2022年高考数学强基计划讲义 专题16：解析几何二【解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题16：解析几何二一、真题特点分析：
1.【2020复旦大学1】设抛物线22y px =，过焦点F 作直线，交抛物线于
A ，
B 两点，满足3AF FB =
．过点A 作抛物线准线的垂线，垂足记
为点1A ，准线交x 轴于点C ，若1
CFA S =，则p =_______________．
2.【2020武汉大学10】已知直线1211
::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆
22
221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若2
2
PM PN +为定值，则（
）A.2ab = B.3
ab = C.2a b
= D.3a b
=3.【2021复旦大学10】已知1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，B 为椭圆上
一点，延长
2F B 到点A ，满足1BF BA =．1AF 的中点为H ，则下列两个结论是否正确：
结论1：1AF BH ⊥；结论2：BH 为椭圆的切线．
二、知识要点拓展
一．椭圆中的经典结论：
（A）点000()P x y ，在椭圆上22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是
00221x x y y
a b
+=．（B）点000()P x y ，在椭圆上22
221x y a b
+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为
12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是
00221x x y y
a b
+=．（C）椭圆22
221(0)x y a b a b +=＞＞的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上一点，
12F PF α∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan
2
F PF S b α
∆=．（A）双曲线中的经典结论：
1.点000()P x y ，在双曲线上22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞）上，则过0P 的双曲线的切
线方程是
00221x x y y
a b
-=．2点000()P x y ，在双曲线上22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞）外，则过0P 作双曲线的两条
切线切点为12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是
00221x x y y
a b
-=．3.双曲线22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞）的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上
一点，12F PF α∠=，则双曲线的焦点三角形的面积为122tan
2
F PF S b α
∆=．三．抛物线：
1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦AB ,记准线与x 轴交点为E ，AE BE 、分别交y 轴于P Q 、两点，则： 0
AE BE EF PEQ K K ∠⇔+=线段平分角
2.端点坐标积恒定：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于
1122(,)(,)A x y B x y 、，则：(1)2
124
p x x =，2
12y y P =-；(2)
p
FB FA 2
11=
+。

3.共线：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于A B 、两点，
如图示，有下列三个结论：
（1）1A O B 、、三点共线．
（2）1B O A 、、三点共线．
（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为1B ，则1BB 平行于x 轴．（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为1A ，则1AA 平行于x 轴
．
【知识拓展】
一．圆锥曲线和直线的参数方程
1.圆222x y r +=的参数方程是cos ,
sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩
其中θ是参数。

2.椭圆22
221x y a b +=的参数方程是cos ,sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩其中θ是参数，称为离心角。

3.双曲线22
221x y a b -=的参数方程是sec ,tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩其中θ是参数。

4.抛物线2
2y px =的参数方程是22,
2x pt y pt ⎧=⎨=⎩
其中t 是参数。

5.过定点00(,)x y ，倾斜角为α的直线参数方程为00cos ,
sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩
t 为参
数。

这里参数t 的几何意义是：①||t 表示直线上的点(,)x y 和定点00(,)
x y 的距离；②当点(,)
x y 在点00(,)x y 的上方时，0t >，当点(,)x y 在点00(,)x y 的下方时，
0t <；
当点(,)x y 与点
00(,)x y 重合时，0t =，反之亦然。

二．圆锥曲线的统一极坐标方程
以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为1cos ep
e ρθ
=
-，其中e 为离心率，p 是焦点到相应准线的距离。

三．焦半径公式
设P 为圆锥曲线上任一点，r d 、分别为点P 到焦点及相应准线的距离，则
r ed =．
1.对于椭圆22
221(0)x y a b a b +=＞＞，1(,0)F c -、2(,0)F c 是它的两个焦点．设
(,)P x y 是椭圆上的任一点，则有11r PF a ex ==+，22r PF a ex ==-．
►解读：由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横
坐标（对22
221y x a b
+=是纵坐标）的一次函数．
►（扩充）：焦半径公式的另一种形式(22
221(0)x y a b a b +=＞＞)为
2
11cos b r PF a c θ
==-(θ是以1F x 为始边，1F P 为终边的角，不是1F P 的倾斜角)．
2.对于双曲线22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞），1(,0)F c -、2(,0)F c 是它的两个焦
点．设(,)P x y 是双曲线上的任一点，若点P 在双曲线的右支上，则有
11r PF ex a ==+，22r PF ex a ==-；若点P 在双曲线的左支上，则有11r PF ex a ==--，22r PF ex a ==-+．
►（扩充）：焦半径公式的另一种形式(22
221x y a b -=（0a b ＞0，＞）)为
2
22cos b r PF a c θ
==
-(θ是以2F x 为始边，2F P 为终边的角，不是2F P 的倾斜角)．
►注意：当20cos b a c θ-＞时，点P 在右支上，当2
0cos b a c θ
-时，点P 在左
支上．
3.对于抛物线22y px =（p ＞0），(,0)2
p
F 是它的焦点，设(,)P x y 是抛物线
上的任一点，则2p r PF x ==+．设xFP θ∠=，则1cos p r θ
=-．四．共轭直径
二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径．若两直径中的每一直径平分与另
一直径平行的弦，则称此两直径为共轭直径．2
'
2
b kk a
=-1.设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b +=＞＞，互为共轭直径的斜率关系为
2
'
2b kk a
=-；
2.设双曲线的方程为22
221x y a b -=（0a b ＞0，＞），互为共轭直径的斜率关系
为2
'
2b kk a
=；
3.设抛物线的方程为22y px =（p ＞0），一组斜率为k 的平行弦的中点轨迹为射线(0)p
y x k
=
＞．五．过焦点的弦
1.设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=＞＞，过1(,0)F c -的弦长为122()a e x x ++，
过2(,0)F c 的弦长为122()a e x x -+．过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数．
►（扩充）：焦点弦长的另一种形式为2
222
2cos ab I a c θ
=-．(θ是以1F x 为始边，1F P 为终边的角，不是1F P 的倾斜角)．
2.设双曲线的方程为22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞），过1(,0)F c -的弦长为
122()a e x x ++，过2(,0)F c 的弦长为122()a e x x -+．
►（扩充）：焦点弦长的另一种形式为2
222
2cos ab I a c θ
=-(θ是以2F x 为始边，2F P 为终边的角，不是2F P 的倾斜角)．
3.设抛物线的方程为22y px =（p ＞0），(,0)2
p
F ，设xFP θ∠，则焦点弦长
为2
2sin p
I θ
=
．六．双曲线的渐近线
1.如果曲线上的点无限远离原点时，存在一条直线l ，使得P 与此直线的距
离无限趋向于零，则这条直线称为曲线C 的一条渐近线．双曲线22
221x y a b -=的渐
近线方程为22220x y a b -=，即b
y x a
=±．
2.共轭双曲线的方程为22
221x y a b -=±，共渐近线的双曲线系方程：
22
22x y a b
λ-=．互为共轭的两条双曲线有以下性质：
①0λ＞时得焦点在x 轴上的双曲线；0λ＜时得焦点在y 轴上的双曲线；=0λ时即是双曲线的渐近线；
②两共轭的双曲线的离心率12e e 、满足2212
11
1e e =+；③它们的四个焦点在同一个圆上．
三、典例精讲
例1．（复旦）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 上，ABC ∆三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为
4200x y +-=，则抛物线方程为（
）（A）216y x =（B）28y x =（C）216y x =-（D）
28y x
=-例2．（同济）已知抛物线22y px =。

