则维(W)＝s.正确.根据定理1.5.设W 是线性空间V 的子空间，如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有.W αβ+∉错误.可能.W αβ+∈如取,αβ为一对互为负向量，则0.W αβ=+∈ 6. }0|),,{(33321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间.正确. 基为（1,0,0），（0,1,0），维数为2. 7.}1|),,{(23321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 错误.不包含零向量.8.}|),,{(3213321x x x R x x x W ==∈= 是3R 的子空间. 正确.基为（1,1,1），维数为1.9.}|),,{(3213321x x x R x x x W -=∈= 是3R 的子空间. 正确. 基为（1,1,0），（1,0，-1），维数为2. 三、计算题1.求所有与A 可交换的矩阵组成的nn P ⨯的子空间()C A 的维数与一组基，其中100020003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.解：设矩阵33()ij B b ⨯=与A 可交换，即有AB BA =.即111213111213212223212223313233313233100100020020003003b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.111213111213212223212223313233313233232222333323b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以有,()0,,1,2,3.ij ij ij ib b j i j b i j =-==当i j ≠时，0ij b =，因此11223300()0000b C A b b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪=⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭ 维数为3，基为112233,,E E E .2.在线性空间P 4中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=- 1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====--- 解：令过渡矩阵为T ，则有10111432131401238761001232210001T --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭因此1143210112379801231314633100128761232100132213221T ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令1234114324012320012301x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112341432114113611010123401274210012200122400013000133x x x x -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标为（-101,21，-4,3）四、证明题1.V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕证明：W 1、W 2 分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然W 1、W 2均为非空的.由奇偶函数的性质可得W 1、W 2皆为V 的子空间.()()()()(),()22f x f x f x f x f x V f x +---∀∈=+. 而12()()()(),22f x f x f x f x W W +---∈∈，因此12.V W W =+又12{0}.W W =所以12.V W W =⊕2.设W 是P n 的一个非零子空间，若对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说，或者120n a a a ====，或者每一个i α都不等于零，证明：维(W)＝1.证明：由W 是P n 的一个非零子空间，可得W 中含有非零向量设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==是W 中的任二个非零向量，由题意可得每一个,i i a b 都不等于零.考虑向量11112112121211(,,,)(,,,)(0,,,)n n n n b a b a a a a b b b b a a b b a a b W αβ-=-=--∈.由题设条件有1212110n n b a a b b a a b -==-=，即有1212n na a ab b b ===.即W 中的任二个非零向量均成比例，因此维(W)＝1.。

