2020届高三文理科数学一轮复习《不等式的性质及一元二次不等式》专题汇编(教师版)

⎪⎩
a
<1⇔a <b (a ∈R ，b >0). b
b
c >
d ⎭ ⇒
c >
d >0⎭
⇒
⎬ ⎬ a >b >0⇒ a > b (n ∈N ，n ≥2)
a ，
b 同为正数
《不等式的性质及一元二次不等式》专题
一、相关知识点
1．比较两个实数大小的方法
⎧⎪a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，
(1)作差法⎨a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，
⎪⎩a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R ).
2．不等式的基本性质
⎧⎪a
>1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，
(2)作商法⎨
a
＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，
b
性质
对称性
传递性
可加性
可乘性
性质内容
a >
b ⇔b <a
a >
b ，b >
c ⇒a >c
a >
b ⇔a ＋
c >b ＋c
a >
b ⎫
⎬⇒ac >bc c >0⎭
特别提醒
⇔
⇒
⇔
注意 c 的符号
a >
b ⎫
⎬⇒ac <bc c <0⎭
同向可加性
a >
b ⎫
⇒a ＋c >b ＋d
同向同正可乘性
a >
b >0⎫
⇒ac >bd >0
可乘方性
可开方性
3．一元二次不等式
a >
b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)
n n
1 / 27
x 2＝－
2a
没有实数根
{x|x <x 1 或 x >x 2}
⎧
x ⎪x ≠－
⎭
⎧⎪a ＝b ＝0， ⎧⎪a >0，
⎧a ＝b ＝0， ⎧a <0，
a a ＋m a a －m
b b ＋m b b －m
①a>b ，ab>0⇒ < ；②a<0<b ⇒ < ；③a>b>0,0<c<d ⇒ > ；④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒ < < .
⎩ ⎩ ⎩ ⎩
（1）三个“二次”之间的关系
判别式 Δ＝b 2－4ac
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y ＝ax 2＋bx
＋c(a ＞0)的图象
一元二次方程 ax 2＋
b x ＋
c ＝0(a ＞0)的根
一元二次不等式 ax 2
有两个相异实根 x 1，
x 2(x 1＜x 2)
有两个相等实根 x 1＝
b
＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的
⎩ b ⎫ 2a ⎬
R
解集
一元二次不等式 ax 2
＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的
{x|x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅
解集
（2）不等式 ax 2＋bx ＋c >0 (<0)恒成立的条件
(1)不等式 ax 2＋b x ＋c >0 对任意实数 x 恒成立⇔⎨
或⎨ ⎪c >0 ⎪Δ<0.
(2)不等式 ax 2＋b x ＋c <0 对任意实数 x 恒成立⇔⎨
或⎨ ⎪c <0 ⎪Δ<0.
4．不等式的一些常用性质
（1）有关分数的性质
b b ＋m b b －m a a ＋m a a －m
若 a ＞b ＞0，m ＞0，则(1) ＜ ； ＞ (b －m ＞0)；(2) ＞ ； ＜ (b －m ＞0)． （2）有关倒数的性质
1 1 1 1 a b 1 1 1
a b a b c d b x a
2 / 27
(1) ≥0⇔⎨ (2) ＞0⇔⎨ ⎪g (x )≠0； ⎪g (x )≠0.
