专题01 三角函数中的化简求值(解析版)

专题01 三角函数中的化简求值
一、题型选讲
题型一 灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值
通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。

在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．
例1、（2018年江苏高考题）已知,αβ为锐角，4
tan 3
α=，cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）
求tan()αβ-的值．
【解析】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan 2α，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1（因为4tan 3α=
（sin tan cos ααα=，所以4
sin cos 3
αα=（ 因为22sin cos 1αα+=，所以2
9cos 25α=（ 因此，2
7cos22cos 125
αα=-=-（ （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈（
又因为()cos αβ+=()sin αβ+==
因此()tan 2αβ+=-（ 因为4tan 3α=
，所以2
2tan 24
tan21tan 7
ααα==--（ 因此，()()()()
tan2tan 2
tan tan 21+tan2tan 11
ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+=
=-
⎣⎦+（ 例2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，已知向量a ＝(6sin α，2)，b ＝⎝
⎛⎭⎫1，cos α－6
2，
且a ⊥b .
(1) 求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π
6的值；
(2) 求cos ⎝
⎛⎭⎫2α＋7π
12的值．
【解析】(1) 因为a ＝(6sin a ，2)，b ＝⎝
⎛⎭
⎫
1，cos α－
62，且a ⊥b . 所以6sin a ＋2cos α＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝6
4.2分
因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π
3，所以α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，(4分)
所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝10
4，
故sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π
6＝
1－cos 2⎝
⎛⎭⎫α＋π6＝6
4
所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝15
5.(6分)
(2) 由(1)得cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2
⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫1042－1＝14.(8分)
因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π
3，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，π，
所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝15
4.(10分)
所以cos ⎝
⎛⎭⎫2α＋7π
12＝cos ]
＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫2a ＋π
3sin π4(12分)
＝
2－30
8
.(14分) 题型二 探究角度之间的关系
在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。

应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”（“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”（“逆用变用公式”（“通分约分”（“分解与组合”（“配方与平方”等. 例3、求值：1
4sin80tan10︒-
︒
．
【答案】3-
【解析】 因为14sin80sin10cos104cos10sin10cos104sin80tan10sin10sin10︒︒-︒︒︒-︒
︒-
==︒︒︒
2sin 20cos102sin(3010)cos103sin10sin10︒-︒︒-︒-︒===-︒︒
例4、(2017苏锡常镇调研（一））已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭
⎫α＋π
12＝________. 【答案】：23－4
解法 1 由题意可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12－π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π12，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12·sin π
12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π12，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2tan π
12＝－2tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝－23－21＋3
＝23－4. 解法2 tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝3－11＋3＝2－ 3.因为sin α＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6，即sin α＝332sin α＋3
2cos α，即tan α＝3
2－33
，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝tan α＋tan π121－tan αtan π12＝32－33＋2－31－32－33×(2－3)
＝16－83－4＝23－4. 例5、(2019年江苏卷)已知
tan 2π3
tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，则πsin 24α⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 【答案】
10
. 【解析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】由()tan 1tan tan tan 2
tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-
++⎛
⎫+ ⎪
-⎝
⎭， 得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1
tan 3
α=-
. sin 2sin 2cos cos
2sin 444πππααα⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭
)22222sin cos cos
sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫
+-=+ ⎪+⎝⎭ 222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭
，
当tan 2α=
时，上式22
2212==22110
⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式
=2
2
112133=21011
3⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
综上，sin 2410
πα⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭ 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.
题型三、运用构造法化简与求值
通过构造方程或者转化为关于x x cos ,sin 的一元二次函数来解决。