线性代数第4章向量空间 - 习题详解

第4章向量空间4.1 向量及其线性组合练习4.11. 设1231031,1,4010ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求12αα-及12332ααα+-.解 12101011111001011αα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦12332ααα+-10330303121432410100202⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2. 设 1233()2()5()αααααα-++=+,求α. 其中1232104511,,1513101ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解由1233()2()5()αααααα-++=+得12362020611525122111(325)31051836669205244αααα⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-== ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭3. 将线性方程组12312312310232x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩写成向量形式及矩阵形式.解向量形式：123111*********x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦矩阵形式：123111*********x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦4. 设123,,,αααβ是已知列向量，若122ααβ+=，记矩阵123[,,]A ααα=，求线性方程组Ax β=的一个解.解由12320αααβ++=得方程组Ax β=的一个解为T [1,2,0]x =5. 问β是否可由向量组4321,,,αααα线性表示？其中（1）12341111121111,,,,1111111111βαααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）12342111201022,,,,0124231132βαααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解（1）令[]123411111111,,,11111111A αααα⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦由[]111111005/41111201001/41111100101/41111100011/4r A β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦得Ax β=有唯一解[]T15,1,1,14x =--，从而β可由向量组4321,,,αααα唯一线性表示： 23451114444βαααα=+--（2）令[]123411121022,,,12421132A αααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由[]111221220102200110012420000011132300000r A β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得Ax β=无解，从而β不能由向量组4321,,,αααα线性表示.6. 已知12341111101121,,,,2324335185a b a ααααβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）,a b 取何值时，β不能由4321,,,αααα的线性表示？（2）,a b 取何值时，β可由4321,,,αααα唯一线性表示式？并写出表示式. 解令[]1234,,,A αααα=，考察方程组Ax β=是否有解.[]11111011212224335185A a b a β⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦1111101121012102252r a b a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦1111101121001000010r a b a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦（1）当0,1≠-=b a 时，方程组Ax β=无解，故β不能由4321,,,αααα的线性表示. （2）当1-≠a 时，继续进行初等行变换[]A β2100011111101121101001001010010101000010rr b a a b a b b a a -⎡⎤⎢⎥⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→−−→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦得方程组Ax β=有唯一解：T21,,,0111b a b b x a a a ++⎡⎤=-⎢⎥+++⎣⎦故β可由4321,,,αααα的唯一线性表示. 表示式为：1234210111b a b ba a a ++=-++++++βαααα 7. 用标准坐标向量证明：如果对任意向量x 有0Ax =，则A 是零矩阵. 证设12[,,,]n A ααα= 是m n ⨯矩阵. 特别地取(1,2,,)n i x e R i n =∈= ，则0(1,2,,)i i Ae i n α===即A O =.8. 设向量组12,ββ可由向量组123,,ααα线性表示如下：112321232,βαααβααα=+-=-+写出形如（4.5）的矩阵形式.解[][]1212321,,,1111ββααα⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦9. 设123123032204103124,,,,,210111321213αααβββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明向量组{}123,,βββ可由向量组{}123,,ααα线性表示，但向量组{}123,,ααα不能由向量组{}123,,βββ线性表示. 证令[]123,,A ααα=，[]123,,B βββ=由[]400111040222004135000000rA B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦知向量组{}123,,βββ可由向量组{}123,,ααα线性表示. 由[]204032022012000210000000rBA ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦知12,αα都不能由向量组{}123,,βββ线性表示，故向量组{}123,,ααα不能由向量组{}123,,βββ线性表示.10. 设12123011131,1,0,2,210111ααβββ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明向量组{}12,αα与向量组{}123,,βββ等价.方法1 令[][]12123,,,,A B ααβββ==. 由[]101110111300000rA B -⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦知向量组{}123,,βββ可由向量组{}12,αα线性表示.[]1020.50.50110.50.500000rBA --⎡⎤⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知向量组{}12,αα可由向量组{}123,,βββ线性表示.所以{}{}12123,,,ααβββ≅.方法2 令T1TT 12T T 23,A B βαβαβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，则101011rA -⎡⎤−−→⎢⎥⎣⎦，101011000rB -⎡⎤⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦记T T12[1,0,1],[0,1,1]γγ=-=，根据行等价矩阵的行向量组等价，由上知{}{}{}{}121212312,,,,,,ααγγβββγγ≅≅所以{}{}12123,,,ααβββ≅.4.2 向量组的线性相关性练习4.21. 证明：含有零向量的向量组必线性相关. 证不妨设向量组为{}123,,ααα，其中10α=，则1231000ααα++=根据定义{}123,,ααα线性相关.2. 证明：含两个向量的向量组线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例. 问含三个向量的向量组线性相关的充要条件是不是它们对应的分量成比例？证设112212[,,,],[,,,]T T n n a a a b b b αα== 且{}12,αα线性相关. 于是存在不全为零的数12,k k 使得11220k k αα+=，不妨设10k ≠，从而21221k k k ααα==，即 (1,2,,)i i a kb i n ==即1α与2α的对应分量成比例.反之，如果(1,2,,)i i a kb i n == ，则12k αα=,即1210k αα-=，故{}12,αα线性相关.由三个向量构成的向量组如果对应分量成比例，则显然线性相关. 但线性相关，它们的对应分量不一定成比例. 如123111,,123ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦或1231121,2,3134ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 判别下列向量组的线性相关性：（1）[]12,5Tα=，[]21,3Tα=-（2）[][][]1231,2,3,0,2,5,1,0,2TTTααα=-=-=- （3）[][][]1232,4,1,1,0,1,2,0,1,1,1,3,0,0,1TTTααα==-=解（1）令1221[,]53A αα-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，由110A =≠，知A 是可逆矩阵，故其列向量组{}12,αα线性无关.（2）类似（1），由 1012200352--=-，得{}123,,ααα线性相关. (3) 易知向量组()()()T T T 1,0,0,1,1,0,0,1,1321===βββ线性无关，而向量组{}123,,ααα是向量组{}123,,βββ的加长向量组，故{}123,,ααα也线性无关.4. 设[][][]1231,1,1,1,2,3,1,3,TTTt ααα===, (1) 问t 为何值时, 向量组321,,ααα线性相关？ (2) 问t 为何值时, 向量组321,,ααα线性无关？解令11112313A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算得5A t =- （1）当5t =时，A 是不可逆矩阵，其列向量组321,,ααα线性相关. （2）当5t ≠时，A 是可逆矩阵，其列向量组321,,ααα线性无关. 5. 证明由阶梯矩阵的非零行构成的向量组一定线性无关. 证不妨设阶梯矩阵12340000000000T T T T U αααα⊗****⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⊗**⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⊗*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中0⊗≠. 考察下面方程组112233123000000x x x x x x ααα⊗⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++=*⊗⎢⎥⎢⎥⎢⎥**⊗⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥***⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然该方程组只有零解，故{}123,,ααα线性无关.4.3 向量组的秩练习4.31. 设[][][][]T T T T12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7====αααα求向量组1234,,,αααα的秩及其一个极大无关组, 并把其余向量用所求的极大无关组线性表示.解 1234[,,,]A =αααα12341012234501233456000045670000r --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此{}12,αα是{}1234,,,αααα的一个最大无关组，且2132ααα+-=，21432ααα+-=2. 设向量组2123,,2,31311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的秩为2，求,a b .解记12342123,,2,31311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααα，由于{}1234rank ,,,2=αααα，所以{}341,,ααα线性相关，{}342,,ααα也线性相关.由[]3411212,,2330132111002ra a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ααα 得2a =.由[]342122122,,23014113005rb b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ααα 得5b =.3. 证明极大无关组的定义4.5与定义4.6的等价性.证（定义4.5⇒定义4.6）设121,,,r βββ+ 是V 中任意1r +个向量. 由定义4.5（2）知121,,,r βββ+ 可由12,,,r ααα 线性表示，由定理4.9，121,,,r βββ+ 线性相关，即定义4.6（2）成立.（定义4.6⇒定义4.5）设β是V 中任意一个向量. 则12,,,,r αααβ 是1r +个向量，由定义4.6（2），12,,,,r αααβ 线性相关，又12,,,r ααα 线性无关，再由唯一表示定理，β可由12,,,r ααα 线性表示，即定义4.5（2）成立.4.4 矩阵的秩练习4.41. 求下面矩阵的秩（1）1121021120331101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（2）123222123333123111a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（其中123,,a a a 互不相等）. 解（1）由11211121021102112033002011010000r A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得()3r A = （2）记123222123333123111a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由于范德蒙行列式1232221231110a a a a a a ≠，得()3r A = 2. （1）设A 是23⨯矩阵，且rank 2A =，写出A 的等价标准形；（2）设A 是32⨯矩阵，且rank 2A =，写出A 的等价标准形. 解（1）[]20A E ≅，（2）20E A ⎡⎤≅⎢⎥⎣⎦3. 设22139528A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（1）求一个42⨯矩阵B 使得0AB =，且rank 2B =; （2）求一个42⨯矩阵C 使得AC E =，且rank 2C =. 解（1）求解方程组0Ax =得两个线性无关的解12[1,5,8,0],[1,11,0,8]T T ββ==-令[]1211511,8008B ββ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则rank 2,B AB O ==，B 即为所求.（2）解1Ax e =得一个解11[5,9,0,0]8Tβ=--，解2A x e =得一个解21[2,2,0,0]8Tβ= 令[]1252921,00800C ββ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则2rank 2,C AC E ==，C 即为所求.4. 设m n n m m m A B C ⨯⨯⨯=，若C 是可逆矩阵，则()()r A r B m ==.证 ()()()()m r C r A B r A m r A m===≤⇒= ()()()()m r C r AB r B m r B m ===≤⇒=5. 证明：()()()r A B r A r B +≤+. 方法1 设12[,,,]n A ααα= ,[]12,,,n B βββ= ,(),()r A s r B t ==不妨设{}12,,,t ααα 是A 的列向量组的极大无关组，{}12,,,s βββ 是B 的列向量组的极大无关组. 显然A B +的列向量可由{}11,,,,,t s ααββ 线性表示，于是()r A B +=()A B +的列秩{}11r ,,,,,()()t s s t r A r B ααββ≤≤+=+证明：)()()(B r A r B A r +≤+ 方法2 由],[],[B A B B A c−→−+得[,][,]r A B B r A B +=，从而（用到例题的结论）)()(],[],[)(B r A r B A r B B A r B A r +≤=+≤+6. 用等价标准形定理证明：rank 1m n A ⨯=的充要条件是T A αβ=其中0,0m n R R αβ≠∈≠∈.证设rank 1A =，由等价标准形定理，存在可逆矩阵,m m n n P R Q R ⨯⨯∈∈，使得1000A P Q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]101,0,,00P Q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令α是P 的第一列，T β是Q 的第一行，显然0,0αβ≠≠，上式就是T A αβ=.反之，如果TA αβ=()0,0αβ≠≠，则1()()1()1r A r r A α≤≤=⇒=4.5 向量空间练习4.51. 设{}31123123123(,,)|,,,0T V x x x x x x x R x x x R ==∈++=⊂ {}32123123123(,,)|,,,1T V x x x x x x x R x x x R ==∈++=⊂证明1V 是3R 的子空间, 2V 不是3R 的子空间. 证 1V 是齐次线性方程组的解集，2V 是非齐次线性方程组的解集，同例题的证明一样.2. 设343443434,,x x x x V x x x x R R x x ⎧⎫+⎡⎤⎪⎪⎢⎥-⎪⎪⎢⎥==∈⊂⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭证明V 是4R 的子空间，并求V 的维数及V 的一个基.证把V 中向量改写为34314211111001x x x x x αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则12span(,)V αα=，又{}12,αα线性无关，所以{}12,αα是V 的一个基，dim 2V =.3. 设12342112,1,1,010541αααα----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦求123span(,,)ααα两个不同的基, 并分别求α在所求的基下的坐标.解易知{}123rank ,,2ααα=，又{}13,αα线性无关，{}23,αα线性无关，所以{}13,αα与{}23,αα都是123span(,,)ααα的基.解方程组1123x x ααα+=得120.5,1x x ==-于是α在基{}13,αα下的坐标是[]0.5,1T-.解方程组1223x x ααα+=得121,1x x ==-于是α在基{}23,αα下的坐标是[]1,1T-.4. 设121211201011,,,01310131ααββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：1212span(,)span(,)ααββ=. 证只需证{}{}1212,,ααββ≅由[]12121011013100000000rααββ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知{}12,ββ可由{}12,αα线性表示. 由[]1212100.50.501 1.50.500000000rββαα⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知{}12,αα可由{}12,ββ线性表示.所以{}{}1212,,ααββ≅. 5. 已知3R 的两个基为1231111,0,0111ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及 1231232,3,4143βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵.解由[]123123100234,,,,,010*********rαααβββ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦得[][]123123234,,,,010101βββααα⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为234010101P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦4.6 线性方程组解的结构练习4.61. 求齐次线性方程组1232340x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩ 两个不同的基础解系，并写出通解.解记系数矩阵为A ，则10010111rA ⎡⎤−−→⎢⎥-⎣⎦同解方程为14234x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 分别取3410,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得1201,11x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得基础解系为 120111,1001αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别取3411,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得1201,10x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得基础解系为 120110,1101ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦通解为112212,(,)x k k k k R αα=+∈或112212,(,)x k k k k R ββ=+∈2. 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为T T 12[0,1,2,3],[3,2,1,0]ξξ==解设所求方程组为0=Ax ，由题设()12,0A ξξ=.记()12,B ξξ=，则0=AB 即0=T T A B ，这说明T A 的列都是方程组0=x B T 的解.解方程组0=x B T ，即2341232303230x x x x x x ++=⎧⎨++=⎩ 得基础解系为T )0,1,2,1(1-=α，T )1,0,3,2(2-=α令],[21αα=T A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1032012121T T A αα所求方程组为0=Ax ，即⎩⎨⎧=+-=+-03202421321x x x x x x 3. 求下面非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系1212341234522153223x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解对增广矩阵初等行变换化最简阶梯形[]1100510108211210110135322300012rA b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦等价方程组为132348132x x x x x =--⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 令30x =得方程组的一个解*[8,13,0,2]T η=-对应的齐次方程组的等价方程组为132340x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令31x =得基础解系[1,1,1,0]T α=-4. 设142536A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求使得方程组Ax b =有解的所有向量b . 解向量b 是A 的列向量的线性组合，即12121425,,36b k k k k R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5. 设12,,,s ηηη 是非齐次方程组b Ax =的s 个解向量，令112212,,,,s s s k k k k k k R ηηηη=+++∈证明:（1）η是非齐次方程组Ax b =的解的充要条件是121s k k k +++= ；（2）η是齐次方程组0Ax =的解的充要条件是120s k k k +++= . 证（1） 1122s s k k k ηηη+++ 是b Ax =的解⇔ ()1122s s A k k k b ηηη+++= ⇔ ()12s k k k b b +++= (≠b 0) ⇔ 121s k k k +++=（2） 1122s s k k k ηηη+++ 是0=Ax 的解⇔ ()11220s s A k k k ηηη+++= ⇔ ()120s k k k b +++= (≠b 0) ⇔ 120s k k k +++=6. 设4rank 3m A ⨯=, 321,,ηηη是非齐次方程组b Ax =的3个解向量, 并且T T )4,3,2,1( , )5,4,3,2(321=+=ηηη求方程组b Ax =的通解.解由3)(4=⨯m A r 知，知0=Ax 的基础解系只含一个向量，取T )6,5,4,3()(2321=+-=ηηηξ则ξ是0=Ax 的基础解系. 从而非齐次方程组b Ax =的通解为1x k ηξ=+，（k R ∈） 7. 设矩阵[]1234,,,=A αααα, 其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=, 向量4321ααααβ+++=. 求线性方程组βx A =的通解.解由假设易知()3r A =，从而0=Ax 的基础解系只含一个向量. 由12312342200=-⇔-++=ααααααα得[1,2,1,0]T ξ=-为0=Ax 的基础解系.由1234+++=ααααβ得[1,1,1,1]T η=为βx A =的一个解. 于是βx A =的通解是,()x k k R ηξ=+∈习题四1. 设βααα,,,,21r 都是n 维向量，β可由r ααα,,,21 线性表示，但β不能由121,,,-r ααα 线性表示，证明：r α可由121,,,,r αααβ- 线性表示.证因为β可由r ααα,,,21 线性表示，设r r r r k k k k ααααβ++++=--112211又因为β不能由121,,,-r ααα 线性表示，所以0≠r k ，因此11111-----=r rr r r r k k k k k ααβα 即r α可由121,,,,r αααβ- 线性表示.2. 设123123111221,,1,1,,114a a a a a a a αααβββ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦确定常数a , 使向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示, 但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.解记],,[321ααα=A ，],,[321βββ=B ，由于{}123,,βββ不能由{}123,,ααα线性表示，所以3)(<A r ，从而0)2()1(2=+--=a a A得1=a 或2-=a .当1=a 时，1321βααα===，故321,,ααα可由321,,βββ线性表示，但2β不能由321,,ααα线性表示. 所以1=a 符合题意.当2-=a 时，由[]122112006033000033rBA ---⎡⎤⎢⎥−−→--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦知{}123,,ααα不能由{}123,,βββ线性表示，与题设矛盾. 综上，1=a .3. 设121,,,-m ααα （3≥m ）线性相关, m ααα,,32 线性无关, 讨论:（1）1α能否由132,,-m ααα 线性表示; （2）m α能否由121,,,-m ααα 线性表示.方法1 （1）因为m ααα,,32 线性无关，故132,,-m ααα 线性无关. 又因为121,,,-m ααα 线性相关，由唯一表示定理，1α可由132,,-m ααα 唯一表示.（2）设m α能由121,,,-m ααα 线性表示112211--+++=m m m αλαλαλα由（1），1α又能由132,,-m ααα 线性表示，故m α也能由132,,,-m ααα 线性表示，从而m ααα,,32 线性相关，这与假设矛盾. 故m α不能由121,,,-m ααα 线性表示.方法2 由假设{}121,,,1m r m ααα-<- ，{}23,,,1m r m ααα=-（1）由{}{}231231,,,,,m m m r r ααααααα-=≤ {}131,,11m r m ααα-≤+≤-得{}{}23123,,,,,1m m r r m ααααααα==-由唯一表示定理，1α能由132,,-m ααα 唯一表示.（2）由(1)，{}121,,,,1m m r m αααα-=- ，而{}121,,,1m r m ααα-<- 故{}{}121121,,,,,,,m m m r r ααααααα--≠m α不能由121,,,-m ααα 线性表示.4. 设nn RA ⨯∈, n R ∈α（0≠α）, 0=αk A , 01≠-αk A , 证明向量组{}21,,,,k A A Aαααα-线性无关.证设0112210=++++--ααααk k A k A k A k k上式两边左乘1-k A得010=-αk A k ，由于01≠-αk A，得00k =，因此011221=+++--αααk k A k A k A k上式两边左乘2-k A ，类似可推出01=k . 进而再推出210k k k -=== .5. 设nn RA ⨯∈,n R ∈321,,ααα（01≠α）, 如果11αα=A , 212ααα+=A , 323ααα+=A证明321,,ααα线性无关.证由题设23121)(,)(,0)(ααααα=-=-=-E A E A E A设0332211=++αααk k k两边左乘E A -得02312=+ααk k再左乘E A -得013=αk由01≠α得03=k ，往上逐一代入210,0k k ==. 故321,,ααα线性无关.6. 设向量组12:,,,m S ααα 线性无关, 1β能由S 线性表示, 而2β不能由S 线性表示,证明:（1）向量组122,,,,m αααβ 线性无关.（2）对R k ∈∀, 向量组1221,,,,m k αααββ+ 线性无关.证（1）由于12,,,m ααα 线性无关，而2β不能由12,,,m ααα 线性表示，故221,,,,βαααm 线性无关. 否则，由唯一表示定理，2β能由12,,,m ααα 唯一表示，与假设矛盾.（2）由（1）122rank[,,,,]1m m αααβ=+再由1β可由12,,,m ααα 线性表示，得1221122[,,,,][,,,,]cm m k αααββαααβ+−−→从而1221rank[,,,,]m k αααββ+= 122rank[,,,,]1m m αααβ=+1221,,,,m k αααββ+ 线性无关.7. 设12,,,,m αααβ nR ∈（0β≠）且0(1,2,,)T i i m βα== , 证明： (1) β不能由12,,,m ααα 线性表示；(2) 如果12,,,m ααα 线性无关, 则12,,,,m αααβ 也线性无关. 证 (1) 反证. 设β可由12,,,m ααα 线性表示1122m m k k k βααα=+++两边左乘Tβ得0Tββ=，这与0β≠矛盾.(2) 反证. 如果12,,,,m αααβ 线性相关，则由唯一表示定理，β由12,,,m ααα 唯一表示. 与(1)矛盾.8. 已知321,,ααα线性无关, 试问常数k m ,满足什么条件时, 向量组{}213213,,k m αααααα---线性无关？方法1设0)()()(313232121=-+-+-ααααααx m x k x整理得0)()()(332221113=-+-+-αααx m x x k x x x由于321,,ααα线性无关，故上式又等价于⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-000322131x m x x kx x x ⇔ 12310110001x k x m x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦312312,,αααααα---m k 线性无关的充要条件是上面方程组只有零解. 即1011010101kmk mk m --=-≠⇔≠- 方法2 记313232121,,ααβααβααβ-=-=-=m k . 写成矩阵形式[][]123123101,,,,1001k m βββααα-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由例4.14，321,,βββ线性无关⇔101rank 10301k m -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⇔1≠mk9. 已知向量组m ααα,,,21 （2≥m ）线性无关. 设111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性.证把题设写成矩阵形式[][]1212,,,,,,m m C βββααα=其中100111011011m m⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C 经计算12,1(1)0,m m C m +⎧=+-=⎨⎩若为奇数若为偶数同上一题完全类似，有两种方法. 结论是m βββ,,,21 线性无关⇔0C ≠⇔m 为奇数时 m βββ,,,21 线性相关⇔0C =⇔m 为偶数时10. 设,m n n p A B ⨯⨯是满足AB O =的两个非零矩阵，证明A 的列向量组线性相关, 且B 的行向量组线性相关.方法1 B 的列向量都是方程组0=Ax 的解，又B 为非零矩阵，说明0=Ax 存在非零解，所以n A r <)(，从而A 的列向量组线性相关.考虑0=TT A B ，又知TB 的列向量组即B 的行向量组线性相关.方法2 由例题，()()r A r B n +≤又()0,()0r A r B >>，所以(),()r A n r B n <<，于是A 的列向量组线性相关，且B 的行向量组线性相关.11. 证明：rank rank rank ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦A O AB O B .方法1 把,A B 用初等行变换化为阶梯矩阵，设12,00r rU U A B ⎡⎤⎡⎤−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中12,U U 的行向量都是非零行向量. 则1122000000000000r r U U U U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A O OB 显然上式右边也是阶梯形矩阵，从而1122rank rank rank rank U U U U ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O A O A B O O B 的行数的行数方法2 设12rank ,rank r r ==A B ，A 有子式10r A ≠，B 有子式20r B ≠，因此⎡⎤⎢⎥⎣⎦A O OB 有子式1122000r r r r A A B B =≠，从而12rank r r ⎡⎤≥+⎢⎥⎣⎦A O O B又12rank rank rank r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A O A O OB O B 所以12rank rank rank r r ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦A O AB O B12. 设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵()2≥n , 证明：,()()1,()10,()1n r A nr A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩证当n A r =)(时，0≠A ，由行列式的展开定理：E A A A =*，立即知A *是可逆矩阵，即()r A n *=.当1)(-<n A r 时，A 的所有1-n 阶子式都等于零，这时*A 是零矩阵，故0)(=*A r . 当1)(-=n A r 时，0=A ，由行列式的展开定理0==*E A A A由例题n A r A r ≤+*)()(()1r A *⇒≤再由1)(-=n A r 知A 有一个1-n 阶子式不等于零，故*A 至少有一个元素不为零，因此()0r A *>. 综上，1)(=*A r .13.设rank m n A m ⨯=, 证明存在矩阵m n B ⨯, 使m m n n m E B A =⨯⨯.方法1 由题设m A r n m =⨯)(和例题，对任意的mb R ∈，线性方程组Ax b =都有解. 特别地取b 为标准单位向量12,,,m m e e e R ∈ ，方程组m n i A x e ⨯=(1,2,,)i m =的解记为12,,,n m b b b R ∈ ，令()12,,,n m m B b b b ⨯=则m m n n m E B A =⨯⨯易知()n m r B m ⨯=证法 2 由题设m A r n m =⨯)(（此时m n ≤），故只用列变换就可将A 化为标准形，即存在可矩阵n Q 使得()m AQ E O =把Q 分块，()1n mQ B Q ⨯=，则m m n n m E B A =⨯⨯易知()n m r B m ⨯=14. 证明Sylvester 不等式:r()r()r()m n n p n ⨯⨯+-≤A B A B方法1 设r AB r t B r s A r p n n m ===⨯⨯)(,)(,)(由等价标准形定理知有可逆矩阵Q P ,使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000sEPAQ 因此11120()()000sB E s B s PAB PAQ Q B B n s n s -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦1()()()r AB r PAB r B ==112()()B t r B r Q B r B -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦122()()()()()r B r B r AB r B r n s ≤+=+≤+-移项得r n t s ≤-+，即r()r()r()n +-≤A B AB15. 设rank m n n ⨯=P ，证明rank()rank =PA A . 证法1 记C PA =，则()()()r C r PA r A =≤再由习题13，存在矩阵M 使得MP E =. 在C PA =两边左乘M 得MC A =从而()()()r A r MC r C =≤综上，()()()r C r PA r A ==.证法2 设A 是m n ⨯阶矩阵，()r m =P ，由Sylvester 不等式()()()r A r P r A m =+-≤()()r PA r A ≤从而r()r()=PA A16. 设n 阶矩阵A 满足2A A =，证明()()r A r A E n +-= 证由()-=A E A O 和例题r()r()n +-≤A E A又[]()r()r ()r r()n ==+-≤+-E A E A A E A综上r()r()n +-=A E A .17. 证明满秩分解定理: 设rank m n A r ⨯=, 则A 有如下分解：m r r n A H L ⨯⨯=其中rank rank H L r ==.方法1 由等价标准形定理，存在可逆矩阵m P 和n Q 使得[]1111000rr r r n m rEE A P Q P E O Q O ----⨯⨯⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令[]11,r rE H P L E O Q O --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦则n r r m L H A ⨯⨯=，且显然有r L r H r ==)()(.方法2 不妨设A 的列向量组的极大无关组为12,,,r ααα ，并记矩阵[]12,,,m r r H ααα⨯=则A 的所有列向量都可由12,,,r ααα 线性表示，即存在矩阵r n L ⨯使得n r r m L H A ⨯⨯=又()()()()m r r n m r r r A r H L r H r r H r ⨯⨯⨯==≤≤⇒=同理()r L r =.18. 证明：r()r()r()r()ABC AB BC B ≥+-. 证设rank()n k B r ⨯=，B 的满秩分解为B MN =由Sylvester 不等式rank()rank[()()]rank()rank()r ABC AM NC AM NC =≥+- rank()rank()r rank()rank()rank()AMN MNC AB BC B ≥+-=+-19. 设12,V V 都是nR 的子空间, 令{}12121122|,V V V V ααααα+==+∈∈, {}1212|V V V V ααα=∈∈ 且证明12V V +与12V V 都是nR 的子空间. 举例说明{}1212|V V V V ααα=∈∈ 或不是nR 的子空间.证易（略）20. 证明基的扩张定理定理4.14：设1,,m αα 是nR 的一个线性无关组, m n <, 则存在n m -个向量1,,m n a α+ , 使得11,,,,,m m n αααα+ 成为n R 的一个基.证由于m n <，故12,,,m ααα 不是nR 的基，从而至少有一个向量1m +α不能由12,,,m ααα 线性表示. 则121,,,,m m +αααα 必线性无关（否则，由唯一表示定理得出矛盾）.如果1m n +=，则证毕. 否则，如果1m n +<，同上知，存在向量2m +α使得1212,,,,,m m m ++ααααα 线性无关. 依此类推，得证. 21. 若矩阵()ij n n A a ⨯=满足1(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑则称A 是严格对角占优矩阵. 证明严格对角占优矩阵必是可逆矩阵.证反证. 假设A 是不可逆矩阵, 则0Ax =有非零解, 记一个非零解为12(,,,)T n x x x x = . 再记1max 0k i i nx x ≤≤=>考察0Ax =的第k 个方程11220k k kn n a x a x a x +++=即1nkk k kj j j j ka x a x =≠=-∑两边取绝对值111nnnk kk kj j kkjkk kj j j j j kj kj kx a a x x aa a ===≠≠≠≤≤⇒≤∑∑∑这与假设矛盾. 因此A 是可逆矩阵. 22. 证明方程组TTA Ax A b =一定有解.证只需证方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等. 由例题()T T T T Tr()r()r ,r (,)r()r()⎡⎤=≤=≤=⎣⎦A A A A A A b A A b A A故()T T T r()r ,=A A A A A b从而方程组b A Ax A T T =一定有解.23. 设=Ax 0与=Bx 0都是n 元的齐次方程组, 证明下面三个命题等价：（1）=Ax 0与=Bx 0同解；（2）rank rank rank ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A AB B ；（3）A 的行向量组与B 的行向量组等价. 证记（I ）=Ax 0，（II ）=Bx 0，（III ）=⎧⎨=⎩Ax Bx 0（1）⇒（2）由于（I ）的解都是（II ）的解，所以（I ）的解也都是（III ）的解. 又显然（III ）的解都是（I ）的解. 因此，（I ）与（III ）同解. 同样的道理，（II ）与（III ）也是同解的. 因此它们基础解系所含向量个数相等，即()()r r r n n n ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭A AB B于是()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B（2）⇒（3）命题（2）等价于()()()T T T T r r r ,==A B A B由定理4.3，TA 的列向组与TB 的列向量组等价. 即A 的行向量组与B 的行向量组等价.（3）⇒（1）这是显然.24．设B A ,均是n 阶的方阵，证明)()(B r AB r =的充要条件是方程组0)(=x AB 与方程组0=Bx 同解.证（⇒）显然0=Bx 的解必是0)(=x AB 的解. 又)()(B r AB r =，0=Bx 的基础解系也是0)(=x AB 的基础解系. 所以，方程组0)(=x AB 与方程组0=Bx 同解.（⇐）易25. 若n 阶矩阵[]121,,,,n n A αααα-= 的前1n -个列向量线性相关，后1n -个列向量线性无关，12n βααα=+++ ，证明：（1）方程组Ax β=必有无穷多解；（2）若T 12(,,,)n k k k 是Ax β=的任一解，则1n k =. 证（1）由12n βααα=+++ , 知(1,1,,1)T x = 是Ax β=的一个解. 又()1r A n =-，故Ax β=有无穷多解.（2）121,,,n ααα- 线性相关，存在不全为零的数121,,,n l l l - 使1122110n n l l l ααα--++=说明()121,,,,0Tn l l l - 是0Ax =基础解系. Ax β=的通解为()()121(1,1,,1),,,,0,,,1T TT n k l l l -+=⨯⨯26. 设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++m n mn m m n n bx a x a x a b x a x a x a 221111212111 (II)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++100221122*********m m m nm n n m m y b y b y b y a y a y a y a y a y a证明：方程组（I ）有解⇔方程组（II ）无解.证记方程组（I ）为=Ax b ，则方程组（II ）可写成T T 1⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A y b 0易知TTT r r()1r()11⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭A A A b0 这样(II)无解⇔TT T TT T r r 1r()1r 11⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇔+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A b b b 0 ()T T r()r r()r ⎛⎫⇔=⇔=⇔ ⎪⎝⎭A A A A b b （I ）有解27. 设线性方程组(I) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++m n mn m m n n bx a x a x a b x a x a x a 221111212111(II) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022111221111m nm n n m m y a y a y a y a y a y a(III) 02211=+++m m y b y b y b证明：方程组（I ）有解⇔方程组（II ）的解都是方程组（III ）的解.证记n m ij a A ⨯=)(，T n x x x x ),,,(21 =，T m y y y y ),,,(21 =，T m b b b b ),,,(21 =则三个方程可写为(I) b Ax =，(II) 0=y A T ，(III) 0=y b T因此(I)有解⇔],[)(b A r A r =⇔⎥⎦⎤⎢⎣⎡=T T Tb A r A r )((由例5.2)⇔（II ）的解都是（III ）的解28. 设齐次方程组123423412422000x x x x x cx cx x cx x +++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解空间的维数是2, 求其一个基础解系.解由dim N()r()n =-A A 知，系数矩阵的秩r()422=-=A .221212101222010110100(1)(1)r c c A c c cc c c c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由r()2=A ，得1c =. 原方程组的等价方程组为13234x x x x x =⎧⎨=--⎩ 取3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得一个基础解系为T T 12(1,1,1,0),(0,1,0,1)=-=-αα29. 设四元齐次线性方程组(I) ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x还知道另一齐次线性方程组(II)的通解为T T k k )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+求方程组（I ）与（II ）的公共解.解法1 将方程组(II)的通解T T k k x )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+=212122(,2,2,)T k k k k k k =-++代入组方程组(I)得到关于21,k k 的线性方程组2121212220020k k k k k k k k -++=⎧⇔+=⎨+-=⎩ 令k k =2，则k k -=1，故方程组(I)与方程组(II)的公共解为T T T k k k x )1,1,1,1()1,2,2,1()0,1,1,0(21-=-+=（R k ∈）解法2 易求方程组(I)的基础解系为T )0,1,0,0(1=α，T )1,0,1,1(2-=α其通解为3142x k k αα=+令两个方程组的通解相等T T k k x )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+=T k )0,1,0,0(3=T k )1,0,1,1(4-+得关于4321,,,k k k k 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-+=-+=+-0020********2142k k k k k k k k k k 解之得k k k k k k k k ===-=4321,,,因此两个方程组公共解为T T T k k k x )1,1,1,1()1,2,2,1()0,1,1,0(-=-+-=30. 设n n ij a A ⨯=)(, 0≠A , 证明：n r <时, 齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022111212111n rn r r n n x a x a x a x a x a x a 的一个基础解系为T jn j j j A A A ),,,(21 =ξ，（n r j ,,1 +=）其中jk A 为A 的),(k j 元的代数余子式（n k j ,,2,1, =）.证由行列式展开定理02211=+++jn in j i j i A a A a A a （n r j r i ,,1;,,1 +==）所以j ξ（n r j ,,1 +=）是齐次方程组的解（共r n -个）.由0≠A ⇒齐次方程组系数矩阵的秩为r ，所以齐次方程组基础解系所含向量个数为r n -. 再由0≠A n A r =⇒)(*⇒*A 的r n -个行向量的转置n r ξξ,,1 +线性无关.综上可知，n r ξξ,,1 +是齐次方程组的一个基础解系.31. 设rank m n A r ⨯=, *η是非齐次方程组b Ax =的一个特解, 12,,,n r ξξξ- 是其对应的齐次方程组0=Ax 的一个基础解系. 证明{}****12,,,,n r ηηαηαηα-+++是Ax b =解集V 的一个极大无关组, 从而rank 1V n r =-+.证记{}****12,,,,n r T ηηαηαηα-=+++显然T 中的向量都是b Ax =的解，即T V ⊂.下面证明T 线性无关. 设0)()()(12211=++++++++---ηξηξηξηr n r n r n k k k k把上式整理为0)(1212211=+++++++++----ηξξξr n r n r n r n k k k k k k k上式两边左乘A 得0)(121=+++++--b k k k k r n r n由0≠b 得0121=+++++--r n r n k k k k往上代入得02211=+++--r n r n k k k ξξξ由r n -ξξξ,,,21 线性无关性得021====-r n k k k再往上代入又得01=+-r n k . 这说明T 是线性无关的向量组.下面再证明V 中的任一向量都可由T 线性表示. 由于V 中的任一向量都可写为r n r n k k k x --++++=ξξξη 2211即)()()()1(221121r n r n r n k k k k k k x ---+++++++----=ξηξηξηη这说明V 中的任一向量都可由T 线性表示. 综上，向量组T 是Ax b =解集V 的一个极大无关组，rank r()1S n =-+A .32. 已知T T T 111121,2221222,212,2(,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n n b b b b b b b b b ===βββ是方程组1111221,222112222,221122,2200 0n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的基础解系. 证明T T T 111121,2221222,212,2(,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n n a a a a a a a a a ===ααα是方程组1111221,222112222,221122,22000n n n nn n n n n b x b x b x b x b x b x b x b x b x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的基础解系.证记矩阵T 1T 2T n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααA α ，T 1T 2T n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ββB β则方程组（I ）和（II ）可分别写为（I ）=Ax 0 和（II ）=Bx 0（2n∈x R ）因为12,,,n βββ 是方程组=Ax 0的基础解系，所以r ()2n n n =-=A ，从而12,,,n ααα 线性无关. 而且，12,,,n βββ 线性无关，r()n =B . 因此，方程组=Bx 0的基础解系所含解向量的个数为2r()n n -=B .由假设()T T 12,,,n =⇒=⇒=A βββO AB O BA O()T 12,,,n ⇒=⇒=BA O B αααO知12,,,n ααα 是方程组=Bx 0的n 个线性无关的解. 因此，12,,,n ααα 就是方程组=Bx 0的一个基础解系.。