（1）过焦点的直线斜率为k ，交抛物线于A B 、，求||AB ；
（2）是否存在正方形ABCD ，使C 在抛物线上，D 在抛物线内？若存在，求这样的k 满足的方程。

例3．（清华）双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，12,F F 是左、右焦点，P 是右支
上的任一点，且123
F PF π
∠=
，1
2
2F PF S ∆=。

（1）求离心率e ；
（2）若A 为双曲线左顶点，Q 为右支上任一点，且22QAF QF A λ∠=∠恒成立？
例4．（武大）如图，过抛物线2:8C y x
=上一点(2,4)P 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于A B 、两点。

（1）求直线AB 的斜率；
（2）如果A B 、两点均在28y x =(0)y ≤上，求PAB ∆面积的最大值。

例5．（北大）已知12,C C 是平面上两定圆，另有一动圆C 与12,C C 均相切，问圆心C 的轨迹是何种曲线？说明理由。

例6.（复旦）已知道平面上的线段l 及点P ，任取l 上的一点Q ，线段PQ 的最小
值成为点P 到线段l 的距离，记作d P l （，）。

（1）、求点1,1P （）
到线段l ：30(35)x y x --=≤≤的距离d P l （，）；（2）、设l 是长为2的线段，求点的集合{}D P d P l =≤（，）1所表示的图形面积；
（3）、写出到两条线段1l 、2l 距离相等的点的集合{}12=P d P l d P l Ω=（，）（，），其中12l AB l CD ==，；A，B，C，D 是下列三组中的一组。

三、真题训练
1.（复旦）极坐标表示的下列曲线中不是圆的是（）
（A）22(cos )5ρρθθ++=（B）26cos 4sin 0ρρθρθ--=（C）2cos 1
ρρθ-=（D）2cos 22(cos sin )1
ρθρθθ++=2.（华南理工）已知圆O：222x y r +=，点(,)(0)P a b ab ≠是圆O 内一点。

过点P 的圆O 的最短的弦在直线1l 上，直线2l 的方程为2bx ay r -=，那么（）。

（A）12//l l ，且2l 与圆O 相交（B）12l l ⊥，且2l 与圆O 相切
（C）12//l l ，且2l 与圆O 相离（D）12l l ⊥，且2l 与圆O
相离
3.（复旦）已知常数12,k k 满足12120,1k k k k <<=。

设1C 和2C 分别是以
1(1)1y k x =±-+和2(1)1y k x =±-+为渐近线且通过原点的双曲线，则1C 和2C 的
离心率之比12e
e 等于（）。

（C）1（D）
12
k k
4.（复旦）设有直线族和椭圆族分别为,(,x t y mt b m b ==+为实数，t 为参数）和
22
2
(1)1x y a
-+=（a 是非零实数），若对于所有的m ，直线都与椭圆相交，则,a b 应满足（）。

（A）22(1)1a b -≥（B）22(1)1a b ->（C）22(1)1a b -<（D）22(1)1
a b -≤5.（同济）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线l ：
0ax by +=的距离为l 的斜率的取值范围是。

6.（武大）椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的半焦距为c ，直线2y x =与椭圆的一个交
点的横坐标恰为c ，则该椭圆的离心率是。

7.（中南财大）如图，已知椭圆C：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点到长轴的两
个端点距离分别为2和2-，直线(0)y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E F 、两点。

（1）求此椭圆的方程。

（2）若6ED DF =
，求k 的值。

（3）求四边形AEBF 面积的最大值。

8.（清华）已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆与直线y x =-相
切。

（1）求椭圆的方程
（2）过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值。

9.（复旦）已知椭圆
22()12x a y -+=与抛物线21
2
y x =在第一象限内有两个公共点A B 、，线段AB 的中点M 在抛物线21
(1)4
y x =+上，求a 。