例6、(2019扬州期末）设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cos π
7a cos π
7－b sin π7＝tan 10π21，则b
a ＝________． 【答案】 3
【解析】解法1(方程法) 因为a ，b 是非零实数，由a sin π7＋b cos π7a cos π7－b sin π7＝tan 10π21，得tan π7＋
b a 1－b a tan
π
7
＝tan 10π
21，解
得b a ＝tan 10π21－tan
π
71＋tan 10π21·tan
π7
，即b
a ＝tan ⎝⎛⎭⎫10π21－π7＝tan π3＝ 3. 解法2(系数比较法) tan 10π21＝tan ⎝⎛⎭⎫π7＋π
3＝tan π7
＋31－3tan π7＝sin π7＋3cos π
7
cos π7－3sin π7，tan 10π21＝sin π7＋b a cos π
7cos π7－b a sin
π
7
＝
sin π7＋3cos
π
7
cos π7－3sin
π
7
，所以b
a ＝ 3.
例7、求函数的x x x f sin 42cos )(+=值域 【答案】[]4,5-
【解析】()cos 24sin f x x x =+=
2
124sin sin x x
-+
=-2
2
3
(sin 1)
x +-
所以函数的值域为：[]4,5- 二、达标训练
1、(2017苏州暑假测试） 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－3
5，则cos β＝________. 【答案】 －4＋62
15
【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×22
3＝－4＋6215.
2、(2018南京、盐城一模）已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________． 【答案】 3
4
π
【解析】因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan αtan β－(tan α＋tan β)＋1＝2，即tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝－1，
所以tan (α＋β)＝－1.又α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，即α＋β＝3
4
π.
3、(2019镇江期末）若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π
2，π，则sin 2α＝________．
【答案】 －7
8
【解析】解法1 设π4－α＝β⎝⎛⎭⎫β∈⎝⎛⎭⎫－3
4π，－π4，则α＝π4－β.由2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，得2cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝
2sin 2β＝4sin βcos β＝sin β，而sin β≠0，故cos β＝1
4.所以sin 2α＝sin ⎝⎛⎭
⎫π2－2β＝cos 2β＝2cos 2β－1＝
－7
8
. 解法2 由2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α得2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝2
2(cos α－sin α)．又α∈⎝⎛⎭
⎫π2，π，
则cos α－sin α≠0，故cos α＋sin α＝
22.两边平方得sin 2α＝－7
8
. 4、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且 cos θ＝4
5，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4cos ()
2θ－6π的值为________．
【解析】因为θ是第四象限角，所以sin θ<0，
则sin θ＝－1－cos 2θ＝－3
5
，
所以
sin ⎝
⎛⎭⎫θ＋π
4cos （2θ－6π）
＝
sin θcos π4＋cos θsin
π
4cos 2θ
＝
2
2
（sin θ＋cos θ）cos 2－sin 2θ
＝
22（sin θ＋cos θ）（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）＝2245－⎝⎛⎭
⎫－35＝52
14
.
5、(2016镇江期末） 由sin 36°＝cos 54°，可求得cos 2 016°的值为________． 【答案】－
5＋1
4
【解析】由sin36°＝cos54°得sin36°＝2sin18°cos18°＝cos(36°＋18°)＝cos36°cos18°－sin36°sin18°＝(1－2sin 218°)·cos18°－2sin 218°cos18°＝cos18°－4sin 218°cos18°，即4sin 218°＋2sin18°－1＝0，解得sin18°＝－2＋22＋162×4
＝5－14，cos2016°＝cos(6×360°－144°)＝cos144°＝－cos36°＝2sin 218°－1＝－5＋1
4.
解后反思 本题主要将2016°转化利用36°进而利用18°的三角函数值求解，化繁为简． 6、(2017苏州期末） 若2tan α＝3tan π
8
，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π8＝________. 【答案】1＋52
49
【解析】思路分析 可先记t ＝tan π
8
，最后再代入化简．
解法 1 记t ＝tan π8＝1－cos π4sin π4＝2－1，则tan α＝32t .所以tan ⎝⎛⎭⎫α－π8＝32t －t
1＋32t 2＝t 2＋3t 2＝2－111－62
＝
(2－1)(11＋62)49＝1＋52
49
.
解法2 tan ⎝⎛⎭⎫α－π8＝32tan π8
－tan
π
81＋32tan 2π
8 ＝tan π8
2＋3tan 2π8＝sin π8cos π8
2cos 2π8＋3sin
2
π8
＝
sin π4
2⎝⎛⎭⎫1＋cos π4＋3⎝⎛⎭
⎫1－cos π4
＝
210－2＝1
52－1
＝1＋5249.
7、(2019苏州期初调查）已知cos α＝43
7，α∈⎝
⎛⎭⎫0，π2.
(1) 求sin ⎝⎛⎭
⎫π
4＋α的值；
(2) 若cos (α＋β)＝11
14，β∈⎝
⎛⎭⎫0，π2，求β的值．
规范解答 (1) 由cos α＝
43
7，α∈⎝
⎛⎭⎫0，π2， 得sin α＝1－cos 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫4372
＝17
.(2分) 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π
4sin α(4分)
＝
22×437＋22×17＝46＋2
14
.(6分) (2) 因为α，β∈⎝
⎛⎭⎫0，π
2，所以α＋β∈(0，π)．
又cos (α＋β)＝11
14
，则sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝
1－⎝⎛⎭⎫11142
＝5314
.(8分) 所以sin β＝sin (α＋β－α)＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α(10分) ＝
5314×437－1114×17＝1
2
.(12分) 因为β∈⎝
⎛⎭⎫0，π
2，所以β＝π6.(14分)。