2015届高考数学总复习第九章平面解析几何第5课时直线与圆的位置关系教学案(含最新模拟、试题改编)

第九章 平面解析几何第5课时 直线与圆的位置关系第十章 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫对应学生用书（文）122～124页 （理）127～129页考情分析考点新知掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．① 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系.② ② 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.1. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，则过点P(2，4)与圆O 相切的切线方程为________________．答案：3x －4y ＋10＝0或x ＝2解析：∵ 点P(2，4)不在圆O 上，∴ 切线PT 的直线方程可设为y ＝k(x －2)＋4.根据d ＝r ，∴ |－2k ＋4|1＋k 2＝2，解得k ＝34，所以y ＝34(x －2)＋4，即3x －4y ＋10＝0.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x ＝2. 2. (必修2P 115练习1改编)已知圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是________．答案：相交解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝5，0＜d ＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．3. (必修2P 115练习4改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．答案：(－3，3) 解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k ＜ 3.4. 过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．答案：(2，2)解析：本题主要考查数形结合的思想，设P(x ，y)，则由已知可得PO(O 为原点)与切线的夹角为30°，则|PO|＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x ＋y ＝22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝ 2.5. (必修2P 107习题4改编)以点(2，－2)为圆心并且与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相外切的圆的方程是________．答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝9解析：设所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r>0)，此圆与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝4相外切，所以（2＋1）2＋（－2－2）2＝2＋r ，解得r ＝3.所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝9.1. 直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交，有两个公共点； (2) 直线与圆相切，只有一个公共点；(3) 直线与圆相离，无公共点． 2. 直线与圆的位置关系的判断方法直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)的位置关系的判断方法：(1)几何方法：圆心(a ，b)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ， d<r Û直线与圆相交；d ＝r Û直线与圆相切； d>r Û直线与圆相离． (2) 代数方法：由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则Δ>0Û直线与圆相交； Δ＝0Û直线与圆相切； Δ<0Û直线与圆相离．3. 圆与圆的位置关系及判断方法(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． (2) 判断两圆位置关系的方法两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 12(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)的圆心距为d ，则 d>r 1＋r 2Û两圆外离； d ＝r 1＋r 2Û两圆外切； |r 1－r 2|<d<r 1＋r 2Û两圆相交；d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) Û两圆内切；0≤d<|r 1－r 2|(r 1≠r 2) Û两圆内含(d ＝0时为同心圆).题型1 直线与圆的位置关系 例1 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )． (1) 求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点； (2) 求直线被圆C 截得的弦长最小时直线l 的方程．(1) 证明：直线l 的方程整理得(x ＋y －4)＋m(2x ＋y －7)＝0，∵ m ∈R ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，也就是直线l 恒过定点A(3，1)．由于|AC|＝5<5(半径)，∴ 点A(3，1)在圆C 内，故直线l 与圆C 恒交于两点．(2) 解：弦长最小时，直线l ⊥AC ，而k AC ＝－12，故此时直线l 的方程为2x －y －5＝0.变式训练已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )． (1) 求证：不论m 取什么值，圆心在同一直线l 上； (2) 与l 平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离．(1) 证明：配方得(x －3m)2＋[y －(m －1)]2＝25.设圆心为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m ，y ＝m －1，消去m ，得x －3y －3＝0.故不论m 取什么值，圆心在同一直线l ：x －3y －3＝0上．(2) 解：设与l 平行的直线为n ：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线l 的距离d ＝|3m －3（m －1）＋b|10＝|3＋b|10，由于圆的半径r ＝5，∴ 当d<r ，即－510－3<b<510－3时，直线与圆相交；当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d>r ，即b<－510－3或b>510－3时，直线与圆相离．题型2 直线与圆相交的弦的问题例2 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过A(－1，0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N. (1) 求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2) 当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3) 探索AM →·AN →是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．(1) 证明：∵ l 与m 垂直，且k m ＝－13，∴ k l ＝3.又k AC ＝3，所以当l 与m 垂直时，l 的方程为y ＝3(x ＋1)，l 必过圆心C. (2) 解：①当直线l 与x 轴垂直时， 易知x ＝－1符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.因为PQ ＝2 3，所以CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝43，∴ 直线l ：4x －3y ＋4＝0. 从而所求的直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3) 解：∵ CM ⊥MN ，∴ AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·AN →＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN →.①当l 与x 轴垂直时，易得N ⎝⎛⎭⎫－1，－53，则AN →＝⎝⎛⎭⎫0，－53.又AC →＝(1，3)，∴ AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5；②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k －61＋3k ，－5k 1＋3k ，则AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k . ∴ AM →·AN →＝AC →·AN →＝－51＋3k ＋－15k 1＋3k＝－5.综上，AM →·AN →与直线l 的斜率无关，且AM →·AN →＝－5.