线性空间习题解答

第六章线性空间习题解答P267.1设,,M N M N M M N N ⊆==I U 证明: 证明: 一方面.M N M ⊆I 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M I ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M I Y I Y I =.(2))()()(L M N M L N M Y I Y I Y =证明: (1) .),(L N x M x L N M x Y Y I ∈∈∈且则设即.M x N x M x ∈∈∈或且L x ∈且. 于是有)()(L M N M x I Y I ∈.另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M Y I I Y I I ⊆⊆,所以)()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊆.(2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M Y I Y Y I Y ⊆⊆,所以)()()(L M N M L N M Y I Y I Y ⊆.另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x Y Y Y I Y ∈∈∈∀且则若).(,L N M x M x I Y ∈∈则若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N I 总之有)()()(),(L N M L M N M L N M x I Y I I Y I Y ⊆∈所以.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法.(2) 设A 是n ⨯n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕,)2)1(,(),(211111a k k kb ka b a k -+=ο. (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k ⋅α=0. (7) 集合与加法同(6), 数量乘法为k ⋅α=α.(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a ⊕b=ab , ka=a k .(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, β=(a,b)≠0. 取α=(a+1,b), γ=(a-1, b), 则α, γ∈V , 但是, α+ γ ∉V . (5) 证明: 10显然V 非空.02 2个代数运算封闭.03 先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα2121211231212312312312323123122323123(1)(,)(2)()((),()()......................(,()....()((),(()().....................a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a αββααβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)...........())(),()())(0,0)01(5)1(1,11(11))(,)2a a ab b b a a a a a a r a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b αβααααααα+++++++=++=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-==o o o o 的负为21112211111(6)()(,(1)211...............(,((1))(1)())22k l k la lb l l a kla k lb k k a k k la αα=+-=+-+-o o o2111((1(1))2kla klb kla l k =++-+-=（kla 1,klb 1+211((1))2kl k a -=kl o α(7)(k+l)o α =（（k+1）a 1,(k+l)b 1+211()(1))2k l k l a ++-=((k+1)a 1,(k+l)b 1+ 22211(2))2k l kl k l a ++--221111111111(,(1)()(1))22ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+⋅k l αα=⊕o o (8)2121212121212121()(,)((),((1)())2k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+o o 22121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-2221211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+2212122211(,(1))((1))22ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕满足3,故V 是一个线性空间(6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠Q ，但这里。

高等代数线性空间与线性变换练习题

第六章线性空间一判断题(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上的向量空间. ( ) .(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上的向量空间. ( ).(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ).(4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).(5) 121{(,,,)|1,}nn i i i x x x x x R ==∈∑为n R 的子空间. ( ).(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).(7)11{(,0,,0,)|,}n n x x x x R ∈为n R 的子空间. ( ).(8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++ 是V 的一组基. ( ).(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ).(10)设12,,,n ααα是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n ααα 线性表示, 则12,,,n ααα是V 的一组基. ( ).(11) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββ与12,,,n ααα等价, 则12,,,n βββ也是V 的一个基. ( ).(12) 3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ).(13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++.若12dim dim dim s V V V n +++=, 则12s V V V +++为直和. ( ). (14)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若121230,()0,V V V V V =+=121,()0,S s V V V V −+++= 则12s V V V +++为直和.( ).(15) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若(){0},i j j i V V ≠=∑ 则12s V V V +++为直和. ( ).(16)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若(){0},,i j V V i j =≠则12s V V V +++为直和. ( ).(17) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 零向量表法是唯一的, 则12s V V V +++为直和. ( ).(18) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个基是12(),(),,()n f f f ααα. ( ). (19) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, 若向量空间V 与W 同构, 那么W 也是数域F 上的n 维向量空间. ( ).(20) 把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分成n 类. ( ). 答案 (1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确 (8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)正确 (16)错误 (17)正确(18)正确 (19)正确 (20)错误二填空题(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R 上的向量空间.(2) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量空间.则此空间的零向量为___.(3) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量空间. 则a R +∈的负向量为________.(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算:2(,)(,)(,),(1)(,)(,),2a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++−=+ 构成实数域R 上的向量空间. 则此空间的零向量为___.(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算:2(,)(,)(,),(1)(,)(,),2a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++−=+ 构成实数域R 上的向量空间. 则(,)a b 的负向量为________.(6) 数域F 上一切次数n ≤的多项式添加零多项式构成的向量空间[]n F x 维数等于_____.(7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________.(8) 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.(9) 复数域C 看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.(10) 实数域R 上的全体n 阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间, 它的维数等于_____.(11) 向量(0,0,0,1)ξ=关于基123(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0)ααα===4(0,1,1,1)α=−−的坐标为__________.(12) 223x x ++关于3[]F x 的一个基332,,1,1x x x x x +++的坐标为__________.(13) 三维向量空间的基12(1,1,0),(1,0,1),αα== 则向量(2,0,0)β=在此基下的坐标为 _______.(14) V 和W 是数域F 上的两个向量空间, V 到W 的映射f 满足条件__________________________________________, 就叫做一个同构映射.(15) 数域F 上任一n 维向量空间V 都与向量空间______同构.(16) 设V 的子空间123,,,W W W 有1213230W W W W W W ===, 则123W W W ++ ________直和.答案(1)加法和数量乘法 (2)1 (3)1a(4)(0,0) (5)2(,)a a b −− (6)1n + (7)不唯一, 相等 (8)2;1,i (9)1;1 (10)(1)2n n + (11)(1,0,1,0)− (12)(0,0,1,2) (13)(1,1,1)− (14)f 是V 到W 的双射; 对任意,,()()()V f f f αβαβαβ∈+=+; 对任意,,()()a F V f a af ααα∈∈= (15)n F (16)不一定是三简答题(1) 设().n V M R = 问下列集合是否为V 的子空间, 为什么?1) 所有行列式等于零的实n 阶矩阵的集合1W ;2) 所有可逆的实n 阶矩阵的集合2W ;(2) 设()L R 是实数域R 上所有实函数的集合, 对任意,(),,f g L R R λ∈∈ 定义()()()(),()()(),f g x f x g x f x f x x R λλ+=+=∈对于上述运算()L R 构成实数域R 上向量空间. 下列子集是否是()L R 的子空间? 为什么? 1) 所有连续函数的集合1W ;2) 所有奇函数的集合2W ;3) 3{|(),(0)(1)};W f f L R f f =∈=(3) 下列集合是否为n R 的子空间? 为什么? 其中R 为实数域.1) 11212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α==+++=∈; 2) 21212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α===∈; 3) 312{(,,,)|n W x x x α==每个分量i x 是整数};(4)设,,A X b 分别为数域F 上,1,1m n n m ⨯⨯⨯矩阵, 问AX b =的所有解向量是F 上的向量空间吗? 说明理由.(5) 下列子空间的维数是几?1) 3((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4))L R −−⊆;2)22(1,1,)[]L x x x x F x −−−⊆(6) 实数域R 上m n ⨯矩阵所成的向量空间()m n M R ⨯的维数等于多少? 写出它的一个基.(7) 实数域R 上, 全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？(8) 若12,,,n ααα是数域F 上n 维向量空间V 的一个基，122311,,,,n n n αααααααα−++++ 也是V 的一个基吗？(9) 1,2,(1)(2)x x x x −+−+是向量空间2[]F x 的一个基吗？(10) 取4R 的两个向量12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==−.求4R 的一个含12,αα的基.(11) 在3R 中求基123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1)ααα==−=−到基123(3,0,1),(2,0,0),(0,2,2)βββ===−的过渡矩阵.(12) 在中4F 求向量(1,2,1,1)ξ=关于基123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)ααα==−−=−− 4(1,1,1,1)α=−−的坐标.(13) 设1W 表示几何空间3V 中过原点之某平面1∏的全体向量所构成的子空间, 2W 为过原点之某平面2∏上的全体向量所构成的子空间, 则12W W 与12W W +是什么? 12W W +能不能是直和? (14) 设1123212(,,),(,),W L W L αααββ==求12W W 和12W W +. 其中123(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1)ααα=−−==−; 12(2,5,6,5),(1,2,7,3).ββ=−=−−(15) 证明数域F 上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等.(16)设{|,,},{(,)|,},a b V a b c R W d e d e R b c ⎛⎫=∈=∈ ⎪⎝⎭都是实数域R 的向量空间.问V 与W 是否同构? 说明理由.(17) 设12,,,n ααα为向量空间的一个基, 令12,1,2,,i i i n βααα=+++=且 ()i i W L β=.证明 12n V W W W =⊕⊕⊕.答案(1)1)1W 不是V 的子空间. 若1,,||A B W A B ∈+若未必等于零, 1W 对加法不封闭. 2)2W 不是V 的子空间. 因为3,||0A W A ∈≠, 则||0A −≠, 但|()|0A A +−=, 对加法不封闭.(2)1) 1W 是()L R 的子空间. 因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数. 2) 2W 是()L R 的子空间. 因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数.3) 3W 是()L R 的子空间. 因为3W 非空, 且对任意3,,,f g W R λ∈∈有()(0)(0)(0)(1)(1)()(1);(0)((0))((1))()(1),f g f g f g f g f f f f λλλλ+=+=+=+=== 故3,.f g f W λ+∈(3)1) 是. 因1W 是齐次方程组120n x x x +++=的全体解向量.2) 2W 不是n R 的子空间. 因2W 对加法不封闭.3) 3W 不是子空间. 因对数乘运算不封闭.(4)当0b ≠时, AX b =的所有解向量不能构成F 上的向量空间. 因n 维零向量不是 AX b =的解向量. 当0b =时,0AX =的所有解向量能构成F 上的向量空间.(5)1) 维数是2. 因(2,3,1),(1,4,2)−线性无关, 而(5,2,4)2(2,3,1)(1,4,2)−=−+. 2) 维数是2. 因易证21,1x x −−线性无关, 但22(1)(1)()0x x x x −+−+−=.(6) 解令ij E 表示i 行j 列位置元素是1其余是零的m n ⨯矩阵. 那么易证ij E 这m n ⨯个矩阵是线性无关的. 它们作成()m n M R ⨯的一个基, 故()m n M R ⨯的维数是m n ⨯.(7) ,,,1,2,3,,,,ii ij ji E E E i j n i j +=≠ 为全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的一个基,其中共有12(1)n n ++++−个向量, 故此向量空间的维数(1)2n n +. (8) 解由121112(,,,)(,,,)n n n n A ααααααααα−+++=. 得1||1(1)n A +=+−. 当n 为偶数时, ||0A =, 故12231,,n αααααα+++线性相关, 它不构成基. 当n 为奇数时, ||0,A ≠ 故12231,,n αααααα+++线性无关, 它构成一个基.(9) 解在基21,,x x 之下有2122(1,2,(1)(2))(1,,)111001x x x x x x −−⎛⎫ ⎪−+−+= ⎪ ⎪⎝⎭. 因上式右方的3阶矩阵为可逆, 所以1,2,(1)(2)x x x x −+−+线性无关, 它是2[]F x 的一个基.(10) 解取向量34(0,0,1,0),(0,0,0,1)εε==,由于1100010010,12100001−=−≠ 因此1234,,,ααεε线性无关, 所以向量组是4R 的一个基.(11) 解由123123123123(,,)(,,),(,,)(,,)A B αααεεεβββεεε==推出 1123123(,,)(,,)A B βββααα−=因此所求过渡矩阵为10113201001100021112210211111122A B −⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−− ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−− ⎪⎝⎭. (12) 解取4F 的标准基1234,,,εεεε. 由1234,,,εεεε到1234,,,αααα的过渡矩阵为1111111111111111A ⎛⎫ ⎪−− ⎪= ⎪−− ⎪ ⎪−−⎝⎭于是(1,2,1,1)ξ=关于基1234,,,αααα的坐标为1541124114114A −⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪−⎪ ⎝⎭. (13) 解由于1W ,2W 皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合. 若1W 与2W 重合, 则 121121,W W W W W W =+=. 若1W 与2W 不重合, 则12W W 为一条过原点的直线, 而12W W V +=, 但12W W +不能是直和.(14) 解设112233112212k k k t t W W γαααββ=++=+∈为交空间的任意向量.由 11223311220,k k k t t αααββ++−−=得齐次线性方程组123121212123121231232025206702530k k k t t k k t t k k k t t k k k t t +−−+=⎧⎪+−−=⎪⎨−++++=⎪⎪−++−−=⎩ 由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4, 解空间的维数为1, 且求得方程组的一般解为122232424896,,,7777k t k t k t k t =−=−=−=−因此维12()1W W =, 维12()4W W +=. 取27t =,令1267ξββ=−+便有12()W W L ξ=, 另外显然121231(,,,)W W L αααβ+=.(15) 证明设数域F 上两个有限维向量空间V 与W 的维数均为n , 因,n n V F W F ≅≅所以V W ≅.反之, 若V W ≅, 设dim 0,V n => 且f 是V 到W 的同构映射. 取V 的一个基 12,,,n ααα, 易证12(),(),,()n f f f ααα是W 的一个基, 故dim W n =.(16) V 与W 不同构. 因dim 3,dim 2V W ==, V 与W 的维数不相等.(17) 证明任取V α∈, 若1122n n a a a αααα=+++, 那么12123211()()()n n n n n n n a a a a a a a a αβββαβ−−=−−−+−−−+−+因此12n V W W W =+++, 并且V 中向量依诸i W 表示唯一, 故12n V W W W =⊕⊕⊕四计算题(1) 设由123(1,2,2,2),(1,3,0,1),(2,1,2,5)ααα=−=−−=−−, 生成4R 的子空间.W 试从向量组1234(3,1,0,3),(2,1,0,3),(3,4,2,16),(1,7,4,15)ββββ==−=−−=−中找出W 的生成元.(1) 解以123,,ααα及1234,,,ββββ为列做成矩阵A , 在对A 的行施行初等变换.11232312311147202002421533161510011/20201001/21100111/2100000400A B −⎛⎫⎪−−−⎪=→⎪−− ⎪⎪−−−⎝⎭⎛⎫⎪−− ⎪= ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵B 知,113323412,,2βααβααβαα=+=−+=+从而134(,,).L W βββ⊆但由B 还知134,,βββ线性无关, 故134,,βββ为W 的一组生成元.(2) 在向量空间4R 中, 求由向量123(2,1,3,1),(4,5,3,1),(1,1,3,1)ααα=−=−=−−4(1,5,3,1)α=−生成的子空间的一个基和维数.(2) 解对下述矩阵施行行的初等变换241106391515151533330126181111042600001302.00000213−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪−−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭此变换保持列向量间的线性关系, 由右方矩阵知13,αα是一个极大无关组, 因此1234(,,,)L αααα的维数实是2,而13,αα是它的一个基.(3) 在4R 中求出向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组,然后用它表出剩余的向量.这里123(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,0),ααα===−−45(1,1,1,1),(0,12,12,5)αα==−.(3) 解对下述矩阵施行行的初等变换211101010********011230311230311211015110150001300013101121010500026000001101511002−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−− ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪−−−− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪−−− ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由右方矩阵知234,,ααα是一个极大无关组, 并且有 1235234,253ααααααα=−=++.(4) 求3()M F 中与矩阵A 可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基, 其中 100010.312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4) 解设这个子空间为,W 由于A I B =+, 这里 000000311B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此与A 可交换的3阶方阵, 就是与B 可交换的3阶方阵, 从而 3{()|}W X M F BX XB =∈=.任取,()ij C W C c ∈=. 由BC CB =, 可得1323112131330,33,c c c c c c ==++=122232333c c c c ++=,于是C W ∈当且仅当C 的元素为齐次线性方程组2111313322123233333c c c c c c c c =−−+⎧⎨=−−+⎩的解. 于是我们得到如下矩阵100010000300,030,100000000100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 000000010,310010001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭它们构成W 的一个基, 故W 的维数是5.(5) 求实数域上关于矩阵A 的全体实系数多项式构成的向量空间V 的一个基与维数.其中2100100,.200A ωωω⎛⎫−+ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭(5) 解因31ω=, 所以22311,11A A I ωω⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易证2,,I A A 线性无关. 于是任何多项式()(()[])f A f x R x ∈皆可由2,,I A A 线性表示, 故2,,I A A 为的一个基, dim 3V =.(6) 设1234(,,,)x x x x 为向量ξ关于基12(1,0,0,1),(0,2,1,0),αα==3(0,0,1,1),α=4(0,0,2,1)α=的坐标; 1234(,,,)y y y y 是ξ关于基1234,,,ββββ的坐标, 其中11y x =,221332442,,.y x x y x x y x x =−=−=−求基1234,,,ββββ.(6) 解因1122123412343344(,,,)(,,,)x y x y x y x y ξααααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且111222333444100011000110011y x x y x x P y x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则1122123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ααααββββ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是 12341234(,,,)(,,,)P ααααββββ=, 即 112341234(,,,)(,,,)P ββββαααα−=故所求的基为1234(1,2,4,3),(0,2,4,2),(0,0,1,1),(0,0,2,1)ββββ====.(7) 设12,,,n ααα是n 维向量空间V 的一个基，11212,,,n αααααα++++也是V 的一个基，又若向量ξ关于前一个基的坐标为(,1,,2,1)n n −, 求ξ关于后一个基的坐标.(7) 解基12,,,n ααα到后一个基的过渡矩阵为111101110011001P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 那么12111001101101120001211000111n n n y n n y P y −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪−−− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故ξ关于后一个基的坐标为(1,1,,1).(8) 已知3R 的一个基为123(1,1,0),(0,0,2),(0,3,2)ααα===. 求向量(5,8,2)ξ=−关于这个基的坐标.(8) 解设112233x x x ξααα=++, 的方程组 11323538222x x x x x =⎧⎪+=⎨⎪+=−⎩解得1235,2,1x x x ==−=. 故ξ关于基123,,ααα的坐标(5,2,1)−.(9) 已知1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3)αααα=−===是4R 的一个基.求4R 的一个非零向量ξ, 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同.(9) 解由标准基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为 2056133611211013P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭设ξ关于两个基的坐标为1234(,,,)x x x x , 则11223344,x x x x P x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即得齐次线性方程组134133412341345602360020x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+++=⎪⎨−+++=⎪⎪++=⎩解得1234x x x x ===−, 令40,x k k R =≠∈, 则(,,,)k k k k ξ=−−−即为所求.(10)已知4R 的一个基123(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1)ααα=−==4(6,6,1,3)α=.求1234(,,,)x x x x ξ=关于基1234,,,αααα的坐标.(10) 解由标准基到所给基的过渡矩阵为 2056133611211013P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭那么11221123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ξεεεεαααα−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ξ关于基1234,,,αααα的坐标为1234(,,,)y y y y , 这里11122213334444/91/3111/91/274/91/323/271/3002/37/271/91/326/27y x x y x x P y x x y x x −−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.五证明题(1) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. 1)证明: 12W W 是V 的子空间.2)12W W 是否构成V 的子空间, 说明理由. (1) 证明1) 显然120W W ∈, 即12W W ≠Φ, 任取1212,,W W k F αα∈∈, 易知1212112,W W k W W ααα+∈∈, 故12W W 是V 的子空间.2) 不一定. 当12W W ⊆或21W W ⊆时, 12W W 是V 的子空间. 但当1W 与2W 互不包含时,12W W 不是V 的子空间. 因为总存在1112,W W αα∈∉及2221,W W αα∈∉使1212,W W αα∈, 而1212W W αα+∉, 因为这时121122,W W αααα+∉+∉, 否则与选取矛盾.(2) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明: 12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间.(2) 证明易知12121122{|,}W W W W αααα+=+∈∈为V 的子空间, 且112212,.W W W W W W ⊆+⊆+设W 为V 的包含1W 与2W 的任一子空间, 对任意1122,W W ξξ∈∈,有12W ξξ+∈, 即12W W W +⊆, 故12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间..(3) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. ,αβ是V 的两个向量, 其中2W α∈, 但1W α∉, 又2W β∉. 证明: 1)对任意2,k F k W βα∈+∉;2)至多有一个,k F ∈使得1k W βα+∈. (3) 证明1) 任意,k F ∈若2k W βα+∈, 则2()k k W ββαα=+−∈矛盾, 故1)成立.2) 当1W β∈时, 仅当0k =时, 有1k W βα+∈; 当1W β∉时, 若存在1212,,k k F k k ∈≠使得111221,k W k W αβααβα=+∈=+∈, 则12121()k k W ααα−=−∈, 因此1W α∈, 矛盾, 故2)成立.(4) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明若1212W W W W +=, 则12W W ⊆或21W W ⊆.(4) 证明因12W W 含1W 与2W 中所有向量, 12W W +含一切形如121122(,)W W αααα+∈∈的向量, 因为1212W W W W +=, 所以121W αα+∈或122W αα+∈. 若121W αα+∈, 令12ααβ+=, 则21αβα=−, 故21W W ⊆; 若122W αα+∈, 令12ααγ+=, 则12αγα=−, 故12W W ⊆.(5) 证明: n 维向量空间V 中, 任意n 个线性无关的向量都可作为V 的一个基.(5) 证明设12,,,n ααα是V 中线性无关的向量, 取V 的单位向量12,,,n εεε, 则12(,,,)n V L εεε=, 且12,,,n ααα中每一个可由12,,,n εεε线性表示. 由替换定理知12,,,n ααα与12,,,n εεε等价, 所以V 中每一个向量可由12,,,n ααα线性表示, 又 12,,,n ααα线性无关, 故12,,,n ααα可作为V 的一个基.(6) 设V 为n 维向量空间, V 中有m 组线性无关的向量, 每组含t 个向量, 证明: V 中存在n t −个向量与其中任一组组成V 的一个基.(6) 证明设V 中m 组线性无关的向量分别为12,,,(1,2,,),i i it i m t n ααα=≤. 令12(,,,)i i i it V L ααα=, 则dim i V t n =<. 因存在1,(1,2,,)i V i m ξ∉=, 使121,,,,i i it αααξ线性无关, 若1t n +<,令/121(,,,,)i i i it V L αααξ=, 则/i V 也为V 的非平凡子空间, 同理存在/2,1,2,,i V V i m ξ=−=, 而且1212,,,,,i i it αααξξ线性无关, 如此继续下去, 可找到12,,,n t ξξξ−使得12,,,,i i it ααα12,,,n t ξξξ−线性无关, 故对每个i ,它们都是V 的一个基.(7) 设n 维向量空间V 的向量组12,,,n ααα的秩为r , 使得11220n n k k k ααα+++=全体n 维向量12(,,,)n k k k 的集合为W . 证明W 是n F 的n r −维子空间.(7) 证明显然12dim (,,,)n L r ααα=, 今设每个i α在12(,,,)n L ααα的某个基下的坐标为12[]i i i ir a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =那么由11220n n k k k ααα+++=可得1122[][][]0n n k k k ααα+++=.它决定了一个含n 个未知量12,,,,n k k k r 个方程的齐次线性方程组, 其系数矩阵12([],[],,[])n ααα的秩为r , 故解空间即W 的维数为n r −.(8) 设12,,,n a a a 是数域F 中n 个不同的数, 且12()()()()n f x x a x a x a =−−−. 证明多(8) 证明因1dim []n F x n −=, 所以只需证12,,n f f f 线性无关. 设有12,,,n k k k F ∈,使1220n n k f k f k f +++= (*)由()0,,()0j i i i f a i j f a =≠≠, 因此将i a 带入(*)得()0i i i k f a =, 从而0,(1,2,)i k i n ==故12,,n f f f 线性无关, 为1[]n F x −的一个基.(9) 设W 是n R 的一个非零子空间, 而对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说, 或者120n a a a ====, 或者每一个i a 都不等于零. 证明: dim 1.W =(9) 证明由W 非零, 我们总可以取12(,,,)n b b b W β=∈, 且0β≠, 那么每个0i b ≠且β线性无关. 今对任意12(,,,)n a a a W α=∈, 若0α=当然α可由β线性表示; 若0α≠而11a W b αβ−∈, 由于其第一个分量为0, 由题设知11ab αβ=. 故β可作为W 的一个基,且dim 1.W =(10) 证明: 22,,1x x x x x +−+是2[]F x 的一个基, 并求2273x x ++关于这个基的坐标.(10) 证明: 2dim []3,F x =22,,1x x x x x +−+由基21,,x x 表示的演化矩阵为 001111110A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭但A 可逆, 故22,,1x x x x x +−+是2[]F x 的一个基.2273x x ++关于这个基的坐标(3,1,3)−,因为13371.23A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11) 若123,,W W W 都是V 的子空间, 求证:11231213(())()()W W W W W W W W +=+.(11) 证明: 任意1123(())W W W W α∈+, 则1W α∈, 且123()W W W α∈+, 因此1311233,,W W W ααααα=+∈∈, 但1W α∈, 知313W W α∈, 故 1213()()W W W W α∈+.反之, 任意1213()()W W W W β∈+, 12112213,,W W W W βββββ=+∈∈, 则1W β∈, 且123()W W W β∈+, 故1123(())W W W W β∈+.(12) 设12,,,s W W W 是n 维向量空间V 的子空间. 如果12s W W W +++为直和.证明:{0},,,1,2,,ij W W i j i j s =≠=.(12) 证明: 由12s W W W +++为直和, 有(){0},,,1,2,,ij i jW W i j i j s ≠=≠=∑, 而(){0},,,1,2,,i j ij i jW W W W i j i j s ≠⊆=≠=∑. 故{0},,,1,2,,i j W W i j i j s =≠=.(13) 设12,W W 分别是齐次线性方程组120n x x x +++=与12n x x x ===的解空间.证明: 12n F W W =+.(13) 证明因120n x x x +++=的解空间的维数为1n −, 且一个基为12(1,1,0,,0),(1,0,1,0,,0),αα=−=−1,(1,0,,0,1)n α−=−, 又12n x x x ===即方程组12231000n n x x x x x x −−=⎧⎪−=⎪⎨⎪⎪−=⎩的系数矩阵的秩为1n −, 其解空间的维数为1, 且一个基为(1,1,,1)β=, 但121,,,n αααβ−线性无关, 它是n F 的一个基, 且12dim dim dim n F W W =+, 故12n F W W =+.(14) 证明每一个n 维向量空间都可以表成n 个一维子空间的直和. (14) 证明: 设12,,,n ααα是n 维向量空间V 的一个基, 那么12(),(),,()n L L L ααα都是一维子空间.显然 12()()()n V L L L ααα=+++于是由V 中向量在此基下表示唯一, 立得结论.(15) 证明n 维向量空间V 的任意一个真子空间都是若干个1n −维子空间的交.(15) 证明: 设W 是V 的任一子空间, 且设12,,,s ααα为W 的一个基, 将其扩充为V 的一个基12,,,s ααα1,,,s n αα+, 那么令12111(,,,,,,,,,)i s s s i s i n W L ααααααα++−++=于是这些,1,2,i W i n s =−, 均为1n −维子空间, 且12n s W W W W −=.(16)设:f V W →是数域F 上向量空间V 到W 的一个同构映射, 1V 是V 的一个子空间.证明: 1()f V 是W 的一个子空间.(16) 证明: 因1(0)()f f V ∈, 所以1()f V 非空. 对任意//1,()f V αβ∈, 由于f 是1V 到1()f V 的满射, 因此存在1,V αβ∈, 使//(),()f f ααββ==, 对任意,a b F ∈, 有 1a b V αβ+∈, 于是//1()()()()f a b af bf a b f V αβαβαβ+=+=+∈, 故1()f V 是W的一个子空间.(17) 证明: 向量空间[]F x 可以与它的一个真子空间同构.(17) 证明: 记数域F 上所有常数项为零的多项式构成的向量空间V , 显然[]V f x ⊂, 且V 中有形式()xf x , 这里()f x ∈[]F x .定义:[];F x V σ()()f x xf x →, 显然σ是[]F x 到V 的双射, 且对于任意(),()f x g x ∈[],,,F x a b F ∈(()())(()())()()(())(())af x bg x x af x bg x axf x bxg x a f x b g x σσσ+=+=+=+故σ是[]F x 到V 的同构映射. 从而V 是[]F x 的一个真子空间, []F x V ≅.(18) 设,αβ是复数, {()[]|()0},{()[]|()0}V f x R x f W g x R x g αβ=∈==∈=,证明: ,V W 是R 上的向量空间, 并且V W ≅.(18) 证明: 易证,V W 是R 上的向量空间,设V 中次数最低的多项式为()h x , 则对任意()f x V ∈, 都有()[]s x R x ∈, 使()()()f x h x s x =, 因此{()()|()[]}V h x s x s x R x =∈同理, 设W 中次数最低的多项式为()k x , 则{()()|()[]}W k x s x s x R x =∈. 定义:()()()()h x s x k x s x σ易证σ是V 到W 的同构映射, 故V W ≅.(19) 证明实数域R 作为它自身上的向量空间与全体正实数集R +对加法: a b ab ⊕=, 与纯量乘法: kk a a =构成R 上的向量空间同构.(19) 证明: 定义:(1)x xa a σ>显然σ是R 到R +的映射.1),x y R ∈, 若x y ≠, 则x y a a ≠, 所以σ为单射;任意b R +∈, 因log ,log ba b a b a R =∈, 则(log )ba b σ=, 即σ为满射.从而σ为双射.2) 任,,()()()x y x y x y x y R x y a a a a a x y σσσ+∈+===⊕=⊕. 3) 任,()()()kx x k x k R kx a a k a k x σσ∈====,于是σ是R 到R +的同构映射. 故R R +≅.(20) 设V 是数域F 上无限序列12(,,)a a 的集合, 其中i a F ∈, 并且只有有限i a 不是零.V 的加法及F 中的数与V 中元的纯量乘法同n F , 则V 构成F 上的向量空间. 证明: V 与[]F x 同构.(20) 证明: 取[]F x 的一个基21,,,x x , 则[]F x 中任一多项式01()n n f x a a x a x =+++关于这个基有唯一确定的坐标01(,,,,0,)n a a a V ∈.定义:()f x σ01(,,,,0,)n a a a则σ是[]F x 到V 的一个同构映射, 故[]F x V ≅.线性变换一判断题(1) 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=−, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ). (2) 在向量空间[]n R x 中, 2(())()f x f x σ=, 则σ是[]n R x 的一个线性变换. ( ). (3) 取定()n A M F ∈, 对任意的n 阶矩阵()n X M F ∈, 定义()X AX XA σ=−, 则σ是()n M F 的一个线性变换. ( ).(4) σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,,m ααα线性相关, 那么12(),(),,()m σασασα也线性相关. ( ).(5) 在向量空间[]n R x 中, 则微商'(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ). (6) 在向量空间3R 中, 已知线性变换1231223312313(,,)(,,),(,,)(,0,).x x x x x x x x x x x x x στ=++=则12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ−=−+−. ( ).(7) 对向量空间V 的任意线性变换σ, 有线性变换τ, 使(στιι=是单位变换). ( ). (8) 向量空间2R 的两个线性变换σ,τ为12121(,)(,)x x x x x σ=−;12122(,)(,)x x x x x τ=−则212212()(,)(,).x x x x x στσ−=−+(9) 在实数域F 上的n 维向量空间V 中取定一组基后, V 的全体线性变换和F 上全体n阶矩阵之间就建立了一个一一对应. ( ).(10)在取定基后, V 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵.( ).(11) 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). (12) 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). (13) 域F 上的向量空间V 及其零子空间, 对V 的每个线性变换来说, 都是不变子空间.( ).(14) 除零变换外, 还存在向量空间V 的线性变换, 能使V 的任意子空间对该变换不变.( )(15) 向量空间V 的线性变换1σ的不变子空间W , 也是V 的另一线性变换2σ的不变子空间, 这里21σσ≠. ( ).(16) 向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). (17) 线性变换σ的特征向量之和, 仍为σ的特征向量. ( ). (18) 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ). (19) 数域F 中任意数λ都是F 上的向量空间V 的零变换的特征根. ( ). (20) σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ).参考答案：(1)正确 (2)错误 (3)正确 (4)正确 (5)正确 (6)正确 (7)错误 (8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)错误 (16)正确 (17)错误 (18)正确 (19)错误 (20)错误二填空题(1) 设V 和W 是数域F 上的向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射, 那么σ是单射的充要条件是____________.(2) 设V 和W 是数域F 上的向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射, 那么σ是满射的充要条件是____________.(3) σ是向量空间V 的线性变换, 若满足________________, 则称σ是可逆变换. (4) 向量空间V 的任意线性变换σ, 都有(0)_______,()______.σσα=−=(5)σ是n 维向量空间V 的一个位似变换: (),k σξξ=那么σ关于V 的__________基的矩阵是kI .(6) 在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是 111213212223313233a a a A a a a aa a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵是_____________.(7) 在3F 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=−+, 那么σ关于基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵是________________.(8)设12,σσ分别是向量空间2R 中绕原点逆时针旋转12,θθ角的线性变换, 那么21σσ关于基12(1,0),(0,1)αα==的矩阵是___________________.(9) 对于域F 上向量空间V 的数乘变换来说______________不变子空间. (10)2维平面上的旋转变换σ,_________非平凡的不变子空间.(11) 若线性变换σ与τ是_____________, 则τ的象与核都是σ的不变子空间. (12) 相似矩阵有_____的特征多项式.(13)0()0I A X λ−=的___________都是A 的属于0λ的特征向量. (14) A 与对角阵相似, ()[]f x F x ∈, 则()f A 必与某一______________. (15) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根是12,,,t λλλ, 则σ可对角化的充要条件是_____________.(16) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, 如果V 的任意一维子空间都是σ的不变子空间, 那么σ可以_____________.(17) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, σ可对角化的充要条件是 1)σ的特征多项式的根都在F 内; 2)_______________________________;(18) 设()n A M F ∈, 如果A 的特征多项式在F 内有______________, 那么A 可对角化. (19) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, λ是σ的一个特征根, 则dim ____V λλ的重数.(20) 矩阵327024005⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征根是______________.答案(1)ker(){0}σ= (2)Im()W σ= (3)存在V 的线性变换τ, 使σττσι== (4)0,α−(5)任意 (6)131112112321222133313231222a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭ (7)210011100−⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(8)12121212cos()sin()sin()cos()θθθθθθθθ+−+⎛⎫⎪++⎝⎭ (9)每个子空间都是 (10)没有 (11)可交换的(12)相同 (13)非零解向量 (14)对角阵相似 (15)1dim i ti V n λ==∑ (16)对角化 (17)对于σ的特征多项式的每一个根λ, 特征子空间V λ的维数等于λ的重数 (18)n 个不同的单根 (19)≤ (20)3, 2, 5三. 单选题：1．向量空间()n V F 的零变换θ的象及核的维数分别是（）。

