【创新设计】（江苏专用）2021届高考数学二轮总温习 圆锥曲线的大体问题训练试题 文(1)

常考问题13 圆锥曲线的大体问题
(建议历时：50分钟)
1．(2021·陕西卷)双曲线x 216－y 2
m ＝1(m >0)的离心率为5
4
，那么m 等于________．
解析 由题意得c ＝16＋m ，因此
16＋m 4＝5
4
，解得m ＝9. 答案 9
2．已知双曲线C ∶x 2a
2－
y 2b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为2，离心率为2，那么双曲线C 的核心坐标是________．
解析 ∵2a ＝2，∴a ＝1，又c
a
＝2，∴c ＝2，∴双曲线C 的核心坐标是(±2,0)．
答案 (±2,0)
3．(2021·徐州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－
y 2
b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)的右极点，右核心别离为A ，F ，它的左准线与x 轴
的交点为B ，假设A 是线段BF 的中点，那么双曲线C 的离心率为________． 解析 ∵A 是B ，F 的中点，∴2a ＝－a 2c
＋c .
∴e 2－2e －1＝0，∵e ＞1，∴e ＝2＋1.
答案
2＋1
4．(2021·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋
y 2
b 2
＝1(a >b >0)的右核心为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，
B 两点．假设AB 的中点坐标为(1，－1)，那么E 的方程为________．
解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝1
2
，
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，因此⎩⎪⎨⎪⎧
x 21a 2
＋y 21
b 2
＝1
①
x 2
2
a 2
＋y
22b 2
＝1， ②
①－②得y 1－y 2x 1－x 2
＝－b 2a 2·
x 1＋x 2y 1＋y 2
.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，因此k ＝－b 2
a 2×
2
－2
，因此
b 2a 2＝12
，
③ 又a 2－b 2＝c 2＝9，
④
由③④得a 2＝18，b 2＝9.故椭圆E 的方程为x 218＋y 2
9＝1.
答案
x 218＋y 2
9
＝1 5．已知双曲线x 2a 2－
y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的一个核心与抛物线y 2＝4x 的核心重合，且双曲线的离心率等于5，那
么该双曲线的方程为________．
解析 由于抛物线y 2＝4x 的核心为F (1,0)，即c ＝1，又e ＝c
a
＝
5，可得a ＝
5
5
，结合条件有a 2＋b 2＝c 2＝1，可得b 2＝
45，又核心在x 轴上，那么所求的双曲线的方程为5x 2－5
4
y 2＝1.
答案 5x 2－
5
4
y 2＝1
6．(2021·福建卷)椭圆T ：x 2
a 2＋
y 2
b 2
＝1(a >b >0)的左、右核心别离为F 1，F 2，焦距为2c .假设直线y ＝3(x ＋c )
与椭圆T 的一个交点M 知足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，那么该椭圆的离心率等于________． 解析 直线y ＝
3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，因此∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，因此MF 1⊥
MF 2，在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，因此该椭圆的离心率e ＝
2c
2a ＝
2c c ＋3c
＝3－1.
答案
3－1
7．已知双曲线C 与椭圆x 216＋y 2
12＝1有一起的核心F 1，F 2，且离心率互为倒数．假设双曲线右支上一点P 到右
核心F 2的距离为4，那么PF 2的中点M 到坐标原点O 的距离等于________． 解析 由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c ＝
16－12＝2，故椭圆的离心率e 1＝24＝1
2
，那么双曲线的
离心率e 2＝1
e 1＝2.因为椭圆和双曲线有一起的核心，因此双曲线的半焦距也为c ＝2.设双曲线C 的方程为x 2
a
2－
y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么有a ＝c
e 2＝2
2
＝1，b 2＝c 2－a 2＝22－12＝3，因此双曲线的标准方程为x 2－
y 2
3
＝1.因为点P 在双曲线的右支上，那么由双曲线的概念，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 2|＝4，因此|PF 1|＝6.因为坐标原点O 为F 1F 2的中点，M 为PF 2的中点． 因此|MO |＝1
2|PF 1|＝3.