10.（同济）设有抛物线22(0)y px p =>，点B 是抛物线的焦点，点C 在正x 轴上，动点A 在抛物线上，试问：点C 在什么范围内时，BAC ∠恒是锐角？
五、强化训练
1、（交大）曲线()2
20y px p =>与圆()2
223x y -+=交于A、B 两点，线段AB 的中点
在y x =上，求p 。

2、（浙大）椭圆()2
244x y a +-=与抛物线2
2x y =有公共点，求a 的取值范围。

3、（浙大）双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为，()11,A x y 、()22,B x y 两点
在双曲线上，且12x x ≠。

（1）若线段AB 的垂直平分线经过点()4,0Q ，且线段AB 的中点横坐标为()00,x y ，试求0x 的值；2
（2）双曲线上是否存在这样的点A 与B，满足OA OB ⊥
？不存在
4、（武大）已知点30,2P ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点M 在直线AB 上，且满足0PA AB ⋅= ，3AM AB = 。

（1）当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；()2
102
y x x =
≠（2）设Q 为（1）中的曲线C 上一点，直线l 过点Q 且与曲线C 在点Q 处的切线垂直，l 与
曲线C 相交于另一点R，当0OQ OP ⋅= （O 为坐标原点）时，求直线l 的方程。

2
2
y x =±+5、（南开）抛物线22
:1,:10M y x N x y +=++=，P 在M 上，Q 在N 上，求P、Q 的最小
距离。

4
6、（清华）已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，过椭圆左顶点(),0A a -的直线l 与椭圆交于
Q，与y 轴交于R，过原点与l 平行的直线与椭圆交于P。

求证：AQ ，AR 成等比数列。

2022年高考数学尖子生强基计划专题16：解析几何二二、真题特点分析：
1.【2020复旦大学1】设抛物线22y px =，过焦点F 作直线，交抛物线于
A ，
B 两点，满足3AF FB =
．过点A 作抛物线准线的垂线，垂足记
为点1A ，准线交x 轴于点C ，若1
CFA S =，则p =_______________．
2.【2020武汉大学10】已知直线1211
::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆
22
221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若2
2
PM PN +为定值，则（
）A.2ab = B.3
ab = C.2a b
= D.3a b
=
3.【2021复旦大学10】已知1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，B 为椭圆上
一点，延长
2F B 到点A ，满足1BF BA =．1AF 的中点为H ，则下列两个结论是否正确：
结论1：1AF BH ⊥；结论2：BH 为椭圆的切线．
答：结论2正确
二、知识要点拓展
二．椭圆中的经典结论：
（D）点000()P x y ，在椭圆上22
221x y a b
+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是
00221x x y y
a b
+=．（E）点000()P x y ，在椭圆上22
221x y a b +=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为
12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是
00221x x y y
a b
+=．（F）椭圆22
221(0)x y a b a b +=＞＞的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上一点，
12F PF α∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan
2
F PF S b α
∆=．（B）双曲线中的经典结论：
4.点000()P x y ，在双曲线上22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞）上，则过0P 的双曲线的切
线方程是
00221x x y y
a b
-=．2点000()P x y ，在双曲线上22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞）外，则过0P 作双曲线的两条
切线切点为12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是
00221x x y y
a b
-=．3.双曲线22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞）的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上
一点，12F PF α∠=，则双曲线的焦点三角形的面积为122tan
2
F PF S b α
∆=．三．抛物线：
1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦AB ,记准线与x 轴交点为E ，AE BE 、分别交y 轴于P Q 、两点，则： 0
AE BE EF PEQ K K ∠⇔+=线段平分角
5.端点坐标积恒定：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于
1122(,)(,)A x y B x y 、，
则：(1)2
124
p x x =，212y y P =-；(2)
p
FB FA 2
11=
+。

6.共线：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于A B 、两点，
如图示，有下列三个结论：
（1）1A O B 、、三点共线．（2）1B O A 、、三点共线．
（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为1B ，则1BB 平行于x 轴．（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为1A ，则1AA 平行于x 轴．
【知识拓展】
一．圆锥曲线和直线的参数方程
1.圆222x y r +=的参数方程是cos ,
sin ,
x r y r θθ=⎧⎨=⎩其中θ是参数。

2.椭圆22
221x y a b +=的参数方程是cos ,sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩其中θ是参数，称为离心角。

3.双曲线22
221x y a b -=的参数方程是sec ,tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩其中θ是参数。

4.抛物线2
2y px =的参数方程是22,
2x pt y pt ⎧=⎨=⎩
其中t 是参数。

5.过定点00(,)x y ，倾斜角为α的直线参数方程为00cos ,
sin x x t y y t αα=+⎧⎨
=+⎩
t 为参数。

这里参数t 的几何意义是：①||t 表示直线上的点(,)x y 和定点00(,)
x y 的距离；②当点(,)
x y 在点00(,)x y 的上方时，0t >，当点(,)x y 在点00(,)x y 的下方时，
0t <；当点(,)x y 与点
00(,)x y 重合时，0t =，反之亦然。

二．圆锥曲线的统一极坐标方程
以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为1cos ep
e ρθ
=
-，其中e 为离心率，p 是焦点到相应准线的距离。