《工程高等代数》7第七章线性空间与线性变换习题解答

习题七A 组1．填空题（1）向量组(1,1,0,1),(1,2,3,0),(2,3,3,1)--生成的向量空间的维数是．解 2．（2）设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V ，则它的维数是．解 6．（3）次数不超过2的多项式的全体构成线性空间[]2P x ，其中的元素2()1f x x x =++在基1,1,(1)(2)x x x ---下的坐标是．解 T (3,4,1)．（4）设1231010,1,1110⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα是向量空间3V 的一个基，则向量111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α在该基下的坐标是．解 T111,,222⎛⎫⎪⎝⎭．（5）二维向量空间2R 中从基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到另一个基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵是．解 2312⎛⎫⎪--⎝⎭．（6）三维向量空间中的线性变换(,,)(,,)T x y z x y x y z =+-在标准基1(1,0,0)=e ，2(0,1,0)=e ，3(0,0,1)=e 下对应的矩阵是．解 110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．2. 选择题（1）下列说法中正确的是．（A ）任何线性空间中一定含有零向量；（B ）由r 个向量生成的子空间一定是r 维的；（C ）次数为n 的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；（D ）在n 维向量空间V 中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V 的子空间．（2）下列说法中错误的是．（A ）若向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（B ）若n 维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（C ）若1n -维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα不是V 的一个基；（D ）n 维向量空间V 的任一个基必定含有n 个向量．（3）下列3维向量的集合中，是3R 的子空间．（A ）{}123123123(,,)0;,,x x x x x x x x x ⋅⋅≤∈R ；（B ）{}222123123123(,,)1;,,x x x x x x x x x ++=∈R ；（C ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ==∈R ；（D ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ≥≥∈R . （4）在2V 中，下列向量集合构成子空间的是．（A ）(0,0),(0,1),(1,0)组成的集合；（B ）(0,0)组成的集合；（C ）所有形如(,1)x 的向量组成的集合；（D ）满足1x y +=的所有(,)x y 组成的集合．（5）2V 的下列变换不是线性变换．（A ）(,)(0,0)T x y =；（B ）(,)(,)T x y ax by cx dy =++，,,,a b c d 是实数；（C ）(,)(,1)T x y x y =+；（D ）(,)(0,)T x y x y =-．解（1）A ; （2）A ; （3）C ; （4）B ；（5）C ． 3．验证：（1）主对角线上元素之和等于0的2阶矩阵的全体1S ；（2）2阶对称矩阵的全体2S ，对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基．解 (1)任取11,S S ∈∈A B ，,ac be d af b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，其中,,,,,a b c d e f 表示任意实数，则对于任意的,k λ∈R ，有线性运算的封闭性成立：1ka bkc e k S kd fka b λλλλλ++⎛⎫+=∈⎪+--⎝⎭A B ．1S 的一个基是100100,,010010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2)任取22,S S ∈∈A B ，对于任意的,k λ∈R ，都满足运算成立：T T T 2()k k k S λλλ+=+=+∈A B A B A B ．2S 的一个基是100001,,000110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．4．验证：与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间．证明与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量的集合记作V ，T T (1,1,1),(1,0,1)V ==∈αβ，但T(0,1,0)V -=∉αβ，所以V 不是线性空间．5．设U 是线性空间V 的一个子空间，证明：若U 与V 的维数相等，则U =V ．证明设12,,,r ααα是U 的一个基，因为U V ⊆，所以12,,,r V ∈ααα．对于任意的V ∈α，必定可被12,,,r ααα线性表示，否则与“U 与V 的维数相等”矛盾．由α的任意性知V U ⊆，从而U =V ．6. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．(1) 110,,0a W a b c b c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ； (2) 100,,,00a b W a b c a b c c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=++=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ．解 (1)不构成．由于1100000W ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭A B 但 1200000W ⎛⎫+=∉ ⎪⎝⎭A B ，即1W 对矩阵加法不封闭．(2) 构成．任取1122221200,0000a b a b W W c c ⎛⎫⎛⎫=∈=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ，有1112220,0a b c a b c ++=++=，121212000a a b bc c ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭A B ．于是1212120a a b b c c +++++=，1212212000a a b bW c c ++⎛⎫+=∈ ⎪+⎝⎭A B ．对任意k ∈R ，111000ka kb k kc ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，1110ka kb kc ++=，所以2k W ∈A ．2W 对矩阵加法和数乘运算封闭，所以2W 构成子空间．7. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．（1）由所有行列式为零的矩阵所组成的集合1W ；（2）由所有满足2=A A 的矩阵组成的集合2W ．解 (1) 不构成．取10,00⎛⎫=⎪⎝⎭A 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，1,W ∈A B ，但是10,1,01⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭A B A B 因此1W +∉A B ，加法不封闭．(2) 不构成．取单位矩阵1001⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，2=E E ，2W ∈E ，但2(2)42=≠E E E ，所以22W ∉E ，数乘不封闭．8. 在3R 中求向量T (2,7,6)=-α在基T T T123(2,0,1),(1,3,2),(2,1,1)=-==-ααα下的坐标．解设所求坐标为T123(,,)x x x ，则1232312322270362x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得T T 123(,,)(1,2,1)x x x =-． 9．3R 中两个基为T T T 123(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)==-=ααα；T T T 123(1,2,1),(2,3,4),(3,4,5)===βββ，求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵．解设123123(,,)(,,)=P βββααα，则1123123(,,)(,,)-=P αααβββ1111123234100234011111145100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．10．在3R 中，取两个基T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===e e e ；T T T 123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)===ααα，（1）求由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵；（2）已知由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为110011001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，求123,,βββ；（3）已知α在基123,,βββ下的坐标为T (1,2,3)，求α在基123,,ααα下的坐标．解（1）因为123123111(,,)(,,)011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭e e e ααα，所以基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ．（2）由于123123*********(,,)(,,)011011010001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A βββααα，故 T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===βββ．（3）设α在基123,,ααα下的坐标为T 123(,,)x x x ，则有112323(,,)x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα，又12312311(,,)2(,,)233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A αβββααα，从而123111011201121300133x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． 11．在3R 中取两个基T T 11T T 22T T33T T 44(1,0,0,0),(2,1,1,1),(0,1,0,0),(0,3,1,0),(0,0,1,0),(5,3,2,1),(0,0,0,1),(6,6,1,3).⎧⎧==-⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩e e e e αααα （1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵；（2）求向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标；（3）求在两个基下有相同坐标的向量．解 (1) 因为123412342561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭e e e e αααα，所以前一个基到后一个基的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A ． (2) 设向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标为T1234(,,,)y y y y ，则1112221234333444(,,,)x y y x y y x y y x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A αααα，所以，11112221333444256133611211013y x x y x x y x x y x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 123412927331129231900182773926x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭． (3) 设向量T 1234(,,,)x x x x =α在两个基下有相同的坐标，则112212343344(,,,)x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e e e E α，112212343344(,,,)x x x xx x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ααααα，所以 1234()x x x x ⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A E 0，解得T (1,1,1,1),k k =-∈R α． 12．说明xOy 平面上变换x x T y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 的几何意义，其中(1) 1001-⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (2) 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭A ；(3) 0110⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (4) 0110⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ．解 (1)1001x x x x T y y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于y 轴对称；(2)00001x x x T y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，投影到y 轴；(3)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于直线y x =对称；(4)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，顺时针旋转90．13．n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个(1)2n n +维线性空间．给定n 阶矩阵P ，以A 表示V 中的任一元素，变换T ()T =A P AP称为合同变换．证明合同变换T 是V 中的线性变换．证明设,V ∈A B ，k ∈R ，则T T ,==A A B B ，所以T ()+=+A B A B ，T ()k k =A A ．从而+A B 与k A 是对称矩阵．又因为T T T ()()()()T T T +=+=+=+A B P A B P P AP P BP A B ，T T ()()()T k k k kT ===A P A P P AP A ，所以T 是V 中的线性变换．14．设3R 中123,,ααα是一个基，且线性变换T 在此基下的矩阵为460350361⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，（1）证明123312,,2-++-+αααααα也是3R 的一个基；（2）求线性变换T 在此基下的矩阵．证明（1）令112323312,,2=-++==-+βαααβαβαα，可解得1123,=--αβββ 212322=--αβββ， 32=αβ，这说明了123,,ααα和123,,βββ可以相互线性表示，从而它们等价，所以123,,βββ是3R 的一个基．（2）设线性变换T 在基123,,βββ下的矩阵是B ，并设从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵是P ，则1-=B P AP ，由条件知102101110--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，得1120121110-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭P ，从而 1200010001--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭B P AP ．15．函数集合{}23210210(),,xV a x a x a e a a a ==++∈R α对于函数的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基2123,,x x x x e xe e ===ααα，求微分运算D 在这个基下的矩阵．解因为21123()220x x D x e xe =+=++αααα， 2123()0x x D e xe =+=++αααα，3123()00x D e ==++αααα，所以微分运算D 在这个基下的矩阵为100210011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭．16．二阶对称矩阵的全体12312323,,x x V x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R A 对于矩阵的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基123100100,,001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，在3V 中定义合同变换1011()1101T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A ，求T 在基123,,A A A 下的矩阵．解因为11123101110101111()110111000111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A A ，2223101110011101()2110111100112T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A ，333101110001100()110111010101T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，123123100((),(),())(,,)110121T T T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A A A A A ，所以T 在基123,,A A A 下的矩阵为100110121⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．17．设A 是一个正定矩阵，向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y ==αβ．在nR 中定义内积 [],αβ为[]T ,=A αβαβ．证明在这个定义之下，n R 是一个Euclid 空间．证明按定义证明满足以下四条性质即可．（1）对称性 [][]T T T T T T ,(),=====A A A A αβαβαββαβαβα．（2）线性加性 [][][]TT T ,(),,+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ．（3）线性齐性 [][]T T ,()(),k k k k ===A A αβαβαβαβ．（4）非负性由于A 是正定矩阵，所以[]T ,=A αααα是个正定二次型，从而[],0≥αα，当且仅当=0α时[],0=αα．18．设V 是一个n 维Euclid 空间，≠0α是V 中一固定向量，证明：[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V的一个子空间．证明因为1V ∈0，所以1V 非空．再证1V 对两种运算封闭．任给121,V ∈x x ，即[][]12,0,,0==x αx α，根据V 的线性加性有[][][]1212,,,+=+=x x αx αx α000+=，从而可知121V +∈x x ．另一方面，由[][]11,,0k k ==x αx α可知，11k V ∈x ．此即证得[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V 的一个子空间．B 组1．求二阶矩阵构成的线性空间22⨯R中元素0123⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 在基10111⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，21011⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，31101⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，41110⎛⎫= ⎪⎝⎭G 下的坐标.解设11223344k k k k =+++A G G G G ，则234134124123 0,1, 2, 3,k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 解得12340,1,2,3k k k k ==-=-=，所求坐标为T (0,1,2,3)--. 2．在二阶矩阵构成的线性空间22⨯R 中，（1）求基123410010000,,,00001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭E E E E到基123421035366,,,11102113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭F F F F的过渡矩阵；（2）分别求向量11122122a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭M 在基1234,,,E E E E 和基1234,,,F F F F 下的坐标；（3）求一个非零向量A ，使得A 在这两个基下的坐标相等．解（1）因为112342=+-+F E E E E ， 21234030=+++F E E E E ， 31234532=+++F E E E E ， 41234663=+++F E E E E ，即1234123420561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭F F F F E E E E ，所以，基1234,,,E E E E 到基1234,,,F F F F 的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P ．（2）显然11121111222132242122a a a a a a a a ⎛⎫==+++⎪⎝⎭M E E E E ，得到M 在基1234,,,E E E E 下的坐标为T 11122122(,,,)a a a a ．设M 在基1234,,,F F F F 下的坐标为T 1234(,,,)y y y y ，则111212342122(,,,)a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M E E E E 1122123412343344(,,,)(,,,)y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F F F F E E E E P ，得111112121213212142222411119391412327932712003371126279327y a a y a a y a a y a a -⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭P 1112212211122122112211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭．（3）解方程111221221111122122122111222211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪+-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭，得11122122a a a a ===-，所以11,011k k ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭A ．3. 设T 是四维线性空间V 的线性变换，T 在V 的基1234,,,αααα下的矩阵为1222265200120026----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭A 求T 在V 的基11212323434,,,==-+=-+=-+βαβααβααβαα下的矩阵.解 12341234(,,,)(,,,)=P ββββαααα，其中1100011000110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P , 所求矩阵11300240000130024-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P AP . 4. 设12,,,n ααα是n R 的一个基．(1) 证明11212312,,,,n ++++++ααααααααα也是n R 的一个基；(2) 求由基12,,,n ααα到基11212312,,,,n ++++++ααααααααα的过渡矩阵；(3) 求向量α在基12,,,n ααα下的坐标T 12(,,,)n x x x 和在基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα下的坐标T 12(,,,)n y y y 间的变换公式.解 (1) 因为()()1121231212111011,,,,,,,001n n ⎛⎫⎪⎪++++++= ⎪⎪⎝⎭αααααααααααα，所以111011001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，10=≠P ，P 可逆，从而向量组1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα与向量组12,,,n ααα等价，而12,,,n ααα是n R 的一个基，所以1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα也是n R 的一个基．(2) 由基12,,,n ααα到基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ． (3) 坐标变换公式为11111222211100000110001110010001100011000100001100001n n n n y x x x y x x x y x x x ---⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭P ． 5. 设12,,,n ααα是V 的一个基，且()()1212,,,,,,n n =A βββααα，证明12,,,n βββ是V的一个基的充分必要条件是矩阵A 为可逆矩阵．证明由于12,,,n ααα线性无关，注意到()()112211221212,,,,,,n n n n n n k k kkk k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ββββββααα，可得12,,,n βββ是V 的一个基⇔12,,,n βββ线性无关⇔1122n n k k k +++=0βββ时，必定有120n k k k ====⇔()1212,,,0n n k kk ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ααα时，必定有120n k k k ====⇔12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 0时，必定有120n k k k ====⇔齐次线性方程组=Ax 0只有零解 ⇔0≠A ⇔A 是可逆矩阵．6. 设12,V V 是线性空间V 的两个不同的子空间，且1V V ≠，2V V ≠，证明在V 中存在向量α，使得12,V V ∉∉αα同时成立．证明由于1V V ≠，2V V ≠，于是在V 中存在向量,αβ，使得12,V V ∉∉αβ成立．若2V ∉α，则α即为所求．若2V ∈α，则对任意数k ，有2k V +∉αβ．否则，由于2V ∈α和2k V +∈αβ，可得2()k k V +-=∈αβαβ，与假设矛盾．于是，取12k k ≠，则11k V +∈αβ与21k V +∈αβ不能同时成立，否则12121()()()k k k k V +-+=-∈αβαβα，有1V ∈α，矛盾．故11k V +∉αβ与21k V +∉αβ至少有一个成立，不妨设11k V +∉αβ，又12k V +∉αβ，因此1k +αβ即为所求． 7. 设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两个基，证明（1）在两组基下坐标完全相同的全体向量的集合1V 是V 的子空间；（2）设基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵是P ，若()R r -=E P ，则1dim V n r =-；（3）若V 中的每个向量在这两个基下的坐标完全相同，则1122,,,n n ===αβαβαβ．证明（1）设1,V ∈αβ，即11221122n n n n x x x x x x =+++=+++ααααβββ， 11221122n n n n y y y y y y =+++=+++βαααβββ．则111222111222()()()()()()n n n n n n x y x y x y x y x y x y +=++++++=++++++αβαααβββ，1122n n k kx kx kx =+++αααα1122n n kx kx kx =+++βββ，即+αβ，k α在这两个基下的坐标也完全相同，于是1V +∈αβ，1k V ∈α，从而1V 是V 的子空间．（2）设α是1V 中任一向量，则12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭αββββββ1212(,,,)n n x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ααα．于是，α在两个基下的坐标存在关系=x Px ，T 12(,,,)n x x x =x ，即()-=E P x 0．由于()R r -=E P ，故此齐次线性方程组的解向量的全体构成n r -维空间，从而α的全体即1V 的维数是n r -．（3）i α(1,2,,)i n =在基12,,,n ααα下的坐标为T (0,0,,0,1,0,,0)（第i 个分量为1，余皆为0），即11100100i i i i n -+=++++++αααααα， 1,2,,i n =．而由条件，i α(1,2,,)i n =在基12,,,n βββ下的坐标也是T (0,0,,0,1,0,,0)，即11100100i i i i n -+=++++++αβββββ，1,2,,i n =，从而有i i =αβ，1,2,,i n =．。

矩阵论课后习题答案

第一章线性空间与线性映射习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。

（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ；（4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ，则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。