另解：连结CA 并延长交m 于点B ，连结CM ，CN ，由题意知AC ⊥m ，又CM ⊥l ，∴ 四点M 、C 、N 、B 都在以CN 为直径的圆上，由相交弦定理，得AM →·AN →＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.备选变式（教师专享）已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A(1，0)． (1) 若l 1与圆相切，求l 1的方程；(2) 若l 1与圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．解：(1) ①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意． ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k(x －1)，即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即||3k －4－k k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.(2) (解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1. 又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k （x －3），得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2. ∴ AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22· ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12 ＝2|2k ＋1|1＋k 21＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6为定值．故AM·AN 是定值，且为6.(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1. 再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，（x －3）2＋（y －4）2＝4，得(1＋k 2)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋21＝0.∴x 1＋x 2＝2k 2 ＋ 8k ＋ 61 ＋ k 2，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2. 以下同解法1.(解法3)用几何法连结CA 并延长交l 2于点B ，k AC ＝2，kl 2＝－12，∴CB ⊥l 2.如图所示，△AMC ∽△ABN ，则AM AB ＝ACAN，可得AM·AN ＝AC·AB ＝25·35＝6，是定值．题型3 圆的切线问题例3 求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程． 解：由题意，设所求圆的方程为圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为C 1(a ，4)或C 2(a ，－4)．又已知圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的圆心A 的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.① 当C 1(a ，4)时，有(a －2)2＋(4－1)2＝72或(a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a ＝2±210.∴ 所求圆方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝42或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝42.② 当C 2(a ，－4)时，(a －2)2＋(－4－1)2＝72或(a －2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a ＝2±2 6.∴ 所求圆的方程为(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝42或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝42. 备选变式（教师专享）自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切．求：(1) 光线l 和反射光线所在的直线方程； (2) 光线自A 到切点所经过的路程．解：根据对称关系，首先求出点A 的对称点A′的坐标为()－3，－3，其次设过A′的圆C 的切线方程为y ＝k ()x ＋3－3.根据d ＝r ，即求出圆C 的切线的斜率为k ＝43或k ＝34，进一步求出反射光线所在的直线的方程为 4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0.最后根据入射光与反射光关于x 轴对称，求出入射光所在直线方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.光路的距离为||A′M ，可由勾股定理求得||A′M 2＝||A′C 2－||CM 2＝7.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)直线l 过点(－4，0)且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A ，B 两点，如果AB ＝8，求直线l 的方程．学生错解：解：设直线l 的方程为y ＝k(x ＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y ＝k(x ＋4)的距离为3，即|3k －2|1＋k 2＝3，解得k ＝－512，此时直线方程为5x ＋12y ＋20＝0.审题引导： (1) 如何设过定点的直线的方程？(2) 圆中弦长的问题，通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决？规范解答： 解：过点(－4，0)的直线若垂直于x 轴，经验证符合条件，即方程为x ＋4＝0满足题意；(4分)若存在斜率，设其直线方程为y ＝k(x ＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y ＝k(x ＋4)的距离为3，即|3k －2|1＋k 2＝3，解得k ＝－512，(10分)此时直线方程为5x ＋12y ＋20＝0，(12分)综上直线方程为5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0.(14分)错因分析： 1. 解答本题易误认为斜率k 一定存在从而漏解.2. 对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k 是否存在，以避免漏解．1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是____________．答案：43解析：∵ 圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，∴ 圆C 的圆心为(4，0)，半径为1.由题意知，直线y ＝kx －2上至少存在一点A(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴ 存在x 0∈R ，使得AC ≤1＋1成立，即AC min ≤2.∵ AC min 即为点C 到直线y ＝kx －2的距离|4k －2|k 2＋1， ∴|4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43.∴ k 的最大值是43.2. 已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－24，24解析：易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k|k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.3. 直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤－33，33解析：设圆心C(2，3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若MN ≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12MN 2≤4－3＝1，即|2k|21＋k 2≤1， 解得－33≤k ≤33. 4. 若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m)2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．答案：4解析：依题意得OO 1＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △OO 1A ＝12·AB2·OO 1＝12·OA ·AO 1，因此AB ＝2·OA·AO 1OO 1＝2×5×255＝4.5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，右焦点为F.若C 的右准线l 的方程为x ＝4，离心率e ＝22.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点P 为准线l 上一动点，且在x 轴上方．圆M 经过O 、F 、P 三点，求当圆心M 到x 轴的距离最小时圆M 的方程．