安国市三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

安国市三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0的解集为
（ ）
A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D ．（﹣1，0）∪（0，
1）
2． 命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ）
A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0
B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0
C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0
D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞0
3． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（
）
A ．8πcm 2
B ．12πcm 2
C ．16πcm 2
D ．20πcm 2
4． 已知向量与的夹角为60°，||=2，
||=6，则2﹣在方向上的投影为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5． 在ABC ∆中，若60A ∠=
，45B ∠=
，BC =，则AC =（ ）
A
．B
．
C.
D
6． 已知三个数，，成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列的前三1a -1a +5a +{}n a 项，则能使不等式成立的自然数的最大值为（ ）1212111
n n
a a a a a a +++≤+++ A ．9
B ．8
C.7
D ．5
7． 函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（
）
A ．（0，）
B ．（，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）　8． 图
1是由哪个平面图形旋转得到的（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到
C 2
2
(3)(4)4x y -++=(,)P x y Q P
原点的长，则点轨迹方程为（
）
O P A ． B ． C ． D ．86210x y --=86210x y +-=68210x y +-=68210
x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．
10．四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）
A ．96
B ．48
C ．24
D ．0
11．sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．1
12．在中，，那么一定是（ ）
ABC ∆2
2
tan sin tan sin A B B A =A
A ABC ∆A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
二、填空题
13．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ﹣ABC 的体积的最大值为 ．
14．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）
15．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．　
16．1785与840的最大约数为 ．
17．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
18．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成
角的正切值为（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、)0,1(1 F )0,1(2F P 1F 2F C 1PF 21F F 构成等差数列．2PF （I ）求椭圆的方程；
C （II ）设经过的直线与曲线C 交于两点，若，求直线的方程．
2F m P Q 、2
2
2
11PQ F P F Q =+m 20．已知命题p ：方程表示焦点在x 轴上的双曲线．命题q ：曲线y=x 2+（2m ﹣3）x+1与x 轴交
于不同的两点，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．　
21．已知函数f （x ）=cos （ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x ∈R 且图象相邻两对称轴之间的距离为
；
（1）求f （x ）的对称轴方程和单调递增区间；
（2）求f （x ）的最大值、最小值，并指出f （x ）取得最大值、最小值时所对应的x 的集合．
22．已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．　
23．已知集合P={x|2x2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}．
（1）若a=1，求P∩Q；
（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．
24．在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．
（1）求圆C和直线l的极坐标方程；
（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．
安国市三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；
当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；
当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；
所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．
故选D．
2．【答案】C
【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
∃x＞0，使得x2﹣x＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．【答案】B
【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，
R=，S=4πR2=12π
故选B
4．【答案】A
【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6，
∴（2﹣）•=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2，
∴2﹣在方向上的投影为=．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．
5． 【答案】B
【解析】
考点：正弦定理的应用.6． 【答案】C 【解析】
试题分析：因为三个数等比数列，所以，倒数重新排列后恰
1,1,5a a a -++()()()2
115,3a a a a +=-+∴=好为递增的等比数列的前三项，为，公比为，数列是以为首项，为公比的等比数列，则
{}n a 111,,8421n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
1
2不等式等价为，整理，得
1212111n n
a a a a a a +++≤+++ ()1181122811212
n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤--，故选C. 1
722,17,n n n N +≤∴≤≤≤∈考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式.7． 【答案】C
【解析】解：∵f （1）=1＞0，f （2）=1﹣2ln2=ln ＜0，∴函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（1，2）．故选：C ．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．　
8． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A 选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.