三．焦半径公式
设P 为圆锥曲线上任一点，r d 、分别为点P 到焦点及相应准线的距离，则
r ed =．
1.对于椭圆22
221(0)x y a b a b +=＞＞，1(,0)F c -、2(,0)F c 是它的两个焦点．设
(,)P x y 是椭圆上的任一点，则有11r PF a ex ==+，22r PF a ex ==-．
►解读：由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横
坐标（对22
221y x a b
+=是纵坐标）的一次函数．
►（扩充）：焦半径公式的另一种形式(22
221(0)x y a b a b +=＞＞)为
2
11cos b r PF a c θ
==-(θ是以1F x 为始边，1F P 为终边的角，不是1F P 的倾斜角)．
2.对于双曲线22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞），1(,0)F c -、2(,0)F c 是它的两个焦
点．设(,)P x y 是双曲线上的任一点，若点P 在双曲线的右支上，则有
11r PF ex a ==+，22r PF ex a ==-；若点P 在双曲线的左支上，则有11r PF ex a ==--，22r PF ex a ==-+．
►（扩充）：焦半径公式的另一种形式(22
221x y a b -=（0a b ＞0，＞）)为
2
22cos b r PF a c θ
==-(θ是以2F x 为始边，2F P 为终边的角，不是2F P 的倾斜角)．
►注意：当20cos b a c θ-＞时，点P 在右支上，当2
0cos b a c θ
-时，点P 在左
支上．
3.对于抛物线22y px =（p ＞0），(,0)2
p
F 是它的焦点，设(,)P x y 是抛物线
上的任一点，则2p r PF x ==+．设xFP θ∠=，则1cos p r θ
=-．四．共轭直径
二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径．若两直径中的每一直径平分与另
一直径平行的弦，则称此两直径为共轭直径．2
'
2
b kk a
=-1.设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b +=＞＞，互为共轭直径的斜率关系为
2
'
2b kk a
=-；
2.设双曲线的方程为22
221x y a b -=（0a b ＞0，＞），互为共轭直径的斜率关系
为2
'
2b kk a
=；
3.设抛物线的方程为22y px =（p ＞0），一组斜率为k 的平行弦的中点轨迹为射线(0)p
y x k
=
＞．五．过焦点的弦
1.设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=＞＞，过1(,0)F c -的弦长为122()a e x x ++，
过2(,0)F c 的弦长为122()a e x x -+．过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有
关的数．
►（扩充）：焦点弦长的另一种形式为2
222
2cos ab I a c θ
=-．(θ是以1F x 为始边，1F P 为终边的角，不是1F P 的倾斜角)．
2.设双曲线的方程为22
221x y a b -=（0a b ＞0，＞），过1(,0)F c -的弦长为
122()a e x x ++，过2(,0)F c 的弦长为122()a e x x -+．
►（扩充）：焦点弦长的另一种形式为2
2222cos ab I a c θ
=-(θ是以2F x 为始边，2F P
为终边的角，不是2F P 的倾斜角)．
3.设抛物线的方程为22y px =（p ＞0），(,0)2
p
F ，设xFP θ∠，则焦点弦长
为22sin p
I θ
=
．六．双曲线的渐近线
1.如果曲线上的点无限远离原点时，存在一条直线l ，使得P 与此直线的距
离无限趋向于零，则这条直线称为曲线C 的一条渐近线．双曲线22
221x y a b -=的渐
近线方程为22
220x y a b
-=，即b y x a =±．
2.共轭双曲线的方程为22
221x y a b -=±，共渐近线的双曲线系方程：
22
22x y a b
λ-=．互为共轭的两条双曲线有以下性质：
①0λ＞时得焦点在x 轴上的双曲线；0λ＜时得焦点在y 轴上的双曲线；=0λ时即是双曲线的渐近线；
②两共轭的双曲线的离心率12e e 、满足
2212
11
1e e =+；
③它们的四个焦点在同一个圆上．
三、典例精讲
例1．（复旦）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 上，ABC ∆三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为
4200x y +-=，则抛物线方程为（
）（B）216y x =（B）28y x =（C）216y x =-（D）
28y x
=-►分析与解答：如图，可令方程为22(0)y px p =>。

设2
22312123,,,,,222y y y A y B y C y p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

22
2,20244200y px y y p x y ⎧=-⎧⇒=⋅⎨⎨
+-=⎩
⎩。

所以224402,2200y p py y py p =-+-=，
2323,102
p
y y y y p +=-=-，依题意，
2223121
233
,22220
y y y p p p p y y y ⎧++=⎪⎨
⎪++=⎩所以
2
323
1232
222
123,2
10,0,3p y y y y p y y y y y y p
⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪++=⎪++=⎪⎩由①、③12p y ⇒=
，代入④中，2222311
4
y y p +=。

另一方面，由①、②222
23204
p y y p ⇒+=+。

所以22111
20,844
p p p p =+=（0p =舍去）。

所以抛物线方程为216y x =。

①②③④
例2．（同济）已知抛物线22y px =。

（3）过焦点的直线斜率为k ，交抛物线于A B 、，求||AB ；
（4）是否存在正方形ABCD ，使C 在抛物线上，D 在抛物线内？若存在，求这样的k 满足的方程。

►分析与解答：（1）AB 直线方程是2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设1122(,),(,)A x y B x y 。

依抛物线定义知1||2p AB x =+2122
p x x x p ++=++。

又2222222,1(2)04()2
y px k x p k p x k p p y k x ⎧=⎪⇒-++=⎨=-⎪⎩，由韦达定理知，2122
2p k p x x k ++=，故2221||22(1)p AB p p k k =+=+。

（2）先设0k >，如图13-11，令33(,)C x y ，则23231()y y x x k
-=--。

又22
3223,22y y x x p p
==，故223223231222y y y y y y pk k p p ⎛⎫-=--⇒+=- ⎪⎝⎭
，即322y pk y =--。