⎩ ⎩
2．已知 x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝x 2＋2＋1⎭，n ＝⎝x ＋2⎭(x 2＋x ＋1)，则 m ，n 的大小关系为(
⎪⎪⎧f (⎫ ⎛ 1．已知下列四个关系式：①a >b ⇒ac >bc ；②a >b ⇒ < ；③a >b >0，c >d >0⇒ > ；④a >b >1，
b a a a ＋1 b a
a ＋2
b b
5．简单的分式不等式
f (x ) f (x )
⎧f (x )g (x )＞0，
g (x ) g (x )
题型一 比较两个数(式)的大小
1．设 M ＝2a(a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有(
)
A ．M >N
B ．M ≥N
C ．M <N
D ．M ≤N
⎛ x 1⎫
A ．m ≥n
B ．m>n
C ．m ≤n
D ．m<n
)
题型二 不等式性质及其应用
类型一 应用性质判断不等式是否成立
1 1 a b
a b d c
c <0⇒a c <b c .其中正确的有(
)
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
2．若 a >b >0，则下列不等式中一定成立的是(
)
1 1 b b ＋1 1 1
2a ＋b a A ．a ＋ >b ＋ B ． > C ．a － >b － D ． >
3 / 27
4．若 < <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a|>|b |；③a <b ；④ab <b 2 中，正确的不等式有( )
1．已知－ ≤2x ＋y ≤ ，－ ≤3x ＋y ≤ ，则 9x ＋y 的取值范围是________．
2．已知角 α，β 满足－ ＜α－β＜ ，0＜α＋β＜π，则 3α－β 的范围是________． 3．已知△ABC 的三边分别为 a ，b ，c ，且满足 b ＋c ≤3a ，则 的取值范围为________．
3．已知 a >b >0，c <0，下列不等关系中正确的是(
)
a b
A ．ac >bc
B ．a c >b c
C ．log a (a －c)>log b (b －c)
D ．a －c >
b －c
1 1
a b
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
类型二 求代数式的取值范围
1 1 1 1
2 2 2 2
π π
2 2
c
a
4 / 27
5．不等式 <1 的解集是________．
6．不等式 ≤0 的解集为
题型三 一元二次不等式（分式、高次不等式）的解法
类型一 不含参数的一元二次不等式（分式、高次不等式）
1．不等式(x ＋1)(x ＋2)＜0 的解集为
2．不等式 2x 2－x －3＞0 的解集为________．
3．不等式 2x ＋3－x 2>0 的解集是
4．不等式|x(x －2)|>x(x －2)的解集是________．
2
x ＋1
x －1
2x ＋1
5 / 27
x －1 8．不等式 ≥－1 的解集是________________．
10．不等式 ≤x －2 的解集是
＋3x ＋2 ⎪ 1．设 a <－1，则关于 x 的不等式 a(x －a)⎝x －a ⎭<0 的解集是________________．
x 2－x －6
7．不等式 >0 的解集为
1
x －1
9． |x |·(1－2x)>0 的解集为
4
x －2
x －2
11．不等式
x 2 >0 的解集是__________________________________．
⎧x 2＋2x ，x ≥0，
12．已知函数 f(x)＝⎨
若 f(2－a 2)>f(a)，则实数 a 的取值范围是 ⎪⎩2x －x 2
，x<0.
类型二 含参数的一元二次不等式
⎛ 1⎫
6 / 27
2．不等式 ax 2＋bx ＋2>0 的解集是⎝－2，3⎭，则 a ＋b 的值是________． 4．已知不等式 ax 2－b x －1≥0 的解集是⎣－2，－3⎦，则不等式 x 2－bx －a <0 的解集是(
A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.⎝3，2⎭
D ．⎝－∞，3⎭∪⎝2，＋∞⎭
⎛ 1 1⎫
3．如果关于 x 的不等式 x 2<ax ＋b 的解集是{x|1<x<3}，那么 b a 等于
⎡ 1 1⎤ )
⎛1 1⎫ ⎛ 1⎫ ⎛1 ⎫
5．若不等式 x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0 的解集是[－4,3]的子集，则 a 的取值范围是
6．解关于 x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0.
7．解关于 x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.
7 / 27
8．已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.
9．已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.
(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；
(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.
8/27
类型三 一元二次不等式与根的分布情况
1．如果方程 x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0 的两个实根一个小于－1，另一个大于 1，那么实数 m
的取值范围是
2．设 a ∈R ，关于 x 的一元二次方程 7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0 有两实根 x 1，x 2， 且 0< x 1 <1< x 2 <2，求 a 的取值范围．
3．关于 x 的方程 x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0.
(1)m 为何实数时，方程有两正实数根； (2)m 为何实数时，方程有一正实数根，一负实数根．
9 / 27
上 A ．⎝－ 5 ，＋∞⎭ B ．⎣－ 5 ，1⎦
C ．(1，＋∞)
D ．⎝－∞，－ 5 ⎦
4．不等式 x 2＋ax －2>0 在区间[1,5] 有解，则 a 的取值范围是(
)
⎛ 23 ⎫ ⎡ 23 ⎤ ⎛ 23⎤
题型四 由一元二次不等式恒成立求参数范围
类型一 在实数集 R 上恒成立：形如 f(x)≥0(x ∈R)求参数的范围
1．已知关于 x 的不等式 x 2－(k －1)x －k ＋1≥0 对任意实数 x 都成立，则实数 k 的取值范围 是
2．不等式 x 2＋ax ＋4≤0 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是________．
10 / 27
3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是
类型二在某区间上恒成立：形如f(x)≥0(x∈[a，b])求参数的范围
1．若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为
2．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有
3．若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．
4．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围
11/27
类型三形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围
1．对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是2．若不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立，则x的取值范围是________．3．若不等式x2－(2＋m)x＋m－1>0对任意m∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围是________．
12/27
⎪⎩
a
<1⇔a <b (a ∈R ，b >0). b
b
c >
d ⎭ ⇒
c >
d >0⎭
⇒
⎬ ⎬
《不等式的性质及一元二次不等式》专题
一、相关知识点
1．比较两个实数大小的方法
⎧⎪a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，
(1)作差法⎨a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，
⎪⎩a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R ).