（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。

高等代数课后习题答案(山东大学出版社第二版)第六章线性空间

第六章线性空间第一节映射∙代数运算1．（1）双射. （2）非单射也非满射. (3）非单射也非满射. （4）满射. 2．（1）由b a b gf a gf =⇒=)()(.（2）C c ∈∀，B b ∈∃使c b g =)(（因为g 为满射），对于b ，又A a ∈∃使b a f =)(（因为f 为满射），即c a gf=)(.3．由2知gf为双射，且C I g gff=--11，C I gf g f=--11，因此111)(---=g fgf .4.A b a ∈∀,，若)()(b f a f =，则)()(b gf a gf =，由b a I gf A =⇒=，故f为单射.B b a f A a ∈=∃∈∀)(,，使a a gf b g ==)()(.第二节线性空间的定义1. (1)，(2)不是线性空间；(3)，(4)，(5)，(6)是线性空间．2. 否．因为R i i ∉=⋅1．4. 设α为非零向量，F l k ∈∀,，当l k ≠时， ααl k ≠，因此V中含有无限个向量．5. 因为φ≠∈V )0,0(,显然⊕是V 上的代数运算，"" 为V V R →⨯的代数运算．且容易验证（１）——(8）条运算律均成立.6. 若在nF 中,通常的加法及如下定义的数量乘法: 0=⋅αk ．容易验证当0≠α时，αα≠=⋅01,但其余7条运算律均成立．第三节基维数坐标1. 提示：反证法．2.(1)一个基为),,2,1(n i E ij =,)(j i E E ji ij ≠+，维数为2)1(+n n ．(2)一个基为)(j i E E ji ij≠-，维数2)1(-n n ．(3)一个基为2，维数为1． (4)一个基2,,A A E ，维数为3．3. 易证n n n l ααααααα,,,,,,2121 +↔，由l 的任意性及当l k ≠时n n k l αααα+≠+11，可得结论．4.易知C x x x a x a x a xn n ),,,,1())(,,)(,,1(1212--=--- ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-------10)(100)(210)(133122112n n n n n n n a C a C a a a a C且01≠=C ．其坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101n a a a C ． 5. (1))3,4,1,4(--． (2) )0,1,0,1(-．6. 22n 维．一个基为),,2,1,(,n j k i E E kj kj =．第四节基变换和坐标变换１.(1) 过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001100001000010 ．(2) 过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000100001 k ．3. 非零向量=ξ),,,(k k k k -,F k ∈且0≠k .4. 易知C n n ),,,(),,,(2113221ααααααααα =+++，其中C 的行列式为1)1(1+-=+n C N k k n k n ∈⎩⎨⎧-===12,22,0．因此当n 为偶数时不为V 的基;当n 为奇数时为V的基．第五节线性子空间1. (1),(2)是nF 的子空间，(3)不是nF 的子空间． 2. (1) 一个基为1,12--x x ，维数为2．(2)一个基为421,,ααα，维数为3．3. (1)φ≠)(A C ，且)(,21A C B B ∈∀,易证AB B B B A )()(2121+=+,因此)(21A C B B ∈+，又Fk ∈∀,有A kB kB A )()(11=，所以n F kB ∈1，从而)(AC 是n F 子空间．(2)n n F A C ⨯=)(．(3) 一个基为),,2,1(n i E ii =，维数为n ．4. 只证3221,,αααα↔．5.若1dim >W ,必V ∈∃βα,,对F k ∈∀均有βαk ≠．令),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα且11kb a =,当2≥n 时至少有一个i使i ikb a ≠,于是βαk -的第一个分量为0,但是第i个分量不为0的向量，矛盾．6. 只证V ∈∃α，但1W ∉α且2W ∉α．由1W 为真子空间知，V ∈∃α但1W ∉α，若2W ∉α则结论成立．若2W ∈α，则由2W 为真子空间知V∈∃β但2W ∉β，若则结论成立．若1W ∈β则V ∈+βα但1W ∉+βα，且2W ∉+βα．第六节子空间的和与直和2．取V 的基n εεε,,,21 ，易证)()()(21n L L L V εεε⊕⊕⊕= ．3．显然21211W W W V ++=，设21211=++ααα，其中2211),2,1(,W i W i i ∈=∈αα，则)(21211=++ααα及21W W V ⊕=，可得0,021211==+ααα，再由12111W W W ⊕=知01211==αα，故21211W W W V ⊕⊕=．4.必要性∑-=⋂∈∀11i j ji i W W α，则∑-=∈11i j ji W α于是令121-+++=i i αααα 从而由000121=+++-+++- i i αααα及∑=ti iW 1为直和可知0=i α．充分性假设21=+++t ααα 中最后一个不为的是iα,即)1(,01>===+i t i αα ，则{}011121≠⋂∈----=∑-=-i j j i i i W W αααα 矛盾．5. 首先21W W Fn+=，其次2121),,,(W W a a a n ⋂∈=∀ α，由n a a a === 21及021=+++n a a a ，可知0=i a 即0=α．6.nF ∈∀α，由αααA E A +--=)(,易证21,)(W A W E A ∈∈--αα，故21W W +∈α，即21W W F n +⊆且n F W W ⊆+21，于是21W W F n +=．21W W +∈∀β,可得0=β,从而21W W F n ⊕=.7. 充分性n F X ∈∀，由X AE X X E X 22-++=，易证21W W Fn+⊆．且21W W ⋂∈∀α由 ⎝⎛=+=-0)(0)(ααE A E A ，可得0=α，故21W W F n ⊕=．必要性由21W W F n ⊕=可知，nF X ∈∀有21X X X +=，且由⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-21210)(0)(XX X X E A X E A ，可得X A E X X A E X 2,221-=+=．故0)(212)(2=-=+-X E A X A E E A ，由X 的任意性可知E A =2． 8. 余子空间为),(43εεL ，其中)1,0,0,0(),0,1,0,0(43==εε．9. 取W 的基r ααα,,,21 ,将其扩充成V 的基n r r ααααα,,,,,,121 +,取F k k L W n r r k ∈+=++),,,,(211αααα ，则k W 为W 的余子空间，且当l k ≠时，l k W W ≠．10.)3()2(),2()1(⇒⇒,显然．)4()3(⇒利用维数公式对t 用数学归纳法； )5()4(⇒只证i W 的基的联合是线性无关的即可； )1()5(⇒∑=∈∀ti iW 1α,设t t βββαααα+++=+++= 2121,其中ti W i i i ,,2,1,, =∈βα,令iiirir i i i i i b b b αααα+++= 2211,iiirir i i i i i c c c αααβ+++= 2211,其中iiri i ααα,,,21为iW 的基．由0)()()(2211=+++-+-t t βαβαβα 得0)()()()(111111*********=-++-++-++-t t t tr tr tr t t t r r r c b c b c b c b αααα于是0,,01111=-=-t t tr tr c b c b ，即t i i i ,,2,1, ==βα．第七节线性空间的同构2.R x ∈∀，令x x 2)(=σ即可．3. 二者维数相同．n m ij F a A ⨯∈∈∀)(,令),,,,,,,,()(2111211mn m m n a a a a a a A =σ4.112210)(--++++=∀n n x a x a x a a x f ，令),,,())((110-=n a a a x f σ．5. 基为4321,,,ββββ，维数为4．6. 基为D C B A ,,,，维数为4．7. 令b a V V →:σ， )()(()()(x h b x x h a x x f -→-=a V x h a x x f x h a x x f ∈-=-=∀)()()(),()()(2211,若)()()()(21x hb x x h b x -=-则)()(21x h x h =，从而)()(21x f x f =，即σ为单射．)()()(1x g b x x g -=∀，有)()()(1x g a x x f -=使)())((x g x f =σ，即σ为满射．a V x f x f ∈∀)(),(21及F l k ∈∀,，易证)()(),()()((22121x f l x f x f k x lf x kf σσσ+=+．补充题六1.),,,(21 ++n n n x x x L ．2. 设F 作为K 上的线性空间的维数为n ，其一个基为n e e e ,,,21 ，设E 作为F 上的线性空间的维数为m ，其一个基为n εεε,,,21 ，则{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε为E 作为K 上的线性空间的一个基．事实上，E ∈∀α，可设m i F b e b i ni i i ,,2,1,,1 =∈=∑=α．而F 是K 上的线性空间，可设n j m i K a a a a b ij n in i i i ,,2,1;,,2,1,,2211 ==∈+++=εεε．故∑∑===mi nj j i ij e a 11)(εα．令0)(11=∑∑==mi nj i j ije kε,n j m i K k ij ,,2,1;,,2,1, ==∈，则0))(11=∑∑==m i nj i j ij e k ε，故j nj ijkε∑=1，进而n j m i k ij ,,2,1;,,2,1,0 ===．故{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε是其一个基．3. 设1V 的基为r εεε,,,21 ，将其扩充为V的基n r r εεεεε,,,,,,121 +，令),,(11n r L W εε +=,则11W V V⊕=，又令),,,(22112r n n r r L W -+++++=εεεεεε这里r r n ≤-,易证r εεε,,,21 ,r n n r r -+++++εεεεεε,,,2211 线性无关,从而21W V V ⊕=．设21W W ⋂∈α,则n n r r r n n n r r l l k k εεεεεεα++=++++=++-++ 11111)()(,得到01===+n r k k ，进而0=α，即{}021=⋂W W ．若2n r<上述问题不成立，用反证法，设2111W V W V V ⊕=⊕=，而{}021=⋂W W ，令n r r εεε,,,21 ++是1W 的基，''1,,n r εε +是2W 的基，则n r r εεε,,,21 ++,''1,,n r εε +线性无关．事实上,考察n n r r k k εε++++ 110''11=+++++nn r r l l εε 所以n n r r k k εε++++ 11{}021''11=⋂∈---=++W W l l nn r r εε 因此011=++++n n r r k k εε进而0,011====+=++n r n r l l k k ,而''11,,,,,n r n r εεεε ++共有)2(r n n r n r n -+=-+-个向量，因为2nr <，所以02,2>->r n r n ，故n r n r n >-+-，矛盾．4. 解设)(x m A 为A 的最小多项式,令)(x m A 的次数m ，则1,,,-m A A E线性无关，从而m W =dim .事实上，首先1,,,-m A A E线性无关，否则存在110,,-m k k k 不全为零，使01110=+++--m m A k A k E k ，而令0,011===≠-+m i ik k k ，即10,010-≤<=+++m i A k A k E k i i ，与)(x m A 为A 的最小多项式矛盾，从而它们线性无关． ][)(x P x f ∈∀，则存在)(),(x r x q ，使,)(deg 0)(),()()()(m x r or x r x r x q x m x f A <=+=故 )()(A r A f =即)(A f 可由 1,,,-m A A E 线性表示．故 1,,,-m A A E 为W 的基．5. 参考本章第五节练习题6．6. 证对用数学归纳法．当2=s 时，由上题知，结论成立；假定对1-s 个非平凡的子空间结论成立，即在V中存在向量α，使1,,2,1,-=∉s i V i α对第s 个子空间s V ，若s V ∉α，结论已对；若s V ∈α，则由于s V 为非平凡子空间，故存在s V ∉β．对任意数k ，向量s V k ∉+βα，且当21k k ≠时向量βαβα++21,k k 不属于同一个)11(-≤≤s i V i ．今取s 个互不相同的数s k k k ,,,21 ，则s 个向量βαβαβα+++s k k k ,,,21中至少有一个不属于任何121,,,-s V V V ，这样的向量即满足要求．7. 只证0=X AA T 与0=X A T 同解即可．8. 设012=X A 与012=X B 的解空间分别为1V 与2V ．1V ∈∀α，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααα2222222222121000A B A B A B A A ,故222V A ∈α．令αασ22:A →，易证σ是1V 到2V 的同构映射．9. 由维数公式)dim(dim )dim())dim((k j i k j i k j i W W W W W W W W W ++-++=⋂+得)dim ()dim (dim )dim (j i k j i k j i k W W W W W W W W d ⋂+++-++=)dim(dim dim dim k j i k j i W W W W W W ++-++=从而321d d d ==．10. 证设齐次方程组0=AX 的解空间为1W ，齐次方程组0=BX 的解空间为2W ．任取21W W ⋂∈α,则0,0==ααB A ,从而0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛αB A ,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C可逆,所以0=α,即{}021=+W W ,因此n F n W W dim )dim (21==+,且n F W W ⊆+21,因此21W W F n⊕=． 11. 证任取)(AB N X ∈，由n I BD AC =+，则 BDX ACX X +=由0)()(==ABX C ACX B ,所以)(B N A C X ∈,由)()(==ABX D BDX A ,所以)(A N B D X ∈,从而)()()(B N A N AB N +=．任取)()(B N A N X ⋂∈，则)(A N X ∈，从而)(,0NB X AX ∈=，从而0=BX ，于是0)()(=+=+=BX D AX C BDX ACX X 即)()()(B N A N AB N ⊕=．12. 证法同上题. 13. (1)证例如，取)1,,1,1( =α，则由α的一切倍数)(F k k ∈α作成的子空间W 中，每个非零向量0),,,,(≠=k k k k k α的分量都不是零．(2) 见习题6.5中的题5． 14. 证必要性显然；充分性设221121,,0V V ∈∈=+ββββ，则21ααα+=，由α的分解唯一可知021==ββ，故21V V +是直和． 15. 若n ααα,,,21 是V 作为C 上的线性空间的基，则n n i i ααααα,,,,,,121 是V作为R 上的线性空间的基．16. 若{}0=W ，则n n F A ⨯∈∀且0,0||=≠AX A 的解空间即为W ;若{}0≠W,且设r W =dim ,取其一个基r ααα,,,21 ,令r i in i i i ,,2,1),,,,(21 ==αααα则以n r ij a A ⨯=)(为系数矩阵的齐次方程组0=AX 的基础解系为r n -βββ,,,21 ，且令r n j b b b jn j j j -==,,2,1),,,,(21 β．则齐次方程组0=BY 的解空间为r 维，且r ααα,,,21 为其一个基础解系．即),,(21r L W ααα =，其中n r n ij b B ⨯-=)()(．17. 令121dim )dim(V t V V =+⋂,221dim )dim (V l V V =+⋂而1)dim ()dim (dim dim dim )dim (2121212121+⋂=+++=⋂-+=+V V t l V V V V V V V V于是1,01==⇒=+t l t l或者0,1==t l ．当0=l时，221V V V =⋂，此时12V V ⊆．当0=t时，121V V V =⋂，此时21V V ⊆．18. 取基为n n αααα,,,21 ++．19. 设A 为半正定的，故存在秩为r 的矩阵B ，使B B A '=，由此'S S =．其中{}|'==xAx x S{}|'1==Ax x S 此时构成线性空间，维数为r n -．设A 为半负定的，则A -为半正定的．令 {}0|'==xAx x S {}0|'1==Ax x S若A 不定，则存在可逆矩阵Q 使 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0'qp E E QAQ 那么经过线性变换YQ X =,)(x f 化为221221'')(q p p p y y y y Y YQAQ x f ++---++==取1,111==+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(1 =x ,从而0)(1=x f ,取1,111=-=+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(2 -=x ，从而0)(2=x f ，但是)0,,0,2,0,,0,0(21 =+x x ，04)(21≠-=+x x f ，所以此时不能构成线性空间．20. (1) 用定义直接验证; (2) 维数为n ,基:1,,,-n A A E ．。

第六章线性空间自测练习及答案

第六章线性空间—自测答案一.判断题1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。

2.两个线性子空间的并仍是子空间。

3.n 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。

4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。

5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。

6.同构映射的逆映射仍是同构映射。

7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。

8.同构的线性空间有相同的维数。

9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。

10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。

答案：错：2.5.8 对：1.3.4.6.7.9.10 二.计算与证明1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维数。

解：(1)0f =0110n a a a -∴++=……+ 0121n a a a a -∴=----……设11a k =，22a k =，…，11n n ak --=，故0121n a k k k -=----……，21121121()n n n f t k k k k t k t k t ---∴=---+++ 21121(1)(1)(1)n n t k t k tk --=-+-++-因此，W 中任一多项式可写成211,1,,1n t t t ---- 的线性组合，易知211,1,,1n t t t---- 线性无关，故为W 的一组基，且W 的维数为n -1. 2. 求22P ⨯中由矩阵12113A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，21020A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭生成的子空间的基与维数。

解：取22P ⨯的一组基11122122,,,E E E E ，则有 12341112212221311011,,,)(,,,)12133033A A A A E E E E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（设213110111213333A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即为1234,,,A A A A 在11122122,,,E E E E 下的坐标矩阵，对其作初等行变换得矩阵1011011-1000000B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1234dim (,,,)2L A A A A rankB ∴==，12,A A 为一组基。

线性空间与线性变换习题解析

定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是: L对于V中的线性运算封闭.
四、线性空间的基与维数
定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, ···, nV, 满足:
(1) 1, 2, ···, n 线性无关; (2) V中任意元素总可以由1, 2, ···, n线性表示, 则称1, 2, ···, n为线性空间V的一个基, 称n为线性空
第六章习题课
一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之对应, 称为与的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
则上式可表示为
T(1, 2, ···, n)= (1, 2, ···, n)A
其中
A
=

a11 a21
an1
a12 a22
an2

a1n a2n

ann

,
则称A为线性变换T在基1, 2, ···, n下的矩阵.
结论: 在Vn中取定一个基后: 由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换T.
(1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT().
则称T为从Vn到Um的线性变换.
一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,