又||||AB BC =
，且
23|||BC y y =-。

所
以232222121|(2)|22|p y y y pk y y pk k ⎛⎫+=-=---=+ ⎪⎝⎭
，
即222221|k p y pk y pk y pk k +⋅=+⇒+=±=-±另一方面，将2
y p x k =+代入22y px =中，
有222210p y y p y p k k
⎛--=⇒=- ⎝（这里利用求根公式取“-”号根）。

②
由①②知1pk p k
⎛-±=- ⎝，化简得4210k k ±-=。

同理，0k <时，求得方程为4210k k ±-=。

综上，这样的k 满足方程4210k k ±-=。

注：①笔者对原题作了简单改动，原问题所问的是“正方形ABCD 有什么特点。

”
②此问题有相当难度，尤其是对代数功夫要求较高。

图13-11
例3．（清华）双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，12,F F 是左、右焦点，P 是右支上的任一点，且123F PF π∠=
，12
2F PF S ∆=。

（3）求离心率e ；
（4）若A 为双曲线左顶点，Q 为右支上任一点，且22QAF QF A λ∠=∠恒成立？►分析与解答：（1）在12PF F ∆中，由余弦定理，22121212||||||2||||cos 3
F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅，22222121212(2)(||||)2||||1cos ||||4443c PF PF PF PF PF PF c a b π⎛⎫=-+⋅⋅-⇒⋅=-= ⎪⎝
⎭。

12PF F S ∆
=
2212113||||sin 42322
PF PF b π⋅⋅=⋅⋅=。

所以223,2b a c a ==。

所以2c e a ==，双曲线方程：222213x y a a -=。

（A）先设2QF x ⊥轴。

此时(2,3)Q a a ，2QAF ∆为等腰Rt ∆，221
2QAF QF A ∠=∠。

下证12
λ=。

令(sec tan )Q a ϕϕ。

2tan tan sec 22sec QF A a a ϕϕϕϕ∠=-=
--，2tan
QAF ∠
=
tan sec sec 1a ϕϕϕαϕ=++，2222(sec
1)sec 1
tan 2(sec
1)3tan tan 1
sec 1QAF ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ++∠===+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭22(sec 1)(sec 1)tan 2sec 2sec 42(sec 1)(sec 2)2sec QF A ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
++===∠-++-+--。

所以存在常数12
λ=，使
2212
QAF QF A ∠=∠恒成立。

►注：设P 是双曲线22221x y a b -=（或椭圆22
221x y a b +=）上一点，12F PF θ∠=（12,F F 分别是左、右焦点），则1222cot (tan )22
PF F S b b θθ∆=。

例4．（武大）如图，过抛物线2:8C y x
=上一点(2,4)P 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物
线交于A B 、两点。

（3）求直线AB 的斜率；
（4）如果A B 、两点均在28y x =(0)y ≤上，求PAB
∆面积的最大值。

►分析与解答：（1）不妨设221212,,,88y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则
112211148(4)816428PA y y k y y y --===-+-。

同理，284PB k y =+。

依题意，121288844
PA PB k k y y y y =-⇒=-⇒+=-++。

于是21222121881888
AB y y k y y y y -====-+--（2）AB 的直线方程为：2118y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
，即2
1108y x y y +--=。

P 到AB 的距
离d
=
2
1
2121
|||()()|
88
y
AB y y y y
==+-。

由（1）知
21
8
y y+=-，
故21
|||
AB y y
=
-
111
|8|4|
y y y
=---=+。

所以
1
1|4|
2
PAB
S y
∆
=+
2
111
|848||4|
8
y y y
=⋅+-⋅+
2
11
1|(4)[(4)64]|
8
y y
=⋅++-。

又由
12
8
y y+=-，且
12
,0
y y≤，知
1
[8,0]
y∈-。

令
1
4
y t
+=，则[4,4]
t∈-，
所以
PAB
S
∆
=
23
11
(64)|64|
88
t t t t
-=-。

注意到3
()|64|
f t t t
=-是一个偶函数，故只考虑[0,4]
t∈的情况。

此时记33
()|64|64
g t t t t t
=-=-，对()
g t求导，2
'()6430
g t t
=->，[0,4]
t∈，故()
g t在[0,4]
上是严格单调递增的函数，从而3
max
()6444192
g t=⨯-=，即
max
1
()19224
8
PAB
S
∆
=⨯=。

例5．（北大）已知
12
,C C是平面上两定圆，另有一动圆C与
12
,C C均相切，问圆心C的轨迹是何种曲线？说明理由。

►分析与解答：设12
,C C半径分别为
12
,r r，由圆锥曲线定义，可得下列结论：12
r r=时，
①
1
C与
2
C相离：圆心C的轨迹是直线（
12
C C的中垂线）及双曲线（与
12
,C C一个内切，另一个外切）；
②
1
C与
2
C相交：圆心C的轨迹是直线（去掉
12
,C C两个点）（与
12
,C C都外切或
都内切）及椭圆（与
12
,C C一个内切一个外切）；
③
1
C与
2
C相外切：圆心C的轨迹是直线去掉切点（包括C与
1
C，
2
C都外切或都内切或一个外切，另一个内切）
12
r r≠时，
①
1
C与
2
C外离：圆心C的轨迹是双曲线（C与
12
,C C都外切或与
12
,C C中一个内切一个外切）；
②
1
C与
2
C相交：圆心C的轨迹是双曲线（C与
12
,C C都内切或都外切）及椭圆去
掉
12
,C C两个点（C与
12
,C C一个内切，一个外切）；
③1C 与2C 外切：圆心C 的轨迹是双曲线（C 与12,C C 都外切）及直线去掉切点（C 与12,C C 一个内切，一个外切）；
④1C 与2C 内切：圆心C 的轨迹是直线去掉切点及1C 与2C （C 与12,C C 都外切或都内切）及椭圆去掉切点（C 与12,C C 一个内切一个外切）；
⑤1C 与2C 内含：圆心C 的轨迹是椭圆（12,C C 不是同心圆，C 与12,C C 一个内切，一个外切）及圆（12,C C 是同心圆，C 与12,C C 一个内切一个外切）。