2．不等式的基本性质
⎧⎪a
>1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，
(2)作商法⎨
a
＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，
b
性质
对称性
传递性
可加性
可乘性
性质内容
a >
b ⇔b <a
a >
b ，b >
c ⇒a >c
a >
b ⇔a ＋
c >b ＋c
a >
b ⎫
⎬⇒ac >bc c >0⎭
特别提醒
⇔
⇒
⇔
注意 c 的符号
a >
b ⎫
⎬⇒ac <bc c <0⎭
同向可加性
a >
b ⎫
⇒a ＋c >b ＋d
同向同正可乘性
a >
b >0⎫
⇒ac >bd >0
可乘方性
a >
b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)
13 / 27
a >
b >0⇒ a > b (n ∈N ，n ≥2)
a ，
b 同为正数
有两个相异实根 x 1，
x 2(x 1＜x 2) 没有实数根
{x|x <x 1 或 x >x 2}
⎧
x ⎪x ≠－
⎭
⎧⎪a ＝b ＝0， ⎧⎪a >0，
⎧a ＝b ＝0， ⎧a <0，
a a ＋m a a －m
b b ＋m b b －m
⎩ ⎩ ⎩ ⎩
可开方性
3．一元二次不等式
（1）三个“二次”之间的关系
判别式 Δ＝b 2－4ac
二次函数 y ＝ax 2＋bx
＋c(a ＞0)的图象
n n
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
一元二次方程 ax 2＋
b x ＋
c ＝0(a ＞0)的根
一元二次不等式 ax 2
有两个相等实根 x 1＝
b
x 2＝－2a
＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的
解集
一元二次不等式 ax 2
⎩
b ⎫
2a ⎬ R ＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的
{x|x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅
解集
（2）不等式 ax 2＋bx ＋c >0 (<0)恒成立的条件
(1)不等式 ax 2＋b x ＋c >0 对任意实数 x 恒成立⇔⎨
或⎨ ⎪c >0 ⎪Δ<0.
(2)不等式 ax 2＋b x ＋c <0 对任意实数 x 恒成立⇔⎨
或⎨ ⎪c <0 ⎪Δ<0.
4．不等式的一些常用性质
（1）有关分数的性质
b b ＋m b b －m a a ＋m a a －m
若 a ＞b ＞0，m ＞0，则(1) ＜ ； ＞ (b －m ＞0)；(2) ＞ ； ＜ (b －m ＞0)．
14 / 27
①a>b ，ab>0⇒ < ；②a<0<b ⇒ < ；③a>b>0,0<c<d ⇒ > ；④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒ < < .
(1) ≥0⇔⎨ (2) ＞0⇔⎨
⎩g (x )≠0. ⎪g (x )≠0； ⎩ ⎧⎪f (x )· g (x )≥0， f (x )
2．已知 x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝x 2＋2＋1⎭，n ＝⎝x ＋2⎭(x 2＋x ＋1)，则 m ，n 的大小关系为(
⎫ ⎛ 解析：m ＝x 3＋ ＋ ＋1，n ＝x 3＋ ＋ ＋ ，m －n ＝ >0，故 m>n .
1．已知下列四个关系式：①a >b ⇒ac >bc ；②a >b ⇒ < ；③a >b >0，c >d >0⇒ > ；④a >b >1，
解析：当 c ＝0 时，①不正确．当 a >0>b 时，②不正确．由于 c >d >0，所以 > >0，
又 a >b >0，所以 > >0，③正确．由于 a >b >1，当 x <0 时，a x <b x ，故 a c <b c ，④正确．故选
（2）有关倒数的性质
1 1 1 1 a b 1 1 1
a b a b c d b x a
5．简单的分式不等式
f (x )
⎧f (x )g (x )＞0， g (x ) g (x )
题型一 比较两个数(式)的大小
1．设 M ＝2a(a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有(
)
A ．M >N
B ．M ≥N
C ．M <N
D ．M ≤N
解析：因为 M －N ＝2a(a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，所以 M >N ，故选
A.
