高考数学复习点拨：幂函数要点精析

幂函数要点精析
一、
二、重点与难点
学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，要熟记α= 1，2，
3，1
2
，－1时幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点(1，1)和利用直线y = x
来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．
三、重点知识精析
1．幂函数的一般形式为y = xα，其中x 是自变量，α是常数，其定义域是使xα有意义的x值的集合．幂函数的定义域随幂指数的变化而变化，所以应根据各种幂指数的意义来确定幂函数的定义域．
2．由幂函数定义可知，函数y = 2x2、y = x2－1等都不是幂函数．反比例函数y =k
x
(k≠0)，一次函数y = kx＋b (k≠0)，二次函数y = ax2＋bx＋c (a≠0)中，分别当k = 1，k = 1且b = 0，a = 1且b = c = 0时，即y = x1-，y = x，y = x2是幂函数，当这些条件不具备时，它们均不符合幂函数的定义，但它们是由幂函数经过算术运算而得到的初等函数．
3．幂函数与指数函数的主要区别是：幂函数是底数为变量，指数函数是指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．
4．幂函数的图象和性质：
幂函数的图象的位置和形状变化复杂，只要幂指数稍有不同，图象的位置和形状就可能发生和大的变化．
⑴幂函数的图象都过点(1，1)，除原点外，任何幂函数的图象与坐标轴都不相交．当α= 1，3和－1时，幂函数y = x α的图象在第一或第三象限；当α= 2时，幂函数y = x α的图象在第一或第二象限；α=12
时，幂函数y = x α的图象在第一象限．就是说，任何幂函数的图象一定经过第一象限且一定不经过第四象限．
⑵当α= 1，2，3，12
时，幂函数图象过原点，且在[0，＋∞)上是增函数，此性质还可以推广到当α＞0时也成立．
⑶当α=－1时，幂函数图象不过原点，且在(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，函数y = x 1-的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．(若再用描点法做出α=－2或α=－3等函数的图象，还可以得到α=－1时的幂函数图象的性质就是α＜0时的幂函数图象的基本性质)．
⑷按照函数奇偶性定义，函数y = x 、y = x 3和y = x 1-都是奇函数，函数y = x 2是偶函数，由于函数y = x 12的定义域关于原点不对称，函数在其它象限无图象，只在第一象限有图象，所以函数y = x 12是非奇非偶函数．
⑸任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．
5．应用幂函数的单调性比较大小时，应将幂指数变为相同，且幂的底数为正数，分别比较，并且注意分别与0与1，与－1比较，从而确定大小关系．
6．利用幂函数知识解题时，要注意数形结合，并且注意幂函数的图象在第一象限内凸凹情况需和直线y = x 比较．作幂函数的图象关键是利用幂函数的有关特性先作出在第一象限内的图象，然后再根据定义域、值域以及奇偶性作出在其它象限内的图象(如果存在的话)．
四、典型例题解析
例1 确定m 的值，使幂函数()f x = (m 2－m ＋1)x 221m m --的图象在第一象
限内呈下降趋势．
分析：对于带字母参数的函数是幂函数时，一定要使系数为1，而幂指数按题设情况而定．
解：依题意有：2211210m m m m ⎧-+=⎪⎨--<⎪⎩
⇒0111m m m ==⎧⎪⎨<<⎪⎩或⇒m= 0或m = 1． 例2 如果幂函数()f x = x α(α∈Q)为奇函数，且图象过原点，求证()f x = x α(α∈Q)在(－∞，＋∞)上为增函数．
证明：由幂函数()f x = x α的图象过坐标原点，从而有α＞0，(0)f = 0． 由幂函数的特性知()f x 在(0，＋∞)上是递增函数，
又据()f x 是奇函数可知，()f x 在(－∞，0)上也是递增函数，
设x 1＜0＜x 2，则1()f x ＜(0)f ＜2()f x ．
故()f x = x α(α∈Q)在(－∞，＋∞)上为增函数．
例3 已知幂函数()f x = x 21m
-(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无交点，且关于原点对称．
⑴求函数()f x = x 21m -的解析式；
⑵讨论函数()F x
=－
()b f x 的奇偶性． 解：⑴因为函数图象与x 轴、y 轴都无交点，所以m 2－1≤0，解得－1≤m ≤1，
又图象关于原点对称，且m ∈Z ，所以m = 0．
∴()f x = x 1-．
⑵()F x
=()b f x =||
a x －bx ． 因此，()F x 的奇偶性，由参数a 、
b 是否为零决定．
①当a≠0且b≠0时，()
F x是非奇非偶函数；
②a = 0且b≠0时，()
F x是奇函数；
③当a≠0且b = 0时，()
F x是偶函数；
④当a = 0且b = 0时，()
F x既是奇函数又是偶函数．。