2018-2019学年内蒙古高一下学期期中考试数学（理科）试卷

2018-2019学年内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一
中学高一下学期期中考试数学（理科）试卷
一、选择题：
1、两数12+与12-的等比中项是（ ）
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．21
2、不等式 的解集为（ ） A ．{|1,x x <或2}x > B ．{|12}x x << C ．{|2,x x <-或1}x >- D ．{|21}x x -<<-
3、直线 的倾斜角为（ ）． A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4、已知直线的斜率是2，在y 轴上的截距是3-，则此直线方程是（ ）． A ．230x y --=
B ．230x y -+=
C ．230x y ++=
D ．230x y +-=
5、若 ， ，则下列不等式成立的是（ ） A. b 1<1a B. 22b >a C. 1c >1c 2
2++b
a D. ||>||a c
b c
6、已知 ，且 ，则2
sin 22sin αα+等于（ ） A
．
B ．25-
C ．2
5
D
．
7、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。

这个问题中，甲所得为（ ）
A ．5
4钱 B ．4
3钱
C ．32钱
D ．53钱
8、当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 （ ）
(1)(2)0x x -->20
x y -+=,,a b c R ∈a b
>1tan()42πα+=0
2πα-<<11
x a x +≥-1x >a
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，3]
9
、一船以每小时的速度向东行驶，船在A 处看到一灯塔B 在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（ ） A ．60km B
．C
．km D ．30km
10、已知等差数列}
{n a 的公差0≠d ，前n 项和为n S ，若对所有的)(*
∈N n n ，都有10
S S n ≥，
则（ ）． A.
≥n a B.
109<⋅a a C.
17
2S S < D.
19≤S
11、已知正数 满足1x y +=，则14
1x y +
+的最小值为（ ）
A ．5
B ．143
C ．92
D ．2
12、在 中，内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，且 ，则 外接圆的面积为（ ） A ． B ． C ． D ．
二、填空题：
13、已知直线l 过点)1,2(P ，且与直线053=++y x 垂直，则直线l 的方程为___________. 14、若等比数列 满足
20
,105241=+=+a a a a ，则 =
15、 的内角 的对边分别为 ，已知 .则cos B =__________
16、过点（1，2）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 方程为_______________. 三、解答题：
17、（本小题满分10分）已知等差数列 和等比数列 满足1124245
1,10,a b a a b b a ==+==
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求和：13521n b b b b -+++
+．
18、（本小题满分12分）如图所示， 围建一个面积为360m 2
的矩形场地，要求矩形场地的
,x y
ABC
∆,,A B C ,,a b c ABC ∆S 221,41a S b c ==+-ABC ∆
2
ππ2π4π{}n
a q
ABC
∆,,A B C ,,a b c
2
sin 8cos 2A C
B +={}
n a {}n b x
一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为 (单位：元)。

（Ⅰ）将 表示为 的函数：
（Ⅱ）试确定 ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

19、（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,, 分别是角C B A ,,的对边，且
()2cos cos tan tan 11
A C A C -=.
（1）求B 的大小；
（2）若15,3+==a c b ∆ABC 的面积。

20、（本小题满分12分）数列{a n }满足
()
-12212n n n a a n =++≥，
323
a =.
（1）设
1
2n n n a b +=
，求证：{b n }为等差数列；
（2）求数列 的前 项和
21、（本小题满分12分）已知直线:120()l kx y k k R -++=∈ （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围。

（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点 为坐标原点，设三角形AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程。

22、（本小题满分12分）已知数列 满足： ，且 ，
. （1）求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若10n n n a a tS +->对任意n N *∈都成立．试求t 的取值范围．
y x x {}n a n n
S {}n a 12n
n n a a ++=123
n
n
n
b a =-⨯11a =,B O
高一年级期中考试数学答案（理科）
一、选择题： CBBAC BBDAD CD 二、填空题：
13、 14、2 15、 16、 或 三、解答题：
17
18、解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为a m 则y =45x +180(x -2)+180·2a =225x +360a -360
由已知xa =360,得a =x
360, 所以y =225x +)0(3603602
x x - (II)108003602252360225,022
=⨯≥+∴x
x x 104403603602252≥-+=∴x x y .当且仅当225x =x
2
360时，等号成立.
即当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 19、（Ⅰ）由
()2cos cos tan tan 11
A C A C -=，
得
sin sin 2cos cos 11
cos cos A C A C A C ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭. ∴
()2sin sin cos cos 1
A C A C -=.∴
()1cos 2A C +=-
.∴1
cos 2B =.
又0B π<<，∴
3B π
=
.
（Ⅱ）由2
2
2
2cos b a c
ac B =+-，得()
2
2
3a c ac b +-=，
又15,3a c b +==4ac =.∴113
sin 43
22ABC S ac B ∆==⨯=.
310
x y -+=15
1720x y -=10x y -+=
20、解析:（1）由题意，111-12112121(1)222n n
n n n a n n n n
n a a a a b b n ---++---=-===>，
所以
{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知
()331n b b n n
=+-⋅=,从而
2121
n n n n a b n =⋅-=⋅-
令
1
12
2312222,212222n n S n S n +=⋅+⋅++⋅=⋅+⋅+
+⋅,
两式相减有()()112 1 2222122
n n n S n n ++=⋅-++
+=-+
所以
()1122n n S n n
+=-+-
21、（1）0k ≥(2)最小值4，直线方程为240x y -+= 22、
证明：（1）∵数列{a n }满足：a n+1+a n =2n ，且a 1=1，b n =a n ﹣×2n ， ∴
，
∴=﹣1，
∵=，
∴数列{b n }是首项为，公比为1的等比数列． 解：（2）由（1）知=
，
∴
，
∴数列{a n }的前n 项和：
S n ={（2+22+23+…+2n ）﹣[﹣（﹣1）+（﹣1）2+…+（﹣1）n } = [] =
﹣
﹣．
∵a n a n+1﹣tS n ＞0对任意n ∈N *都成立．
∴由a n = [2n ﹣（﹣1）n ]，得a n a n+1= [2n ﹣（﹣1）n ][2n+1﹣（﹣1）n+1]，
S n=﹣﹣．
①当n为正奇数时，a n a n+1﹣tS n=（2n+1）（2n+1﹣1）﹣（2n+1﹣1）＞0对任意n∈N*都成立，
∵2n+1﹣1＞0，∴（2n+1）﹣＞0，即t（2n+1）对任意正奇数n都成立，
又因为数列{}递增，
所以当n=1时，有最小值1，∴t＜1；
②当n为正偶数时，a n a n+1﹣tS n=（2n﹣1）（2n+1+1）﹣，
即（2n﹣1）（2n+1+1）﹣＞0对任意n∈N*都成立，
又∵2n﹣1＞0，∴＞0，即t＜任意正偶数n都成立，
又数列{（2n+1+1）}递增，
∴当n=2时，有最小值．∴t．
综上所述，当n为正奇数时，t的取值范围是（﹣∞，1）；当n为正偶数时，t的取值范围是（﹣1，）．。