⎛ x 1⎫ )
A ．m ≥n
B ．m>n
C ．m ≤n
D ．m<n
3x 2 3x 3x 2 3x 1 1
2 2 2 2 2 2
题型二 不等式性质及其应用
类型一 应用性质判断不等式是否成立
1 1 a b
a b d c
c <0⇒a c <b c .其中正确的有(
)
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
1 1
d c
a b
d c
15 / 27
b a a a ＋1 b a
a ＋2
b b
解析：不妨取 a ＝2，b ＝1，排除 B 和 D ；另外，函数 f(x)＝x － 是(0，＋∞)上的增函数，
但函数 g (x)＝x ＋ 在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当 a >b >0 时，f(a)>f(b )
必定成立，但 g (a)>g (b )不一定成立，因此 a － >b － a ＋ >b ＋ ，故选 A.
b c ab －ac －ab ＋bc (b －a )c
4．若 < <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a|>|b |；③a <b ；④ab <b 2 中，正确的不等式有( )
解析：因为 < <0，所以 b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以 a ＋b <ab ，|a|<|b |，在 b <a 两边同时乘
1．已知－ ≤2x ＋y ≤ ，－ ≤3x ＋y ≤ ，则 9x ＋y 的取值范围是________．
B.
2．若 a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )
1 1 b b ＋1 1 1
2a ＋b a A ．a ＋ >b ＋ B ． > C ．a － >b － D ． >
1
x
1
x
1 1 1 1
a b b a
3．已知 a >b >0，c <0，下列不等关系中正确的是(
)
a b
A ．ac >bc
B ．a c >b c
C ．log a (a －c)>log b (b －c)
D ．a －c >
b －c
解析：因为 c <0，a >b ，所以 ac <bc ，故 A 错；当 c <0 时，幂函数 y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函
数，所以 a c <b c ，故 B 错；若 a ＝4， ＝
2， ＝－4，则 log a (a －c)＝log 48<2<log b (b －c)＝log 26，
故 C 错； a b a b － ＝ ＝ >0，所以 > 成立，故 D 正确．
a －c
b －
c (a －c )(b －c ) (a －c )(b －c ) a －c b －c
1 1
a b
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
1 1
a b
以 b ，因为 b <0，所以 ab <b 2.因此正确的是①④，故选 C.
类型二 求代数式的取值范围
1 1 1 1
2 2 2 2
解析：设 9x ＋y ＝a(2x ＋y)＋b (3x ＋y)，则 9x ＋y ＝(2a ＋3b )x ＋(a ＋b )y ，于是比较两边系数得
16 / 27
⎨ 得 a ＝－6，b ＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x ＋y)≤3，－ ≤7(3x ＋y)≤ ，
⎪⎩a ＋b ＝1，
所以－ ≤9x ＋y ≤ .
2．已知角 α，β 满足－ ＜α－β＜ ，0＜α＋β＜π，则 3α－β 的范围是________． 3．已知△ABC 的三边分别为 a ，b ，c ，且满足 b ＋c ≤3a ，则 的取值范围为________．
⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪⎩
c b 1＋ > ，
a c a
c ⎧1<b ＋c ≤3，
∴⎨
两式相加得，0<2× <4，∴ 的取值范围为(0,2)．
c
a
⎧⎪2a ＋3b ＝9， 7 7 2 2
13 13
2 2
π π
2 2
⎧m ＋n ＝3， ⎧m ＝2，
解析：设 3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)，则⎨ 解得⎨
⎪n －m ＝－1， ⎪n ＝1，
从而 3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π，
∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.