习题与复习题详解线性空间高等代数

习题5. 11．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘; 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n 阶实对称矩阵的性质知;n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵;数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵; 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭; 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +; 其加法与数乘定义为,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈;,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈;所以R +对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律1 a b ab ba b a ⊕===⊕;2()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;3 R +中存在零元素1; ∀a R +∈; 有11a a a ⊕=⋅=;4 对R +中任一元素a ;存在负元素1n a R -∈; 使111a a aa --⊕==;511a a a ==; 6()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;7 ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵;其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答否.A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则１; 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ⨯中;{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间.答否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零; 也就是说集合对加法不封闭.习题1．讨论22P ⨯中的线性相关性.解设11223344x A x A x A x A O +++=;即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知; 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 2．在4R 中;求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中解设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 1; 0 ; - 1 ; 0 . 解设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩. 由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为-7;11;-21;30. 4．已知3R 的两组基Ⅰ： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11Ⅱ：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443 （1）求由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵；（2）已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3）已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2; （4）求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.解1设C 是由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵; 由 ()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭; 知基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭; 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 3β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 4 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 据题意有234010101⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭; 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数. 5．已知Px 4的两组基Ⅰ：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，Ⅱ：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g（1）求由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵；（2）求在两组基下有相同坐标的多项式fx .解 1 设C 是由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵; 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101110111110(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪-⎪∴= ⎪- ⎪---⎝⎭. 2设多项式fx 在基Ⅰ下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组只有零解;则fx 在基Ⅰ下的坐标为(0,0,0,0)T ;所以fx = 0习题证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明设线性方程组为AX = 0; 对系数矩阵施以初等行变换.()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3; 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1．求向量()1,1,2,3α=- 的长度.解α.2．求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解(,)d αβ=αβ-. 3．求下列向量之间的夹角 1 ()()10431211αβ==--,,,，,,,2 ()()12233151αβ==,,,，,,,3()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，解1(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.2(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=;,4παβ∴==.3(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=;α==β==,αβ∴=3．设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量;证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.证明因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+- 所以22()αβαγγβ-≤-+-; 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1．在4R 中;求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，，正交.解设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交;则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即 . 齐次线性方程组的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2．将3R 的一组基1231101,2,1111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 1 正交化; 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ; 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭2 将123,,βββ单位化则*1β;*2β;*3β为R 3的一组基标准正交基. 3．求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基.分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基;所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵可得齐次线性方程组的一个基础解系123111100,,010004001ηηη--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法; 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;将123,,βββ单位化得单位正交向量组因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解;所以*1β;*2β;*3β是解空间的一组标准正交基.3．设1α;2α ;… ;n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基; A 是n 阶正交矩阵;证明: 1αA ;2αA ;… ;n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基; 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i 10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵; 所以T A A E =. 则故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基.5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基; 证明也是V 的一组标准正交基. 证明由题知123,,βββ所以是单位正交向量组; 构成V 的一组标准正交基.习题五 A一、填空题1．当k 满足时;()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠; 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩; 故答案为1. 3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解根据定义; 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x ; 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算; 取下列增广矩阵进行运算()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换; 所以123(,,)x x x = 33;-82;154.4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 .解因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭; 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3; 则该方程组的解空间的维数为 .解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组基础解系含5 – 3 =2 个向量; 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=; 则12a =或1.故答案为12a =.二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是 . A (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111B (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212C (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,1,,,21213D (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 C 选项的集合对向量的加法不封闭; 故选C.2.331,23P A ⨯⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为 .A 1B 2C 3D 4解向量组A =123⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩; 故选A.解因 B 选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）; 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆，所以1223312,23,3αααααα+++线性无关. 故选B.解因122313 ()()()0αααααα-+---=; 所以 C 选项中向量组线性相关; 故选C. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r ; 该方程组的解空间的维数为s; 则 .A s=rB s=n-rC s>rD s<r 选B6. 已知A; B 为同阶正交矩阵; 则下列是正交矩阵. A A+B B A-B C AB D kA k 为数解 A; B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选C.7. 线性空间中;两组基之间的过渡矩阵 .A 一定不可逆B 一定可逆C 不一定可逆D 是正交矩阵选BB1．已知4R 的两组基 Ⅰ： 1234, αααα,,Ⅱ：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, 1 求由基Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵；2 求在两组基下有相同坐标的向量. 解１设C 是由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵; 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭; 所以由基Ⅱ到基Ⅰ的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. 2设在两组基下有相同坐标的向量为α; 又设α在基Ⅰ和基Ⅱ下的坐标均为),,,(4321x x x x ; 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ; 即 1234()x x E C x x ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 齐次线性方程的一个基础解系为(0,0,0,1)η=; 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈．故在基Ⅰ和基Ⅱ下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.解 1 由题有因0011001112220≠;所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量;构成3 R 的基. 2 因为所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭3 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为解 1 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭; 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2112341234123411112(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.证明设112233()()()0t f x t f x t f x ++=;则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++=即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关; 构成3[]P x 线性空间的一组基.设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为1; 2; 3.5．当a 、b 、c 为何值时;矩阵A= 00010a bc ⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解要使矩阵A 为正交阵;应有 T AA E =⇒2221120 1a ac b c ⎧+=⎪⎪=⇒⎪+=⎪⎩①a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.6．设是n 维非零列向量; E 为n 阶单位阵; 证明:T T E A αααα）（/2-=为正交矩阵. 证明因为是n 维非零列向量; T αα所以是非零实数.又22TTT TT T TA E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭; 所以22T T T TTA A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==--⎪⎪⎝⎭⎝⎭故A 为正交矩阵．7．设T E A αα2-=; 其中12,,,Tn a a a α=（）; 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明因为A E E E A T T T T T T T =-=-=-=αααααα2)(2)2(;所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=;所以A 为正交阵.证明因为, ,A B n 均为阶正交矩阵所以0T A A =≠且。

高等代数(北大版)第6章《线性空间》习题解答

第六章线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。

证任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。

又因,M N M ⊂ 故M N M =。

再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪一种情形，都有,N ∈α此即。

但,N M N ⊂所以MN N =。

2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。

证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。

反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。

若x M NL M NL ∈∈∈（），则x ，x 。

在前一情形X x MN ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。

张志让刘启宽线性代数与空间解析几何 (二版)第一章习题解答

a12 x1 + a 22 x 2 + a32 x3
= (a11 x1 + a 21 x 2 + a31 x3 ) x1 + (a12 x1 + a 22 x 2 + a32 x3 ) x 2 + (a13 x1 + a 23 x 2 + a33 x3 ) x３
５．证明：（数学归纳法）
当 k=2 时，有
（２）
⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ (1 2 3) ⎜ 2 ⎟ = 10 ． ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2 − 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1 − 1)＝⎜ 1 − 1 ⎟ ． ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 3 − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
（３）
⎛1 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 1 4 0 ⎞⎜ 0 − 1⎟ ⎛ 6 − 7 ⎞ ⎟ （４） ⎜ ⎜1 − 1 3 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟． ⎜ ⎟＝⎜ ⎝ ⎠ ⎜ 1 − 3 ⎟ ⎝ 20 − 5 ⎠ ⎜4 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ a11 ⎜ x3 ) ⎜ a 21 ⎜a ⎝ 31
− sin θ ⎞ ⎟ cos θ ⎟ ⎠
⎛ cos(n − 1)θ cos θ − sin(n − 1)θ sin θ ＝⎜ ⎜ sin(n − 1)θ cos θ + cos(n − 1)θ sin θ ⎝ ⎛ cos nθ =⎜ ⎜ sin nθ ⎝ − sin nθ ⎞ ⎟． cos nθ ⎟ ⎠
从而
T T
( AB) T = B T AT ． ⎛ 3 −1 1 ⎞ ⎛ − 2 − 1 1⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎟ 2⎜ ⎜ − 2 0 2⎟ ⎟ − 3X + ⎜ ⎜ 3 1 −1 ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝0 0 0⎠ ⎛ 6 − 2 2 ⎞ ⎛ − 2 − 1 1⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⇒ 3X = ⎜ ⎜ − 4 0 4⎟ ⎟+⎜ ⎜ ⎟−⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3 1 −1 ⎠ ⎝0 0 0⎠ ⎛ 4 − 3 3⎞ ⇒ 3X = ⎜ ⎜ −1 1 3 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠

线性空间习题解答

第六章线性空间习题解答P267.1设,,M N M N M M N N ⊆==I U 证明: 证明: 一方面.M N M ⊆I 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M I ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M I Y I Y I =.(2))()()(L M N M L N M Y I Y I Y =证明: (1) .),(L N x M x L N M x Y Y I ∈∈∈且则设即.M x N x M x ∈∈∈或且L x ∈且. 于是有)()(L M N M x I Y I ∈.另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M Y I I Y I I ⊆⊆,所以)()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊆.(2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M Y I Y Y I Y ⊆⊆,所以)()()(L M N M L N M Y I Y I Y ⊆.另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x Y Y Y I Y ∈∈∈∀且则若).(,L N M x M x I Y ∈∈则若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N I 总之有)()()(),(L N M L M N M L N M x I Y I I Y I Y ⊆∈所以.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.(1) 次数等于n(n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法. (2) 设A 是n n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕,)2)1(,(),(211111a k k kb ka b a k -+=ο. (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k =0. (7) 集合与加法同(6), 数量乘法为k =.(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a b=ab , ka=a k .(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, =(a,b)0. 取=(a+1,b),=(a-1, b), 则 , V, 但是,+V.(5) 证明: 10显然V 非空.02 2个代数运算封闭.03 先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα2121211231212312312312323123122323123(1)(,)(2)()((),()()......................(,()....()((),(()().....................a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a αββααβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)...........())(),()())(0,0)01(5)1(1,11(11))(,)2a a ab b b a a a a a a r a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b αβααααααα+++++++=++=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-==o o o o 的负为21112211111(6)()(,(1)211...............(,((1))(1)())22k l k la lb l l a kla k lb k k a k k la αα=+-=+-+-o o o2111((1(1))2kla klb kla l k =++-+-=（kla 1,klb 1+211((1))2kl k a -=kl o α(7)(k+l)o α =（（k+1）a 1,(k+l)b 1+211()(1))2k l k l a ++-=((k+1)a 1,(k+l)b 1+22211(2))2k l kl k l a ++-- 221111111111(,(1)()(1))22ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+⋅k l αα=⊕o o (8)2121212121212121()(,)((),((1)())2k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+o o 22121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-2221211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+2212122211(,(1))((1))22ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕满足3,故V 是一个线性空间(6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠Q ，但这里。

线性空间习题解答

第六章线性空间习题解答 P267.1 设M N,证明 :MNM ,M N N证明 : 一方面 M NM . 另一方面 , 由于 M M ,M N, 得 MM N.2 证明: (1) M (N L) (M N ) (M L).(2) M (N L) (M N) (M L)证明: (1) 设x M (N L), 则x M 且x N L. 即 x M 且x N 或 x M且 x L. 于是有x(M N ) (M L).另一方面 , 因为 MN M (NL), M L M (N L), 所以(M N) (M L) M (N L).(2) 一方面, M (N L) M N, M (N L) M L), 所以M (N L) (M N) (M L).另一方面 , x (M N) (M L), 则x M N 且x M L.若 x M ,则x M (N L). 若 x M ,则x N 且x L. 所以 x N L. 总之有x M (N L),所以 (M N ) (M L) M (N L) .3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间 . (1) 次数等于 n(n 1)的实系数多项式的全体 ,对于多项式的加法和数量乘法 . (2) 设 A 是 n n 实矩阵, A 的实系数多项式 f(A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法. (3) 全体 n 级实对称 (反对称 ,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法 . (4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合 ,对于向量的加法和数量乘法. (5) 全体实数的二元数列 ,对于下面定义的运算 :(a 1,b 1) (a 2,b 2) (a 1 a 2,b 1 b 2 a 1a 2 ),k (a 1,b 1) (ka 1,kb 1 k(k 1)a 12).2(6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:k =0.(7)集合与加法同(6), 数量乘法为k = .(8)全体正实数R+, 加法和数量乘法定义为: a b=ab, ka=a k.(1)否. ,因为2个n次多项式相加不一定是n次多项式. 取f(x)=x n, g(x)=x n-1. 则f(x)+g(x)=-1 不再是n次多项式.(2)是. 因为集合V { f (A)| f (x) R[ x]}作为n级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3)是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称( 反对称,上三角)矩阵.(4)否. 设V | 为平面上不平行的向量, =(a,b) 0. 取=(a+1,b),=(a-1, b), 则, V, 但是, + V.(5)证明: 1 0显然V非空.20 2 个代数运算封闭.30先设(a1, b2 ), (a2,b2 ),r (a3,b3 ),及k,t R(1) (a2 a1,b2 b1 a2a1)(2) ()r ((a1 a2) a3 ,( b1 b2 a1a2) b3 (a1 a2)a3 (a1 a2 a3,b1 (b2 b 3 a2a3)( r) (a1 (a2 a3),b(b2 (b2 b3 a2a3) a1(a2 a3) (a1 a2 a3,b1 b2 b3 a2a3 a1a2 a1a3) ( )2(3) 0 (0,0), 0 (a1 0,b1 0 a10)(a1,b1)(4) 的负为(a1,a 12b1). ( ) )a1 ( a1), b1 22 b1) a1( a1)) (0,0) 012(5)1 (1 a1,1 b1 21 (1 1)a12) (a1,b1)12(6)k (l ) k (la1,lb12l(l 1)a121 2 1 2...... (kla1,k(lb1 k(k 1)a12) k(k 1)(la1)2)1 12121121 2 2 2=((k+1)a1,(k+l)b 1+ (k2 l2 2kl k l)a12)(kla1 klb kla12 (l 1 (k 1))12=(kla1,klb1+ kl((k 1)a12)=kl12(7)(k+l) =((k+1)a1,(k+l)b1+ (k l)(k l 1)a12)(1) a b=b a=ba (2) (a b) c=(ab)c=a(bc)= a (b c) (3) 零元 0=1, a 0=a1=a11 (4) 负元 -a= ,a (-a)=a =1=0. aa1(5) 1 a=a 1=a (6) k (l a)=k (a 1)=(a 1)k =a lk =(lk) a (7) (k+l) a=a (k+l) =a k a l =a k a l =k a l a (8) k (a b)=k (ab)=(ab)k =a k b k = a k b k= k a k b 故 R +关于做成 R 上的向量空间 .4. 在线性空间中 , 证明: (1) k0=0. (2) k( ) k k证明: (1) 设是线性空间的任一个向量 ,由零向量的性质 +0= ,再由分配律 : k( +0)=k = k +k0, 所以 k0=0.(2) 由(1)得 k( +( ))=k0=0=k +k( ), 得 k( )= k . 所以 k( )=k( +( ))=k + k(- )=k k .5. 证明: 在实函数空间中 , 0, cos 2t, cos2t 是线性相关的 . 证明:cos2t=2cos 2t 1, 所以1 2cos 2t cos2t=0. ∴ 1.cos 2t ,cos 2t 线性相关6. 如果是 f 1,f 2,f 3 线性空间 P[x]中的三个互素的多项式 , 但是其中(ka 1k(8)k( la 1, kb 1 12k(k 1)a 12(b 112)l(ll 2 22 1)a 1 ka 1 la 1) (ka 1 (ka 1 ) k (a 1 a 2,b 1 b 21k(k 2 1k(k 2 2ka 2, kb 1 ka 2,( kb 11)a 121)a 12) 12a 1a 2) (k(a 1 a 2 ), k(b 1 b 2 a 1a 2 2k(k 1)(a 1 a 2)2) 12(ka 1,kb 2 2k(k 1)a 12) 满足 3,故 V 是一个线性空间否. 不满足定义 3 之(5): 1 (ka 2kb 2 12 kb 2 k(k 1)a 2212 (kb 2 k(k 1)a 2212ka 1a 2 k(k (k 2a 1a 2)) 1)a 1a 2 ) (6)，但这里 1 0。

