2015届高考数学总复习第九章平面解析几何第5课时直线与圆的位置关系教学案(含最新模拟、试题改编)

第九章 平面解析几何第5课时 直线与圆的位置关系

第十章 ⎝

⎛⎭

⎪⎪⎫

对应学生用书（文）122～124页 （理）127～129页

考情分析

考点新知

掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

① 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与

圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方

程，判断两圆的位置关系.

② ② 能用直线和圆的方程解决一些简单

的问题.

1. 已知圆O ：x 2

＋y 2＝4，则过点P(2，4)与圆O 相切的切线方程为________________．

答案：3x －4y ＋10＝0或x ＝2

解析：∵ 点P(2，4)不在圆O 上，∴ 切线PT 的直线方程可设为y ＝k(x －2)＋4.根据d ＝r ，∴ |－2k ＋4|1＋k 2＝2，解得k ＝34，所以y ＝34

(x －2)＋4，即3x －4y ＋10＝0.因为过圆外一点

作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x ＝2. 2. (必修2P 115练习1改编)已知圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是________．

答案：相交

解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝5，0＜d ＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．

3. (必修2P 115练习4改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．

答案：(－3，3) 解析：由题意知

21＋k

2

＞1，解得－3＜k ＜ 3.

4. 过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．

答案：(2，2)

解析：本题主要考查数形结合的思想，设P(x ，y)，则由已知可得PO(O 为原点)与切线

的夹角为30°，则|PO|＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x ＋y ＝22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，

y ＝ 2.

5. (必修2P 107习题4改编)以点(2，－2)为圆心并且与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相外切的

圆的方程是________．

答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝9

解析：设所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r>0)，此圆与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝4相外切，所以（2＋1）2＋（－2－2）2＝2＋r ，解得r ＝3.所以所求

圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝9.

1. 直线与圆的位置关系

(1) 直线与圆相交，有两个公共点； (2) 直线与圆相切，只有一个公共点；

(3) 直线与圆相离，无公共点． 2. 直线与圆的位置关系的判断方法

直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)的位置关系的判断方法：

(1)几何方法：

圆心(a ，b)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ， d

d ＝r Û直线与圆相切； d>r Û直线与圆相离． (2) 代数方法：

由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则

Δ>0Û直线与圆相交； Δ＝0Û直线与圆相切； Δ<0Û直线与圆相离．

3. 圆与圆的位置关系及判断方法

(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． (2) 判断两圆位置关系的方法

两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 12(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 2

2(r 2>0)的圆心距为d ，则 d>r 1＋r 2Û两圆外离； d ＝r 1＋r 2Û两圆外切； |r 1－r 2|

d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) Û两圆内切；

0≤d<|r 1－r 2|(r 1≠r 2) Û两圆内含(d ＝0时为同心

圆).

题型1 直线与圆的位置关系 例1 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )． (1) 求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点； (2) 求直线被圆C 截得的弦长最小时直线l 的方程．

(1) 证明：直线l 的方程整理得(x ＋y －4)＋m(2x ＋y －7)＝0，∵ m ∈R ，∴ ⎩⎪⎨

⎪⎧2x ＋y －7＝0，

x ＋y －4＝0⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3，

y ＝1，也就是直线l 恒过定点A(3，1)．由于|AC|＝5<5(半径)，∴ 点A(3，1)在圆C 内，

故直线l 与圆C 恒交于两点．

(2) 解：弦长最小时，直线l ⊥AC ，而k AC ＝－1

2

，故此时直线l 的方程为2x －y －5＝0.

变式训练

已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )． (1) 求证：不论m 取什么值，圆心在同一直线l 上； (2) 与l 平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离．

(1) 证明：配方得(x －3m)2

＋[y －(m －1)]2

＝25.设圆心为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m ，

y ＝m －1，

消去m ，

得x －3y －3＝0.故不论m 取什么值，圆心在同一直线l ：x －3y －3＝0上．

(2) 解：设与l 平行的直线为n ：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线l 的距离d ＝|3m －3（m －1）＋b|10＝|3＋b|

10，由于圆的半径r ＝5，∴ 当d

直线与圆相交；当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d>r ，即b<－510－3或b>510－3时，直线与圆相离．

题型2 直线与圆相交的弦的问题

例2 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过A(－1，0)与圆C 相交于P 、Q 两点，

M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N. (1) 求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2) 当PQ ＝23时，求直线l 的方程；

(3) 探索AM →·AN →

是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

(1) 证明：∵ l 与m 垂直，且k m ＝－1

3

，

∴ k l ＝3.又k AC ＝3，所以当l 与m 垂直时，l 的方程为y ＝3(x ＋1)，l 必过圆心C. (2) 解：①当直线l 与x 轴垂直时， 易知x ＝－1符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.因为PQ ＝2 3，所以CM ＝

4－3＝

1，则由CM ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝4

3

，∴ 直线l ：4x －3y ＋4＝0. 从而所求的直线l 的方程为

x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.

(3) 解：∵ CM ⊥MN ，∴ AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·AN →＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN →

.

①当l 与x 轴垂直时，易得N ⎝⎛⎭⎫－1，－53，则AN →＝⎝

⎛⎭⎫0，－53.又AC →＝(1，3)，∴ AM →·AN →

＝AC →·AN →

＝－5；②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则由⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x ＋3y ＋6＝0，