c
a
⎧⎪
a <
b ＋
c ≤3a ，
解析：由已知及三角形的三边关系得⎨a ＋b >c ，
⎪⎩a ＋c >b ，
⎧⎪1<b ＋a ≤3，
∴⎨1＋b
>a ，
a a
a
a
⎩－1<a －b
<1，
c c
a a
题型三 一元二次不等式（分式、高次不等式）的解法
类型一 不含参数的一元二次不等式（分式、高次不等式）
1．不等式(x ＋1)(x ＋2)＜0 的解集为
解析：方程(x ＋1)(x ＋2)＝0 的两根为 x ＝－2 或 x ＝－1，
则不等式(x ＋1)(x ＋2)＜0 的解集为{x|－2＜x ＜－1}．
17 / 27
⎧ ⎪ x ＞ 或x ＜－1 ⎬.则
不等式 2x 2－x －3＞0 的解集为⎨x ⎪ 2 2x ＋1 － ，1 .故
原不等式的解集为⎝ 2 ⎦
x －1 5．不等式 <1 的解集是________．
2－（x ＋1）
x －1 解析：由不等式 ≤0，得⎨
解得
－ <x ≤1，
2x ＋1 ⎪（x －1）（2x ＋1）≤0，⎩ 7．不等式 >0 的解集为
解析： >0⇔ >0⇔(x －3)(x ＋2)(x －1)>0，
⎧⎪2x ＋1≠0，
2．不等式 2x 2－x －3＞0 的解集为________．
3
解析：方程
2x 2－x －3＝0
的两根为
x 1＝－1，x
2＝2，
3 ⎫ ⎩ ⎭
3．不等式 2x ＋3－x 2>0 的解集是
解析：原不等式变形为 x 2－2x －3<0，即(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x<3.
4．不等式|x(x －2)|>x(x －2)的解集是________．
解析：不等式|x(x －2)|>x(x －2)的解集即 x(x －2)<0 的解集，解得 0<x<2.
{x|0<x<2}
2
x ＋1
2
解析： <1⇒
<0⇒ >0⇒x >1 或 x <－1. 答案：{x|x >1 或 x <－1}
x ＋1
x ＋1
x ＋1
x －1
6．不等式 ≤0 的解集为
x －1
1
2
⎛ 1 ⎤
x 2－x －6
x －1
x 2－x －6 （x －3）（x ＋2）
x －1 x －1
∴原不等式对应的方程(x －3)(x ＋2)(x －1)＝0 的根为－2，1，3，
x 2－x －6
由穿针引线法得不等式 >0 的解集是{x|－2<x <1 或 x>3}.
18 / 27
⎧⎪1－2x >0， 8．不等式 ≥－1 的解集是________________．
0，
.解析：
原不等式等价于⎨
解不等式组可得实数 x 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ 2⎭
10．不等式 ≤x －2 的解集是
⎪ ＋3x ＋2 ＋3x ＋2 x ＋3x ＋2
⎩
1
x －1
x
解析：原不等式可化为 ≥0，即 x(x －1)≥0，且 x －1≠0，解得 x >1 或 x ≤0.
x －1
答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)
9． |x |·(1－2x)>0 的解集为
⎛ 1⎫ ⎪⎩x ≠0，
4
x －2
－x 2＋4x ⎧x (x －4)(x －2)≥0，
解析：原不等式可化为 ≤0.即⎨ 由标根法知，0≤x <2 或 x ≥4.
x －2 ⎪⎩x －2≠0.
x －2
11．不等式x 2 >0 的解集是__________________________________．
x －2 x －2
解析：x 2 >0⇔（x ＋2）（x ＋1）>0⇔(x －2)(x ＋2)·(x ＋1)>0，∴原不等式对应的方程
x －2 (x －2)(x ＋2)(x ＋1)＝0 的根为 2，－2，－1，由穿针引线法，得不等式 2 >0 的解集是
{x|－2<x <－1 或 x>2}．
⎧⎪x 2＋2x ，x ≥0，
12．已知函数 f(x)＝⎨
若 f(2－a 2)>f(a)，则实数 a 的取值范围是 ⎪⎩2x －x 2
，x<0.
⎧⎪x 2＋2x ，x ≥0，
解析：∵f(x)＝⎨ ∴函数 f(x)是奇函数，且在 R 上单调递增，
⎪2x －x 2，x <0，
∴f(2－a 2)>f(a)等价于 2－a 2>a ，即 a 2＋a －2<0，解得－2<a <1，
∴实数 a 的取值范围是(－2,1).