例6.（复旦）已知道平面上的线段l 及点P ，任取l 上的一点Q ，线段PQ 的最小
值成为点P 到线段l 的距离，记作d P l （，）。

（1）、求点1,1P （）到线段l ：30(35)x y x --=≤≤的距离d P l （，）；
（2）、设l 是长为2的线段，求点的集合{}D P d P l =≤（，）1所表示的图形面积；
（3）、写出到两条线段1l 、2l 距离相等的点的集合{}12=P d P l d P l Ω=（，）（，），其中12l AB l CD ==，；A，B，C，D 是下列三组中的一组。

对于下列三中情形，只需选做一种，满分分别为①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答记分。

①(1,3)(1,0)(-1,3)(-1,0)
A B C D ，，，②(1,3)(1,0)(-1,3)(-1,-2)
A B C D ，，，③(0,1)(0,0)(0,0)(2,0)
A B C D ，，，►分析与解答：
8.、如图1所示，由图可知，显然在线段的端点3,0（）
处取得最小值，故最小距离为：
22(,)(13)15
d p l =-+=9.、如图2所示，D 是边长为2的正方形和半径为1的两个半圆构成的区域，故面积为：
=22+=4+S ππ
⨯
（图1）（图2）
10.、①如图3所示，由图可知，该集合就是整个y 轴，即：(){},0x y x =；
②如图4所示，由分类讨论得出，由三段组成：
第一段是y 轴上，所有满足0y ≥的点，即：(){},0,0x y x y =≥；
第二段是抛物线，原因是到顶点的距离等于到定直线的距离，该
抛物线为：
21(0,01)4
x y y x =
≤≤≤第三段是直线，该直线为：1(1)y x x =--≥
（图3）（图4）
③如图5所示，由四部分组成。

由四条直线0,2,0,1x x y y ====将坐标平面分成9个区域，对这9个区域依次讨论满足条件的点集：
第Ⅰ区：到两直线距离相等的点是角平分线，即：(){},(01)x y y x x =≤≤；第Ⅱ区：到定点D 的距离等于到定直线y 轴的距离，是抛物线，但该抛物线不在第Ⅱ区，故第Ⅱ区域没有满足条件的点；
第Ⅲ区：到两个定点的距离相等，是AD 中垂线，即：
()3,2-(2)2x y y x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭
；第Ⅳ区：到定点A 与到定直线x 轴的距离相等，是抛物线，即：
()211,(12)22x y y x x ⎧⎫=+≤≤⎨⎬⎩⎭
；第Ⅴ区：、到两个定点A、D 的距离相等，应该是线段AD 的中垂线，但该线不经过第Ⅴ区，故在第Ⅴ区没有满足条件的点；
第Ⅵ区：到定直线y 轴的距离等于到定点O 的距离，y 轴经过点O，故满足条件的点只有x 轴的非正半轴，即：(){},0,0x y x y ≤=；
第Ⅶ区：到同一个点O 的距离相等，是整个第三象限的点，即：
(){},x y x ＜0,y＜0；
第Ⅷ区：到定直线x 轴，与到定点O 的距离相等，x 轴经过O 点，故满足条件的点为y 轴的非正半轴，即：(){},0,0x y y x ≤=；
第Ⅸ区：到定点O、D 的距离相等的点，为线段OD 的中垂线，但该线不经过第Ⅸ区，故在第Ⅸ区没有满足条件的点。

(图5）
►点评：此题是典型的探究性问题，对学生的综合能力要求很高。

题目中自定义了到线段的距离。

第一问典型的最值问题，画出图像即可解决；第二问、第三问主要考察轨迹问题，解决这两问的关键在于充分理解圆锥曲线的定义。

在能力方面要求考生具有较高的数形结合和分类讨论等相关能力，综合性很强。

其他题目赏析：
四、真题训练
1.（复旦）极坐标表示的下列曲线中不是圆的是（）
（E）22(cos )5
ρρθθ++=（F）26cos 4sin 0
ρρθρθ--=（G）2cos 1
ρρθ-=（H）2cos 22(cos sin )1
ρθρθθ++=
2.（华南理工）已知圆O：222x y r +=，点(,)(0)P a b ab ≠是圆O 内一点。

过点P 的圆O 的最短的弦在直线1l 上，直线2l 的方程为2bx ay r -=，那么（）。

（B）12//l l ，且2l 与圆O 相交
（B）12l l ⊥，且2l 与圆O 相切
（C）12//l l ，且2l 与圆O 相离
（D）12l l ⊥，且2l 与圆O
相离3.（复旦）已知常数12,k k 满足12120,1k k k k <<=。

设1C 和2C 分别是以1(1)1y k x =±-+和2(1)1y k x =±-+为渐近线且通过原点的双曲线，则1C 和2C 的离心率之比12
e e 等于（）。

（C）1（D）12
k k 4.（复旦）设有直线族和椭圆族分别为,(,x t y mt b m b ==+为实数，t 为参数）和2
22(1)1x y a
-+=（a 是非零实数），若对于所有的m ，直线都与椭圆相交，则,a b 应满足（）。