考点：旋转体的概念.9． 【答案】D
【解析】由切线性质知，所以，则由，得，
PQ CQ ⊥2
2
2
PQ PC QC =-PQ PO =
，化简得，即点的轨迹方程，故选D ，
2222(3)(4)4x y x y -++-=+68210x y --=P 10．【答案】 B 【解析】
排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；压轴题．
【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．
【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P ，底面四边形的个顶点为A 、B 、C 、D ．分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，
（PA 、DC ；PB 、AD ；PC 、AB ；PD 、BC ）或（PA 、BC ；PD 、AB ；PC 、AD ；PB 、DC ）那么安全存放的不同方法种数为2A 44=48．故选B ．
【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．11．【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°=cos45°cos15°+sin45°sin15°=cos （45°﹣15°）=cos30°
=
．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．　
12．【答案】D 【解析】
试题分析：在中，，化简得
，解得ABC ∆2
2
tan sin tan sin A B B A =A A 22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=A ，即，所以或，即sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B
=⇒=sin 2sin 2A B =22A B =22A B π=-A B =
或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
2
A B π
+=
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出，从而得到或是试
sin 2sin 2A B =A B =2
A B π
+=题的一个难点，属于中档试题．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB ⊥面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H 为AB 中点时，SH 最大，棱锥S ﹣ABC 的体积最大．
∵△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=
．
在RT △SHO 中，OH=
OC=
OS
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，
∴体积V=Sh=×
×22×1=
．
故答案是
．
【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S 位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．　
14．【答案】　10　cm
【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A 关于茶杯口的对称点为A ′，则A ′A=4cm ，BC=6cm ，∴A ′C=8cm ，∴A ′B=
=10cm ．
故答案为：10．
【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．
15．【答案】　A　．
【解析】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
16．【答案】　105　．
【解析】解：1785=840×2+105，840=105×8+0．
∴840与1785的最大公约数是105．
故答案为105
17．【答案】　2　．
【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，
∴2+x+4+6+10=5×5，
解得x=3，
∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，
∴此组数据的标准差S==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．
18．【答案】
【解析】解：法1：取A1C1的中点D，连接DM，
则DM∥C1B1，
在在直三棱柱中，∠ACB=90°，
∴DM⊥平面AA1C1C，
则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角，
则DM=，AD===，
则tan∠MAD=．
法2：以C1点坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，则∵AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，
∴=（﹣，，﹣），=（0，﹣1，0）为平面AA1C1C的一个法向量
设AM与平面AA1C1C所成角为θ，
则sinθ=||=
则tanθ=
故选：A
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考
查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．
（II ）①若为直线，代入得，即， m 1=x 13422=+y x 23±=y )23,1(P )2
3,1(-Q 直接计算知，，，不符合题意 ； 29PQ =2
25||||2121=+Q F P F 22211PQ F P F Q ¹+1=x ②若直线的斜率为，直线的方程为m k m (1)
y k x =-由得 ⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)1(1342
2x k y y x 0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设，，则， 11(,)P x y 22(,)Q x y 2221438k k x x +=+222143124k k x x +-=⋅由得，22211PQ F P F Q =+110
F P FQ ×=即，0)1)(1(2121=+++y y x x 0
)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x
0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k 代入得，即 0438)1()143124)(1(222222=+⋅-+++-+k k k k k k 0972=-k
解得，直线的方程为 773±=k m )1(7
73-±=x y 20．【答案】 【解析】解：∵方程
表示焦点在x 轴上的双曲线，∴⇒m ＞2
若p 为真时：m ＞2，
∵曲线y=x 2+（2m ﹣3）x+1与x 轴交于不同的两点，
则△=（2m ﹣3）2﹣4＞0⇒m ＞或m
，
若q 真得：或，由复合命题真值表得：若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ，q 命题一真一假
若p 真q 假：
；
若p 假q 真：
∴实数m 的取值范围为：或．【点评】本题借助考查复合命题的真假判定，考查了双曲线的标准方程，关键是求得命题为真时的等价条件．　
21．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）=cos （ωx+）的图象的两对称轴之间的距离为=，∴ω=2，f （x ）=cos （2x+
）．
令2x+=k π，求得x=﹣，可得对称轴方程为 x=﹣，k ∈Z ．
令2k π﹣π≤2x+≤2k π，求得 k π﹣
≤x ≤k π﹣，可得函数的增区间为，k ∈Z ．
（2）当2x+
=2k π，即x=k π﹣，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为1．
当2x+=2k π+π，即x=k π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最小值为﹣1．
∴f （x ）取最大值时相应的x 集合为{x|x=k π﹣，k ∈Z}；
f （x ）取最小值时相应的x 集合为{x|x=k π+
，k ∈Z}．　
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin cos+cos2=sin（+），
∴由2k≤+≤2kπ，k∈Z可解得：4kπ﹣≤x≤4kπ，k∈Z，
∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣，4kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=sin（+），
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB，
∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=，又0＜B＜π，
∴B=．
∴可得0＜A＜，
∴＜+＜，
∴sin（+）＜1，
故函数f（A）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）
当a=1时，Q={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}
则P∩Q={1}
（2）∵a≤a+1，∴Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}={x|a≤x≤a+1}
∵x∈P是x∈Q的充分条件，∴P⊆Q
∴，即实数a的取值范围是
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．　
24．【答案】
【解析】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=2，
代入圆C得：（ρcosθ﹣2）2+ρ2sin2θ=2
化简得圆C的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+2=0…
由得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…（2）由得点P的直角坐标为P（0，1），
∴直线l的参数的标准方程可写成…
代入圆C得：
化简得：，
∴，∴t1＜0，t2＜0…
∴…。