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1．设 a <－1，则关于 x 的不等式 a(x －a)⎝x －a ⎭<0 的解集是________________． 解析：(－∞，a)∪⎝a ，＋∞⎭ 2．不等式 ax 2＋bx ＋2>0 的解集是⎝－2，3⎭，则 a ＋b 的值是________．
⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 4．已知不等式 ax 2－b x －1≥0 的解集是⎣－2，－3⎦，则不等式 x 2－bx －a <0 的解集是(
A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.⎝3，2⎭
D ．⎝－∞，3⎭∪⎝2，＋∞⎭
解析：∵不等式 ax 2－b x －1≥0 的解集是⎣－2，－3⎦，∴a <0，方程 ax 2－bx －1＝0 的两个根为
－ ，－ ，∴－ ＝－ － ， ＝ ，∴a ＝－6，b ＝5，又 x 2－b x －a <0，∴x 2－5x ＋6<0，∴
－b
类型二 含参数的一元二次不等式
⎛ 1⎫
⎛1 ⎫
⎛ 1 1⎫
解析：－14
3．如果关于 x 的不等式 x 2<ax ＋b 的解集是{x|1<x<3}，那么 b a 等于
解析：不等式 x 2<ax ＋b 可化为 x 2－ax －b <0，其解集是{x|1<x<3}，那么，由根与系数的关系
⎧1＋3＝a ， ⎧a ＝4， 得⎨ 得⎨ 所以 b a ＝(－3)4＝81.
⎪1×3＝－b ， ⎪b ＝－3，
⎡ 1 1⎤ )
⎛1 1⎫ ⎛ 1⎫ ⎛1 ⎫
⎡ 1 1⎤
1 1 1 1 －1 1
2 3 a 2 3 a 6
(x －2)(x －3)<0，∴不等式的解集为(2,3)．
5．若不等式 x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0 的解集是[－4,3]的子集，则 a 的取值范围是
解析：原不等式可化为 x －a x －1 ≤0，当 a <1 时，不等式的解集为[a,1]，
此时只要 a ≥－4 即可，即－4≤a <1；当 a ＝1 时，不等式的解为 x ＝1，此时符合要求；
当 a >1 时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要 a ≤3 即可，即 1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.
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x － (x －1)＞0，解得 x ＜ 或 x ＞1.若 a ＜0，原不等式等价于⎝
a ⎭
x － (x －1)＜0.若 a ＞0，原不等式等价于⎝ a ⎭
x － (x －1)＜0 无解；①当
a ＝1 时， ＝1，⎝
a ⎭
x －(x －1)＜0，得 ＜x ＜1；②当 a ＞1 时， ＜1，解
⎝ a ⎭
x － (x －1)＜0，得 1＜x ＜ .③当 0＜a ＜1 时， ＞1，解
⎝ a ⎭
⎧ ⎪ x ＜ 或
x ＞1 ⎬；综上所述，当 a ＜0 时，解集为⎨x ⎪ a 1 ⎫
1＜x ＜
⎬；当
a ＝0 时，解集为{x|x ＞1}； 当 0＜a ＜1 时，解集为⎨x a ⎪
＜x ＜1 ⎬.当 a ＝1 时，解集为
∅；
当 a ＞1 时，解集为⎨x ⎪a
6．解关于 x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0.
解析：原不等式可化为(x －a)(x －1)＜0，
当 a ＞1 时，原不等式的解集为(1，a)；
当 a ＝1 时，原不等式的解集为∅；
当 a ＜1 时，原不等式的解集为(a,1)．
7．解关于 x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.
解析：若 a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得 x ＞1.
⎛ 1⎫ 1 a
⎛ 1⎫
1
⎛ 1⎫ a
1
⎛ 1⎫ 1 a a
1
⎛ 1⎫ 1 a a
1 ⎫ ⎩ ⎭
⎧ ⎪ ⎩ ⎭
⎧ ⎪1 ⎫ ⎩ ⎭
8．已知常数 a ∈R ，解关于 x 的不等式 12x 2－ax >a 2.
解析：∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a)(3x －a)>0.
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当 a <0 时，不等式的解集为⎨
x|x <3，或x >－4⎬.
①当 a >0 时，－ < ，解集为{ x |x <－ ，或 x > }； ③当 a <0 时，－ > ，解集为
{ x |x < ，或 x >－ }.
综上所述：当 a >0 时，不等式的解集为{ x |x <－ ，或 x > }；
∵a >0，∴f(x)>0 可化为 x －
⎪(x ＋1)>0， ⎧
a －2⎫ a a ⎭⎩
a a ⎩ ⎭
⎪ ⎪ ⎧
a a
令(4x ＋a)(3x －a)＝0，解得 x 1＝－4，x 2＝3.
a a a a 4 3 4 3
②当 a ＝0 时，x 2>0，解集为{x|x ∈R ，且 x ≠0}；
a a a a 4 3
3 4
a a 4
3
当 a ＝0 时，不等式的解集为{x|x ∈R ，且 x ≠0}；
⎧ a a ⎫ ⎩
⎭
9．已知函数 f(x)＝ax 2＋bx －a ＋2.