（B）22(1)1a b -≥（B）22(1)1a b ->（C）22(1)1a b -<（D）22(1)1
a b -≤5.（同济）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线l ：0ax by +=
的距离为l 的斜率的取值范围是。

6.（武大）椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的半焦距为c ，直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则该椭圆的离心率是。

7.（中南财大）如图，已知椭圆C：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点到长轴的两
个端点距离分别为2
和2-，直线(0)y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E F 、两点。

（4）求此椭圆的方程。

（5）若6ED DF = ，求k 的值。

（6）求四边形AEBF 面积的最大值。

8.（清华）已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆与直线y x =-相切。

（3）求椭圆的方程
（4）过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值。

9.（复旦）已知椭圆22()12x a y -+=与抛物线212y x =在第一象限内有两个公共点A B 、，线段AB 的中点M 在抛物线21(1)4
y x =+上，求a 。

10.（同济）设有抛物线22(0)y px p =>，点B 是抛物线的焦点，点C 在正x 轴上，动点A 在抛物线上，试问：点C 在什么范围内时，BAC ∠恒是锐角？真题训练答案
1.【答案】D
【分析与解答】：利用极坐标与平面直角坐标转换公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
选项A、B、
C 分别为：22222225,640,1x y x x y x y x y x +++=+--=+-=，它们都表示圆；选项D，
2cos 22(cos sin )1ρθρθθ++=，22221x y x y -++=，表示双曲线。

2.【答案】：D
【分析与解答】：由于最短的弦1l 与OP 垂直，所以1l 的直线方程为：220ax by a b +--=。

故1l 与2l 互相垂直。

因为圆心O 到2l 的距离为22
=。

因为222a b r +<r <，所以
2
d r =>。

所以2l 与圆相离。

3.【答案】C
【分析与解答】：由条件可设1C 的方程是222
221(1)(1)1x y a k a ⎛⎫
--±-= ⎪⎝
⎭，2C 的方程是22
2222(1)(1)1x y b k b ⎛⎫--±-= ⎪⎝⎭。

又12,C C 过原点，故22212222111111
a k a
b k b ⎧⎛⎫±-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪±-= ⎪
⎪⎝⎭⎩由12120,1k k k k <<=，知1201k k <<<，故
222222121111
,a k a b k b
<>，从而1C 前应带负号，2C 带正号，且222
21222
1211
,k k a b k k --==
，所
以1211
1
e e =
=
=
，得
1
2
1e e =。

4.【答案】B
【分析与解答】：注意到直线y mx b =+横过定点(0,)b ，对所有m R ∈，直线与
椭圆相交，则当且仅当(0,)b 在椭圆内部。

所以2
22
(01)1b a
-+<，即22(1)1a b ->，故选B。

5.【答案】[22+【分析与解答】：圆：22(2)(2)18x y -+-=
，半径为。

如图分别作两条与直线l 平行的平行线，这两条平行线与直线l
的距离都是，欲使圆上至少有三个不同点到直线l
的距离都是，则这两条平行线与圆都有交点。

设直线l 的斜率为k，直线l:y kx =，则问题等价于圆心(2,2)到直线l
的距离≤
[22k ≤⇒∈-+。

1
-【分析与解答】：由2222222222,(4)1
y x a b x a b x y a
b =⎧⎪
⇒+=⎨+=⎪⎩。

依题意，
22222(4)a b c a b +=⇒222222
(4)()a b a b a b +-=
，
422
440,2b b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-==-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
2222
22213c a b b a a a
-==-=-
故离心率1c
e a
===。

7.【分析与解答】：（1）由题意得22a c a c ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩
解得2,1a c b ===，所以
所求的椭圆方程是2
214
x y +=。

（2）直线AB，EF 的方程分别为22,(0)x y y kx k +==>。

设00(,)D x kx ，11(,)E x kx ，
22(,)F x kx ，其中12x x <，且12,x x 满足方程22(14)4k x +=
，故21x x =-=
①
由6ED DF = 知01206()x x x x -=-
，得021215(6)77x x x x =+==；由
D 在AB 上知
0022x kx +=，得0212x k =+
，所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或3
8
k =
（3）根据点到直线的距离公式和①式知，点E 、F 到AB 的距离分别
是1h =
=
2h ==
又
||AB ==
，所以四
边形AEBF 的面积
为
121
1||()22S AB h h =+=
⋅
==即当12k =时，四边形AEBF
有最大面积8.【分析与解答】：（1）设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>。

因为它与直线
y x =-只有1个交点，所以方程
组22
221
x y a b
y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
只有一解。

即方程
222222(b x a x a b +=有相等两根⇔
方程2222222()30b a x x a a b +-+-=有相等两根。

所以2222222()4()(3)0a b a a b ∆=--+-=。

得223a b +=。

因为焦点为(1,0),(1,0)-，所以221a b -=。

所以2221
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程为2212x y +=。

（2）若PQ 斜率不存在（或为0）。

则||||
22PMQN PQ MN S ⋅=
=四边形。

若PQ 斜率存在（且不为零），设为k，则MN 斜率为1
(0)k k
-≠。

所以直线
PQ 方程为y kx k =+。

设PQ 与椭圆交点坐标1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程22
,12
y kx k x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩。

12,x x 为方程2222(21)4220k x k x k +++-=
的根，所以12||||PQ x x =-
22
121
k k +=+。

同理，221
||2
k MN k +=+。

所以24
2
4242
1||||21124422522252PMQN
k MN PQ k k S k k k k ⎛⎫ ⎪⋅++==⋅=- ⎪++++ ⎪
⎝⎭四边形2
42
22111
4412410424410k k k k k ⎛⎫
⎪⎛⎫=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪+⋅+⎝⎭
因
为22448k k +
≥，当且仅当21k =时等号成立。