答案 3
8．(2021·南京、盐城模拟)设椭圆C ∶x 2a 2＋
y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)恒过定点A (1,2)，那么椭圆的中心到准线的距离的最
小值________． 解析 由题设知1
a 2＋
4
b 2＝1，∴b 2＝
4a 2
a 2－1
，∴椭圆的中心到准线的距离d ＝a 2c
，
由d 2＝a 4c
2＝
a 4
a 2－
b 2
＝
a 4
a 2－4a 2
a 2
－1＝
a 2a 2－1a 2－5
，
令a 2－5＝t (t ＞0)得
d 2＝
t ＋5
t ＋4
t
＝t ＋20
t
＋9≥9＋4
5(当且仅当t ＝25时取等号)
∴d ≥2＋5即椭圆的中心到准线的距离的最小值2＋ 5.
答案 2＋
5
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于任意实数k ，直线(3k ＋1)x ＋(k －3)y －(3k ＋
3)＝0恒过定点F .
设椭圆C 的中心在原点，一个核心为F ，且椭圆C 上的点到F 的最大距离为2＋ 3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设(m ，n )是椭圆C 上的任意一点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点，试别离判定圆O 与直线l 1：mx ＋ny ＝1和l 2：mx ＋ny ＝4的位置关系． 解 (1)由(3k ＋1)x ＋(k －
3)y －(3k ＋3)＝0整理
得(
3x ＋y －3)k ＋(x －3y －
3)＝0，
解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
3x ＋y －3＝0，
x －3y －3＝0
得F (3，0)．
设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距别离为2a,2b,2c ，那么由题设知⎩⎪⎨
⎪⎧
c ＝3，
a ＋c ＝2＋ 3.
于是a ＝2，b ＝1.
因此椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2＝1.
(2)因为圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点，因此b ＜r ＜a ，即1＜r ＜2. 因为点(m ，n )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，因此m 2
4＋n 2＝1，
且－2≤m ≤2. 因此
m 2＋n 2＝
34
m 2＋1∈[1,2]．
于是圆心O 到直线l 1的距离d 1＝
1
m 2＋n 2
≤1＜r ，
圆心O 到直线l 2的距离d 2＝
4
m 2＋n 2
≥2＞r .
故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离．
10．已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，核心在x 轴上，它的一个极点到两个核心的距离别离是7和1.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)假设P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OP
OM
＝λ，求点M 的轨迹方程，并
说明轨迹是什么曲线．
解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距别离为a ，c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4，
c ＝3.
又∵b 2＝a 2－c 2，∴b
＝
7，
因此椭圆C 的方程为x 216＋y 2
7＝1.
(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]，由已知
OP 2
OM 2
＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋112
16x 2＋y
2＝λ2，整理得(16λ2
－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]．
①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，因此点M 的轨迹方程为y ＝±47
3(－4≤x ≤4)．轨迹是两条平行于x 轴的
线段．
②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2
＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<3
4
时，点M 的轨迹为中心在原点、
实轴在y 轴上的双曲线知足－4≤x ≤4的部份；当3
4<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭
圆知足－4≤x ≤4的部份；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆． 11．(2021·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)椭圆C ∶x 2a 2＋
y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)的左核
心为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1→·FB 2→
＝2b 2. (1)求a 、b 的值；
(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .假设AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程．
解 (1)因为F (－c,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，因此FB 1→＝(c ，－b )，FB 2→
＝(c ，b )． 因为FB 1→·FB 2→
＝2b 2， 因此c 2－b 2＝2b 2.
① 因为椭圆C 过A (－2，－1)，代入得，4a 2＋
1b 2
＝1.
②
由①②解得a 2＝8，b 2＝2. 因此a ＝2
2，b ＝
2.
(2)由题意，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋1＝k x ＋2，
x 2
8＋y
2
2
＝1得(x ＋2)[(4k 2＋1)(x ＋2)－(8k ＋4)]＝0.
因为x ＋2≠0，因此x ＋2＝
8k ＋44k 2＋1，即x Q ＋2＝8k ＋4
4k 2＋1
.
由题意，直线OP 的方程为y ＝kx .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，x 2
8＋y
2
2
＝1，得(1＋4k 2)x 2＝8.
则x 2P ＝81＋4k 2， 因为AQ ·AR ＝3OP 2.
因此|x Q －(－2)|×|0－(－2)|＝3x 2P .
即⎪⎪⎪⎪
⎪⎪8k ＋44k 2＋1×2＝3×8
1＋4k 2. 解得k ＝1，或k ＝－2.
当k ＝1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0， 当k ＝－2时，直线l 的方程为2x ＋y ＋5＝0. 备课札记：。