(1)若关于 x 的不等式 f(x)>0 的解集是(－1,3)，求实数 a ，b 的值；
(2)若 b ＝2，a >0，解关于 x 的不等式 f(x)>0.
解析：(1)由题意知 a <0，且－1,3 是方程 ax 2＋bx －a ＋2＝0 的两个根，
⎧b ＝2， ⎧a ＝－1， 则⎨ ∴⎨
⎪⎩8a ＋3b ＋2＝0， ⎪⎩b ＝2.
(2)当 b ＝2 时，f(x)＝ax 2＋2x －a ＋2＝(ax －a ＋2)(x ＋1)，
⎛ a －2⎫
⎝ a ⎭
a －2 ①当 ≥－1，即 a ≥1 时，不等式的解集为⎨x |x <－1或x > ⎬；
a －2 a －2 ⎫ ②当 <－1，即 0<a <1 时，不等式的解集为⎨x |x < 或x >－1⎬.
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4
－⎪⎩
m<－1或m >1，
⎪⎩
m>－2，
>0，
f （0）＝m －1>0，由
题意知⎨
解得⎨
⎧⎪
Δ＝[－2（m ＋2）] －4（m －1）≥0，
⎧⎪
m ≥－ ，5
⎪
类型三 一元二次不等式与根的分布情况
1．如果方程 x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0 的两个实根一个小于－1，另一个大于 1，那么实数 m
的取值范围是
⎧⎪f (－1)<0，
解析：记 f(x)＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，依题意有⎨
⎪⎩f (1)<0，
⎧⎪1－(m －1)＋m 2－2<0， 即⎨ 解得 0<m <1.选 A. ⎪⎩1＋(m －1)＋m 2－2<0，
2．设 a ∈R ，关于 x 的一元二次方程 7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0 有两实根 x 1，x 2，
且 0< x 1 <1< x 2 <2，求 a 的取值范围．
解析：设函数 f(x)＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2，其图像开口向上．
⎧⎪f （0）>0， ⎧a 2－a －2>0，
由题意知⎨f （1）<0，即⎨7－（a ＋13）＋a 2－a －2<0，
⎪⎩f （2）>0， ⎪⎩7×22－2（a ＋13）＋a 2－a －2>0，
⎧⎪a <－1或a >2，
解得⎨－2<a <4， ∴－2<a <－1 或 3<a <4，∴a 的取值范围为(－2，－1)∪(3，4)．
⎪⎩a <0或a >3，
3．关于 x 的方程 x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0.
(1)m 为何实数时，方程有两正实数根；
(2)m 为何实数时，方程有一正实数根，一负实数根．
解析：令 f(x)＝x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1，其函数图像开口向上．
2 2 2
－2（m ＋2） 2
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∴－ ≤m<－1 或 m >1，∴m 的取值范围为⎣－4，－1⎭∪(1，＋∞)． ⎧ ⎪m>－ ，
⎧⎪Δ＝[－2（m ＋2）]2－4（m 2－1）>0， (2)由题意知⎨
解得⎨ ⎪⎩－1<m <1， ⎩ A ．⎝－ 5 ，＋∞⎭ B ．⎣－ 5 ，1⎦
C ．(1，＋∞)
D ．⎝－∞，－ 5 ⎦
一负根，所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)>0，解得 a >－ .
5 ⎡ 5
⎫ 4
5
4 ⎪f （0）＝m 2－1<0，
∴－1<m <1，∴m 的取值范围为(－1，1)．
4．不等式 x 2＋ax －2>0 在区间[1,5]上有解，则 a 的取值范围是(
)
⎛ 23 ⎫ ⎡ 23 ⎤ ⎛ 23⎤
解析：由 Δ＝a 2＋8>0 知方程恒有两个不等实根，又因为 x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，
23
5
题型四 由一元二次不等式恒成立求参数范围
类型一 在实数集 R 上恒成立：形如 f(x)≥0(x ∈R)求参数的范围
1．已知关于 x 的不等式 x 2－(k －1)x －k ＋1≥0 对任意实数 x 都成立，则实数 k 的取值范围 是
解析：关于 x 的不等式 x 2－(k －1)x －k ＋1≥0 对任意实数 x 都成立，
则 Δ＝(k －1)2＋4(k －1)≤0，解得－3≤k ≤1.