所以22110,4
18410k k ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
++，所以2211164,2429410k k ⎛⎫ ⎪⎡⎫-∈ ⎪⎪⎢⎣⎭
⎪++⎝⎭。

综述，PMQN S 四边形的面积的最小值为16
9
，最大值为2.
9.【分析与解答】：联立22
2()22,
2x a y y x
⎧-+=⎪⎨=⎪⎩消去y ，得
222()2(12)(2)0x a x x a x a -+=⇒+-+-=（*）
设交点横坐标为12,x x ，则由韦达定理知122
12
21,
2x x a x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩则M 横坐标1201
22x x x a +
==-
，纵坐标
01212()24
y y y =+=。

由题意
200121111
414((2128222y x x x a a a =+⇒
⋅++=+⇒-+=+
1⇒=，又其二根都为正数（A、B 在第一象限），故0a >
，从而a =
将a =21)
40∆=->。

此时确有两个交点，故所求a 10.【分析与解答】：解法一：设20(2,2),(,0)A pt pt C x ，则BAC ∠恒为锐角
222||||||BC AB AC ⇔<+恒成立，代入得
2
2
22222002(2)(2)(2)
22p p x pt pt pt x pt ⎛⎫⎛⎫-<-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222422
22242222
000042444444p p x px p t p t p t p t pt x x p t ⇔-+<-+++-++22222
242000864(41)2(43)px p t p t pt x t x p t t ⇔-<+-⇔-<+。

若2410t -≤，显然上式恒成立，即BAC ∠为锐角；
若22
1410,4t t ->>，则4202
43241t t x p t +<⋅-恒成立4202min
43241t t x p t ⎛⎫+⇔<⋅ ⎪-⎝⎭，令241(0)
t u u -=>422
2
1431159
,441444
u t t t u t u ++==
++≥-，当2u =，即2t =±时取等号。

从而09
02
x p <<。

x
y
O
解法二：设0011(,),(,0)(0)A x y C x x >，BAC ∠恒为锐角，所以0AB AC ⋅>
恒
成立，即
20010()02p x x x y ⎛⎫--+> ⎪
⎝
⎭恒成立，又2
002y px =代入，所以201013022p x x p x x ⎛
⎫--+> ⎪⎝
⎭。

对1(0,)x ∀∈+∞恒成立⇔方程
2113()0
22p
x x p x x +-++=无实根或有两负根。

222111139()4()5224p x p x x px p ∆=-+-⋅=-+，故（1）119
022
p x p ∆<⇒<<，
（2）0∆≥且
1302x p ⎛
⎫--+< ⎪⎝⎭，102p x >，即1111190
22310220p x x p x p x p x ⎧⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎪⎪<⇒<≤⎨⎪
>⎪⎪⎩。

综上，C 点横坐标范围是9
(0,)2
p 。

五、强化训练
1、（交大）曲线()2
20y px p =>与圆()2
2
23x y -+=交于A、B 两点，线段AB 的中点
在y x =上，求p 。

【解析】设),(11y x A ，),(22y x B ，联立01)2(223)2(2
2
22=+-+⇒⎩⎨⎧==+-x p x px y y x ，()p y y p x x p y y x x p x x p p p 2441)2(2134)2(421221222121212=⇒==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+<>⇒--=∆⇒或因为线段AB 的中点在y x =上，所以⇒+=+222121x x y y 2
212
2122⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x y y 2
2
1212122112
2212
1)2()2(2
2)(2422242p p p y y x x p y y px y y px y y y y -=-+=++=++=++⇒()()p p p p p y y 21)2(401)2(421=--⇒>--=⇒，
解得4177-=
p 或4
17
7+=p （舍）
所以4
177-=
p 2、（浙大）椭圆()2
244x y a +-=与抛物线2
2x y =有公共点，求a 的取值范围。

【解析】由条件，设椭圆的方程为：2cos ([,2),)
2sin x a y a θ
θπθθ=⎧∈⎨
=+⎩
其中为参数代入抛物线方程得：2
4cos 2(sin )a θθ=+，从而
222117
2cos sin 2sin sin 22(sin )48
a θθθθθ=-=--+=-++
因为2
1
2517sin [1,1],(sin [0,
[1,]4168
a θθ∈-+∈∈-所以
3、（浙大）双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为，()11,A x y 、()22,B x y 两点
在双曲线上，且12x x ≠。

（1）若线段AB 的垂直平分线经过点()4,0Q ，且线段AB 的中点横坐标为()00,x y ，试求0x 的值；2
（2）双曲线上是否存在这样的点A 与B，满足OA OB ⊥
？不存在
【解析】（1）由条件得离心率a b e a
==得a b =，从而双曲线方程为222
x y a -=，又因为1122(,)(,)A x y B x y 、在双曲线上，故2222
21122x y x y a -=-=.
由QA QB =得22222222221122211212
(4)(4)(4)(4)x y x y x x y y x x -+=-+⇒---=-=-即：21121212()(8)()()x x x x x x x x -+-=-+，
由12x x ≠知，122()80x x +-=，即124x x +=，从而12
022
x x x +=
=（2）假设存在点1122(,)(,)A x y B x y 、，使得OA OB ⊥ ，则222212121212
0x x y y x x y y +=⇒=由2222221122,x a y x a y =+=+，得：2222222222
121212()()()0
a y a y y y a a y y ++=⇒++=故120,a y y ===矛盾.
所以不存在点A B 、满足要求。

4、（武大）已知点30,2P ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点M 在直线AB 上，。