解：(1) 由题意，设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则⎩⎨⎧a 2c ＝4，c a ＝22，解得a ＝22，c ＝2.从而b 2＝a 2－c 2＝4.所以所求椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2) (解法1)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.线段OF 的垂直平分线方程为x ＝1.①因为线段FP 的中点为⎝⎛⎭⎫3，t 2，斜率为t 2， 所以FP 的垂直平分线方程为y －t 2＝－2t (x －3)，即y ＝－2t x ＋6t ＋t2.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t 2＋4t，即圆心M ⎝⎛⎭⎫1，t 2＋4t . 因为t>0，所以t 2＋4t≥2t 2·4t ＝22，当且仅当t 2＝4t，即t ＝22时，圆心M 到x 轴的距离最小，此时圆心为M(1，22)，半径为OM ＝3.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －22)2＝9.(解法2)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.因为圆M 过原点O ，故可设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.将点F 、P 的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4＋2D ＝0，16＋t 2＋4D ＋tE ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－⎝⎛⎭⎫t ＋8t .所以圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，即(1，t 2＋4t )．因为t>0，所以t 2＋4t ≥2t 2·4t＝22，当且仅当t 2＝4t ，即t ＝22时，圆心M 到x 轴的距离最小，此时E ＝－4 2.故所求圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －42y ＝0.6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为r 1＝13；圆弧C 2过点A(29，0)．(1) 求圆弧C 2所在圆的方程；(2) 曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解：(1) 由题意得，圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169.令x ＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C 2过点A(29，0)，设圆弧C 2所在圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧52＋122＋5D ＋12E ＋F ＝0，52＋122＋5D －12E ＋F ＝0，292＋29D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－28，E ＝0，F ＝－29.所以圆弧C 2所在圆的方程为x 2＋y 2－28x －29＝0.(2) 假设存在这样的点P(x ，y)，则由PA ＝30PO ，得(x －29)2＋y 2＝30(x 2＋y 2)，即x 2＋y 2＋2x －29＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169（－13≤x ≤5），解得x ＝－70(舍去)；由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2－28x －29＝0（5≤x ≤29），解得x ＝0(舍去)．所以这样的点P 不存在．(3) 因为圆弧C 1、C 2所在圆的半径分别为r 1＝13，r 2＝15，因为EF>2r 1，EF>2r 2，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上．设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14，0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2，即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516，所以点O 到直线l 的距离为1 6154.1. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA →·PB →的最小值为________．答案：－3＋22解析：设∠APB ＝2θ，|PO →|＝x ，则PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos2θ＝|PA →|2cos2θ＝(|PO →|2－1)·(1－2sin 2θ)＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎫1－2x 2＝x 2－2－1＋2x 2≥－3＋22，当且仅当x 2＝2x2，即x ＝42时取等号． 2. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是________． 答案：[1－22，3] 解析：y ＝3－4x －x 2变形为(x －2)2＋(y －3)2＝4(0≤x ≤4，1≤y ≤3)，表示以(2，3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，只需直线y ＝x ＋b 在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y ＝x ＋b 与下半圆相切时，圆心到直线y ＝x ＋b 的距离为2，即|2－3＋b|2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍去)， ∴b 的取值范围为1－22≤b ≤3.3. 已知圆C 过点P(1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1) 求圆C 的方程；(2) 过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：(1) 设圆心C(a ，b)，则⎩⎨⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2) 由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k(x －1)，PB ：y －1＝－k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1），x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k(1－k)x ＋(1－k)2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k （x B －1）－k （x A －1）x B －x A ＝2k －k （x B ＋x A ）x B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．4. 已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1) 求证：△AOB 的面积为定值；(2) 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程；(3) 在(2)的条件下，设P 、Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P 的坐标．解：(1) 由题设知，圆C 的方程为(x －t)2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A(2t ，0)；当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， ∴ S ΔAOB ＝12|OA|·|OB|＝12|2t|·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值．(2) ∵ |OM|＝|ON|，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴ t ＝2或t ＝－2，∴ 圆心C(2，1)或C(－2，－1)∴ 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d>r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去.∴ 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5(3) 点B(0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C|－r ＝（－6）2＋32－5＝35－5＝2 5.所以|PB|＋|PQ|的最小值25，直线B′C 的方程为y ＝12x ，则直线B′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，－23.1. 两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．2. 圆的弦长的常用求法：(1) 几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫12l 2＝r 2－d 2；(2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2].请使用课时训练(B)第5课时(见活页)．。