2．不等式 x 2＋ax ＋4≤0 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是________．
解析：由题意知 Δ＝a 2－42≥0，解得 a ≥4 或 a ≤－4.]
3．对于任意实数 x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0 恒成立，则实数 a 的取值范围是
⎧⎪a －2<0，
解析：当 a －2＝0，即 a ＝2 时，－4<0 恒成立；当 a －2≠0 时，则有⎨
⎪⎩4(a －2)2＋16(a －2)<0，
解得－2<a <2，∴－2<a ≤2.
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2⎪⎩2m
＋3m <0，
2
x － 2＋ ，，x ∈[1,3]，记 h (x)＝x －x ＋1＝⎝ 2⎭
x 2－x ＋1
即⎨
解得－ <m <0.
记 g (x)＝ 6
⎪
类型二 在某区间上恒成立：形如 f(x)≥0(x ∈[a ，b ])求参数的范围
1．若存在实数 x ∈[2,4]，使 x 2－2x ＋5－m <0 成立，则 m 的取值范围为
解析：m>x 2－2x ＋5，设 f(x)＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当 x ＝2 时 f(x)min ＝5，
x ∈[2,4]使 x 2－2x ＋5－m <0 成立，即 m>f(x)min ，∴m >5.
2．已知关于 x 的不等式 x 2－4x ≥m 对任意的 x ∈(0,1]恒成立，则有
解析：令 f(x)＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线 x ＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴
当 x ＝1 时 f(x)取得最小值，为－3，∴m ≤－3.
3．若不等式 x 2＋mx －1<0 对于任意 x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数 m 的取值范围是________．
解析：由题意，得函数 f(x)＝x 2＋mx －1 在[m ，m ＋1]上的最大值小于 0，
⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，
又抛物线 f(x)＝x 2＋mx －1 开口向上，所以只需⎨
⎪⎩f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，
⎧⎪2m 2－1<0， 2
2
4．已知函数 f(x)＝mx 2－mx －1. 若对于 x ∈[1,3]，f(x)＜5－m 恒成立，求实数 m 的取值范围
解析：不等式 f(x)＜5－m ，即(x 2－x ＋1)m ＜6，
6
6
∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜
对于 x ∈[1,3]恒成立，只需求 的最小值，
x 2－x ＋1
x 2－x ＋1
⎛ 1⎫ 3 4
6 6
h (x)在 x ∈[1,3]上为增函数，则 g (x)在[1,3]上为减函数，∴[g (x)]min ＝g (3)＝7，∴m ＜7.
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x ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ f ⎪ ⎪ ⎩ ⎩
类型三 形如 f(x)≥0(参数 m ∈[a ，b ])求 x 的范围
2． 对任意的 k ∈[－1,1]，函数 f(x)＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则 x 的取值范围是
解析：对任意的 k ∈[－1,1]， 2＋(k －4)x ＋4－2k >0 恒成立，即 g (k)＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，
⎧⎪x 2－5x ＋6>0， 在 k ∈[－1,1]时恒成立．只需 g (－1)>0 且 g (1)>0，即⎨ 解得 x <1 或 x>3.
⎪⎩x 2－3x ＋2>0，
2．若不等式 x 2＋(a －6)x ＋9－3 a >0，|a|≤1 恒成立，则 x 的取值范围是________．
解析：将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.
令 f(a)＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立，所以
①若 x ＝3，则 f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
⎧f (－1)>0， ⎧x 2－7x ＋12>0， ②若 x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎨
即⎨ 解得 x <2 或 x>4.
⎪f (1)>0，
⎪x 2－5x ＋6>0，
3．若不等式 x 2－(2＋m )x ＋m －1>0 对任意 m ∈[－1,1]恒成立，则 x 的取值范围是________．
解析：把不等式化为(1－x)m ＋x 2－2x －1>0.
设 f(m )＝(1－x)m ＋x 2－2x －1，则问题转化为关于 m 的一次函数．(m )在区间[－1,1]上大于 0
⎧f (－1)>0， ⎧x 2－x －2>0，
⎧x <－1或x >2， 恒成立，只需⎨ 即⎨
⎨ ⎩f (1)>0 ⎪x 2－3x >0
⎪x <0或x >3，
解得 x <－1 或 x >3，故 x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
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27/27。