第六章线性空间习题答案

第六章线性空间3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （1n ≥）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A 是一个n n ⨯实矩阵，A 的实系数多项式()f A 的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：1122121212(,)(,)(,)a b a b a a b b a a ⊕=+++，211111(1)(,)(,)2k k k a b ka kb a -=+； 6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k =0α；7）集合与加法同6），数量乘法定义为：k =αα；8）全体正实数+R ，加法与数量乘法定义为：a b ab ⊕=，k k a a =．解 1）不能构成实数域上的线性空间．因为两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，所以对加法不封闭． 2）能构成实数域上的线性空间．事实上，{()|()[]}V f f x x =∈R A 即为题目中的集合，显然，对任意的(),()f g V ∈A A ，及k ∈R ，有()()()f g h V +=∈A A A ，()()()kf kf V =∈A A ，其中()()()h x f x g x =+．这就说明V 对于矩阵的加法和数量乘法封闭．容易验证，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，故V 构成实数域上的线性空间．3）能构成实数域上的线性空间．由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．而两个对称（反对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三角）矩阵，一个数k 乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵．于是，n 级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间．4）不能构成实数域上的线性空间．因为，两个不平行与某一向量α的两个向量的和可能平行于α，例如：以α为对角线的任意两个向量的和都平行于α，从而不属于题目中的集合．5）能构成实数域上的线性空间．事实上，{(,)|,}V a b a b =∈R 即为题目中的集合．显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭．容易验证，对于任意的(,)a b ，(,)i i a b V ∈，1,2,3i =；,k l ∈R ，有①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立； ②直接验证，可知加法的结合律也成立；③由于(,)(0,0)(0,00)(,)a b a b a b ⊕=+++=，故(0,0)是V 中加法的零元素；④如果11111(,)(,)(,)(0,0)a b a b a a b b aa ⊕=+++=，则有211(,)(,)a b a a b =--，即2(,)aa b --为(,)a b 的负元素；⑤21(11)1(,)(1,1)(,)2a b a b a a b -=+=； ⑥222(1)(1)(1)((,))(,)(,[]())222l l l l k k k l a b k la lb a kla k lb a la ---=+=++ 2(1)(,)()(,)2kl kl kla klb a kl a b -=+=； ⑦22(1)(1)(,)(,)(,)(,)22k k l l k a b l a b ka kb a la lb a --⊕=+⊕+ 222(1)(1)(,)22k k l l ka la kb a lb a kla --=+++++2(1)(1)[(),()]2k k l k l a k l b a ++-=+++()(,)k l a b =+；⑧1122121212[(,)(,)](,)k a b a b k a a b b a a ⊕=+++212121212(1)[(),()()]2k k k a a k b b a a a a -=+++++，而221122111222(1)(1)(,)(,)(,)(,)22k k k k k a b k a b ka kb a ka kb a --⊕=+⊕+ 22212112212(1)(1)(,)22k k k k ka ka kb a kb a k a a --=+++++212121212(1)[(),()()]2k k k a a k b b a a a a -=+++++，即11221122[(,)(,)](,)(,)k a b a b k a b k a b ⊕=⊕．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以V 构成实数域上的一个线性空间．6）不能构成实数域上的线性空间．因为1=≠0αα，故不满足定义的第5条规律． 7）不能构成实数域上的线性空间．因为()2k l k l αα+=≠=+=+ααααα，故不满足定义的第7条规律． 8）能构成实数域上的线性空间．由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故+R 对定义的加法和数量乘法都是封闭的．容易验证，对于任意的,a b +∈R ，,k l ∈R ，有①a b ab ba b a ⊕===⊕；②()()()()a b c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕==⊕=⊕⊕； ③11a a a ⊕==，即1是定义的加法⊕的零元素； ④111a a a a ⊕==，即1a是a 的负元素； ⑤11a a a ==；⑥()()()()ll klkklk l a k a a a a kl a =====； ⑦()()()k lk l k l a aa a k a l a ++===⊕⑧()()()()()kk kk a b k ab ab a b k a k b ⊕====⊕．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以+R 构成实数域上的一个线性空间．『方法技巧』直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的． 4．在线性空间中，证明：1）k =00；2）()k k k -=-αβαβ．『解题提示』利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质．证明 1）证法１由于对任意的向量α，存在负向量-α，使得()+-=0αα，故(())()(1)(())0k k k k k k k k =+-=+-=+-=+-==00αααααααα；证法２对于任意的向量α，有()k k k k +=+=00ααα，左右两边再加上k α的负向量k -α，即可得k =00；2）利用数量乘法对加法的分配律，得到()()k k k k -+=-+=αββαββα，等式两边再加上k β的负向量k -β，即可得()k k k -=-αβαβ． 5．证明：在实函数空间中，21,cos ,cos2t t 是线性相关的．『解题提示』只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可．证明由于在实函数空间中，有1cos 22cos 2-=t t ，即cos 2t 可由另外两个向量线性表出，故21,cos ,cos 2t t 是线性相关的．7．在4P 中，求向量ξ在基1234,,,εεεε下的坐标，设2）1234(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0),(0,1,1,1),(0,0,0,1)====--=εεεεξ．解法1 设ξ在基1234,,,εεεε下的坐标为1234(,,,)k k k k '，则有11223344k k k k =+++ξεεεε．2）将向量等式按分量写出，得12312342412420,0,30,1.k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪+++=⎪⎨-=⎪⎪+-=⎩ 解方程组，得12341,0,1,0k k k k ===-=，即为ξ在基1234,,,εεεε下的坐标．解法2 将1234,,,εεεε和ξ作为矩阵的列构成一个矩阵()1234,,,,=εεεεξA ，对A 进行初等行变换，将其化成最简阶梯形矩阵，从而确定ξ与1234,,,εεεε的线性关系．2）对A 进行初等行变换，得到1210010001111100100003010001011101100010⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，于是13=-ξεε．『方法技巧』解法1，利用了待定坐标法，将线性关系转化成线性方程组，解线性方程组即可；解法2，利用了初等行变换不改变列向量之间的线性关系，将向量组构成的矩阵化成最简阶梯形矩阵，从而观察出向量的坐标．8．求下列线性空间的维数与一组基： 1）数域P 上的空间n nP ⨯；2）n nP⨯中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；『解题提示』根据各个线性空间的特点，构造出这些线性空间的一组基，同时也可以给出它们的维数．解 1）n nP⨯是数域P 上全体n 级矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，构成的线性空间．对于任意的1,i j n ≤≤，令ij E 表示第i 行第j 列的元素为1，其余元素均为0的n 级矩阵．根据矩阵的线性运算以及矩阵相等的定义，容易验证ij E ，,1,2,,i j n =是线性无关的，且任意n 级矩阵A 均可由它们线性表出，从而为n nP⨯的一组基．于是n nP⨯的维数为2n ．2）仍然使用1）中的符号，并记{|}n n S P ⨯'=∈=A A A ，{|}n n T P ⨯'=∈=-A A A ，{()|0,}n n ij ij N a P a i j ⨯==∈=>A ．则，按照矩阵的加法和数量乘法，,,S T N 分别表示n nP ⨯中全体对称、反对称、上三角矩阵全体构成的线性空间．容易验证①ii E ，1,2,,i n =；ij ji +E E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间S 的一组基，其维数为(1)122n n n ++++=． ②ij ji -E E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间T 的一组基，其维数为(1)12(1)2n n n -+++-=． ③ii E ，1,2,,i n =；ij E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间N 的一组基，其维数为(1)122n n n ++++=．『方法技巧』求已知线性空间的基和维数，构造出它的一组基尤为关键，这需要注意观察线性空间元素的特征，利用线性空间中元素之间的关系进行分析．9．在4P 中,求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下的坐标．设1）1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩εεεε1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3),=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ηηηη 1234(,,,)x x x x =ξ在1234,,,ηηηη下的坐标； 2）1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1),=-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=--⎩εεεε1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2),=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩ηηηη (1,0,0,0)=ξ在1234,,,εεεε下的坐标；『解题提示』由于题目是在4维向量空间4P 中讨论，这里可以采用定义法或借助第三组基求过渡矩阵；对于求ξ在指定基下的坐标可以采用待定系数法，也可以采用坐标变换法．解 1）由于1234,,,εεεε为4维单位向量，故i η，1,2,3,4i =在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为iη本身，故123420561336(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ηηηηA 即为由基1234,,,εεεε到1234,,,ηηηη的过渡矩阵．又由于1234(,,,)x x x x =ξ在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为ξ本身，根据坐标变换公式，可知ξ在1234,,,ηηηη下的坐标为111222133344412927331129231900182773926y x x y x x y x x y x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即1123421234314412344111,93914123,27932712,3371126.279327y x x x x y x x x x y x x y x x x x ⎧=+--⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=--++⎩2）由于这一题目是在4维向量空间4P 中讨论，故根据本章教材内容全解的基变换一节求过渡矩阵方法（3）可知，由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵为112341234(,,,)(,,,)-=A εεεεηηηη111112021212111131110021101111222----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令12341234(,,,),(,,,)==B C εεεεηηηη，则根据初等矩阵与初等变换的对应，可以构造2n n ⨯矩阵=()P B C ，对矩阵P 实施初等行变换，当把B 化成单位矩阵E 时，矩阵C 就化成了1-B C ：1111202121211113=1110021101111222---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P 10001001010011010010011101010⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎝⎭1()-=E B C 于是，由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵为11001110101110010-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A B C ．另外，设1234,,,e e e e 为4P 的单位向量组成的自然基，那么12341234(,,,)(,,,)=e e e e B εεεε．于是1123412341100(1,0,0,0)(,,,)(,,,)0000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e e e B ξεεεε，因此，ξ在1234,,,εεεε下的坐标为112134111111021210011100001110y y y y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．类似地，构造矩阵=()'P Bξ，并对其进行初等行变换，将B 化成单位矩阵E 时，矩阵'ξ就化成了1-'B ξ： 11111110003/132121001005/13=()1110000102/130111000013/13---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪'→→= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P EB ξ，所以，(1,0,0,0)=ξ在1234,,,εεεε下的坐标为12343512133y y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．『方法技巧』利用n 维向量空间中的向量构成矩阵，将求过渡矩阵问题转化成求一个矩阵的逆与另一个矩阵（或向量）的乘积问题，注意在计算这样的矩阵乘法时，利用初等变换与初等矩阵的对应，构造一个新的矩阵，利用初等行变换就可求得．10．继第9题1），求一非零向量ξ，它在基1234,,,εεεε与1234,,,ηηηη下有相同的坐标．解根据上一题的讨论可知，由1234,,,εεεε到1234,,,ηηηη的过渡矩阵为123420561336(,,,)11211013⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ηηηηA ．设所求向量为1234(,,,)x x x x '=ξ，由于1234,,,εεεε为4维单位向量，故ξ在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为ξ本身，故根据坐标变换公式，可知ξ在1234,,,ηηηη下的坐标为1-A ξ．因此，如果ξ在两组基下的坐标相同，那么1-=A ξξ．左右两边乘以A ，可得=A ξξ，即()-=0A E ξ，也就是说ξ是齐次线性方程组()-=0A E X 的解．利用消元法求得方程组的解为12341111x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 是任意常数．于是(,,,)k k k k '=ξ，k 是非零常数，即为所求向量．『特别提醒』利用坐标变换公式，将求向量问题转化成了求解线性方程组问题．12．设12,V V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊂，证明：如果1V 的维数与2V 的维数相等，那么12V V =．证明设12dim dim V V r ==．那么①如果0r =，则1V 与2V 都是零空间，从而，12V V =． ②如果0r >，任取1V 的一组基12,,,r ααα，由于21V V ⊂，且12,V V 的维数相等，故，根据基的定义，12,,,r ααα也是2V 的一组基，于是1122(,,,)r V L V ==ααα．『方法技巧』这个题目的结论，在证明两个线性空间相等时经常使用． 14．设100010312⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求33P⨯中全体与A 可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基．『解题提示』可以待定所求矩阵的元素，利用交换关系、矩阵的相等以及解线性方程组，即可求得．解设111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X 是与A 交换的任意一个矩阵．首先将矩阵A 分解成100000010000001311⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A EB ．由于单位矩阵E 与任何矩阵都可交换，故X 与A 可交换当且仅当X 与B 可交换．事实上，由()=+=+=+AX E B X EX BX X BX ，()=+=+=+XA X E B XE XB X XB可知=AX XA 当且仅当=BX XB ．将=BX XB 按元素写出，即为131313232323333333112131122232132333300030003333x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，从而132311213133122232330,33,3,x x x x x x x x x x ==⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 即132331331121323312220,33,3.x x x x x x x x x x ==⎧⎪=--⎨⎪=--⎩ 这是一个含有9个未知数的线性方程组，取1112212233,,,,x x x x x 为自由未知量，依次取值为5维单位向量，得线性方程组的一个基础解系为1100000300⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，2010000030⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，3000100100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，4000010010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，5000000311⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ．于是12345,,,,X X X X X 即为所求空间的一组基，且这个空间的维数为5．『方法技巧』本题中，利用单位矩阵的良好性质，将求与A 交换的矩阵的形式转化成一个与相对简单的矩阵B 可交换的形式，这能够给计算带来简便．19．设1V 与2V 分别是齐次方程组120n x x x +++=与121n n x x x x -====的解空间，证明12n P V V =⊕．证法１由于齐次方程组120n x x x +++=的一组基础解系为111111100,,,010001n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，即为其解空间的一组基，从而1121(,,,)n V L -=ααα．另外，齐次方程组12n x x x ===的一组基础解系为(1,1,,1)'=β，即为其解空间的一组基，从而2()V L =β．又由于向量组121,,,,n -αααβ组成的n 级矩阵的行列式111111001(1)001011011n n +---=-≠，故121,,,,n -αααβ线性无关，从而121dim (,,,,)n L n -=αααβ，而121(,,,,)n n L P -⊂αααβ，所以，根据习题12可知，121(,,,,)n n P L -=αααβ．于是，12121121(,,,)()(,,,,)n n n V V L L L P --+=+==αααβαααβ，且12dim dim dim n P V V =+，故12n P V V =⊕．证法2 由于齐次方程组120n x x x +++=的一组基础解系为111111100,,,010001n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，即为其解空间的一组基，从而1121(,,,)n V L -=ααα．另外，齐次方程组12n x x x ===的一组基础解系为(1,1,,1)'=β，即为其解空间的一组基，从而2()V L =β．对于任意的12V V ∈ξ，不妨设112211n n k k k l --=+++=ξαααβ，则112211n n k k k l --+++-=0αααβ，按分量写开，即为1211210,0,0,0.n n k k k l k l k l k l -------=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩ 直接解得1210n k k k l -=====，从而=0ξ．因此12{}V V =0．所以1212dim()dim dim V V V V n +=+=，而显然12n V V P +⊂，根据习题12可知，12n V V P +=，结合12{}V V =0，有12n P V V =⊕．证法3 设1212(,,,)n a a a V V =∈ξ，即1V ∈ξ且2V ∈ξ，那么12120,.n n a a a a a a +++=⎧⎨===⎩ 直接解得120n a a a ====，即=0ξ．因此12{}V V =0．另外，对于任意的12(,,,)n n x x x P =∈η，显然有1212(,,,)(,,,)(,,,)n n x x x x x x x x x x x x ==---+η，其中121()n x x x x n=+++，且121(,,,)n x x x x x x V ---∈，2(,,,)x x x V ∈．所以12n P V V =+．结合12{}V V =0，有12n P V V =⊕．『方法技巧』证法3的证明更为直接和简便．20．证明：如果12V V V =⊕，11112V V V =⊕，那么21211V V V V ⊕⊕=．证法1 由题设知，11122V V V V =++．由于12V V V =⊕，故12dim dim dim V V V =+．又因为11112V V V =⊕，所以11112dim dim dim V V V =+．于是11122dim dim dim dim V V V V =++．因此21211V V V V ⊕⊕=．证法2 由题设知，11122V V V V =++．设11122=++0ααα，其中11112223,,V V V ∈∈∈ααα，那么，由11122()=++0ααα及12V V V =⊕，可得11122,+==00ααα．再由11112V V V =⊕可得1112==0αα，于是，零向量的表示法唯一，从而21211V V V V ⊕⊕=．。

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第六章线性空间习题解答P267.1设,,M N MN M MN N ⊆==证明:证明: 一方面.M N M ⊆ 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M ⊆2 证明: (1))()()(L M N M L N M =. (2))()()(L M N M L N M = 证明:(1).),(L N x M x L N M x ∈∈∈且则设即.M x N x M x ∈∈∈或且 L x ∈且. 于是有)()(L M N M x ∈.另一方面,因为)(,)(L N M L M L N M N M ⊆⊆,所以)()()(L N M L M N M ⊆.(2) 一方面,))(,)(L M L N M N M L N M ⊆⊆,所以)()()(L M N M L N M ⊆.另一方面,.),()(L M x N M x L M N M x ∈∈∈∀且则若).(,L N M x M x ∈∈则若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N 总之有)()()(),(L N M L M N M L N M x ⊆∈所以.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法.(2) 设A 是n n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法. (4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕, )2)1(,(),(211111a k k kb ka b a k -+= . (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k =0. (7) 集合与加法同(6), 数量乘法为 k =.(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a b=ab , ka=a k .(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, =(a,b)0. 取=(a+1,b), =(a-1, b), 则, V, 但是, + V.(5) 证明: 10显然V 非空. 02 2个代数运算封闭.03 先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα2121211231212312312312323123122323123(1)(,)(2)()((),()()......................(,()....()((),(()().....................a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a αββααβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)...........())(),()())(0,0)01(5)1(1,11(11))(,)2a a ab b b a a a a a a r a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b αβααααααα+++++++=++=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-==的负为21112211111(6)()(,(1)211...............(,((1))(1)())22k l k la lb l l a kla k lb k k a k k la αα=+-=+-+-2111((1(1))2kla klb kla l k =++-+-=（kla 1,klb 1+211((1))2kl k a -=kl α(7)(k+l)α =（（k+1）a1,(k+l)b 1+211()(1))2k l k l a ++-=((k+1)a 1,(k+l)b 1+ 22211(2))2k l kl k l a ++--221111111111(,(1)()(1))22ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+⋅k l αα=⊕(8)2121212121212121()(,)((),((1)())2k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+ 22121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-2221211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+2212122211(,(1))((1))22ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕满足3,故V 是一个线性空间(6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠，但这里。

取即得矛盾。

(7)0, 2.(11). 1. 1.0,ααααααααα∀≠==+=+=+⇒=不做成。

违反分配律，则会有矛盾(8) 可以验证这是一个实数域上的线性空间. (V=R + P=R a ⊕b=abk k a a =)证明: 1. V 非空且关于⊕,封闭.2. 任取a ,b ,c ,,R k l R +∈∈(1) a ⊕b=b ⊕a=ba(2) (a ⊕b)⊕c=(ab)c=a(bc)=a ⊕(b ⊕c) (3) 零元0=1, a ⊕0=a1=a(4) 负元-a =1a ,a ⊕(-a )=a 1a=1=0.(5) 1a=a 1=a(6) k (l a)=k (a 1)=(a 1)k =a l k =(lk)a (7) (k+l)a=a (k+l)=a k a l =a k ⊕a l =k a ⊕l a (8) k (a ⊕b)=k (ab)=(ab)k =a k b k= a k ⊕b k = k a ⊕k b 故R +关于⊕做成R 上的向量空间.4. 在线性空间中, 证明: (1) k 0=0. (2) ()k k k αβαβ-=-.证明: (1) 设是线性空间的任一个向量,由零向量的性质+0=,再由分配律:k(+0)=k = k +k0, 所以k 0=0. (2) 由(1)得k(+())=k0=0=k +k(), 得k()=k . 所以 k()=k(+())=k + k(-)=k k .5. 证明: 在实函数空间中, 0, cos 2t, cos2t 是线性相关的. 证明: cos2t=2cos 2t 1, 所以12cos 2tcos2t=0. ∴21.cos ,cos 2t t 线性相关6. 如果是f 1,f 2,f 3线性空间P[x]中的三个互素的多项式, 但是其中任意两个都不互素, 证明它们线性无关.证:∵123122321(,,)1,(,)1,(,)1,(,)1,f f f f f f f f f =≠≠≠ 设112233()()()0,a f x a f x a f x ++=不妨设10a ≠, 则)()()(3132121x f a a x f a a x f -+-=. 由于(23,f f )=d (x )1, 那么d(x)整除23,f f 的组合,故1()|(),d x f x 于是有123()|((),(),())d x f x f x f x , 与123(,,)1f f f =矛盾!7. 在P 4中, 求在4321,,,εεεε下的坐标.(1)()()()()()1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,14321=--=--=--==ξεεεε.(2) ()()()()()1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,14321=--==-==ξεεεε.解: (1) 设4321,,,e e e e 是单位坐标向量, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111111111111111A , 则 A e e e e ),,,(),,,(43214321=εεεε.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--1121),,,(1121),,,(143214321A e e e e εεεεξ, 所以在4321,,,εεεε下的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛--41,41,41,45. (2) 同理解得所以在4321,,,εεεε下的坐标是(1,0,1,0).8．求下列线性空间的维数与一组基. (1) 数域P 是的空间n n P ⨯.(2) n n P ⨯中的全体对称(反对称, 上三角)矩阵作成的数域P 上的线性空间. (3) 第3题的(8)中的空间.(4) 实数域上由矩阵A 的全体实多项式组成的空间, 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20000001ωωA .解: (1) n n P ⨯的一组是2,.1,2,...,,ij E i j n n =共有个(矩阵)元素. 它们线性无关,,10()0,,0nijijij ij i j a EA a i j a ==⇒==⇒∀=∑.且任何,1(),nn nij ijiji j B b PB b E⨯==∈=∑则, 所以2dim ,,,1,2,...,n n ij P n E i j n ⨯==它的一个基是.(2)n n P ⨯中全体对称矩阵集合S(P),它的一个基是,ij ji E E i j +≤1dim ()(1)2S P n n =+n n P ⨯中全体反对称矩阵集合K(P),它的一个基是,ij ji E E i j -< 1dim ()(1)2K P n n =-. n n P ⨯中全体上(),,ij U T E i j ≤三角矩阵集合它的一个基是 1dim ()(1)2U T n n =+. n n P ⨯中全体真下(),,ij D T E i j +>三角矩阵集合它的一个基是1dim ()(1)2D T n n =- (3) 对于第2题之(8)中的空间R +, 这是一个一维的线性空间, 事实上,我们可以取其中的一个数e(无理数), 则e 1, 且对于任意的a R +,去k=lna ,有a=k e=e ln a . 即a 可由e 线性表出. (4)解：因为ω3=1, 所以 22234111.11A A E ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故对任意的设()()2012[],n n f x R x f x a a x a x a x ∈=++++,则()()()()2036147258f A a a a E a a a A a a a A =+++++++++++故()2210A b A b E b A f ++=. ∴E,A,A 2可表示V 中所有元素。

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